数学文卷·2017届广东省广州市高三下学期第二次模拟考试（2017

数学文卷·2017届广东省广州市高三下学期第二次模拟考试（2017

‎2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题：，（），命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎5．函数的大致图象是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知两点，，点在曲线上运动，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．数列满足，（），为数列的前项和，则（ ）‎ A．5100 B．2550 C．2500 D．2450‎ ‎11．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．16‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知双曲线（）的离心率为2，则的值为 ．‎ ‎14．在各项都为正数的等比数列中，已知，，则数列的通项公式 ．‎ ‎15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．‎ ‎16．已知函数，若，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若边上的高等于，求的值.‎ ‎18．某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：‎ ‎（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅲ）现从身高在这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.‎ ‎19．如图，是边长为的正方形，平面，平面，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎20．已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为 ‎（为参数），设直线与曲线交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）已知，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）‎ 文科数学试题答案及评分参考 一、选择题 ‎1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB 二、填空题 ‎13． 14． 15．23 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为，‎ 由正弦定理得，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以.‎ 即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）设边上的高线为，则.‎ 因为，则，.‎ 所以，.‎ 由余弦定理得.‎ 所以的值为.‎ ‎18．解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：‎ ‎（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为 ‎.‎ 所以估计这50名学生身高的方差为 ‎.‎ 所以估计这50名学生身高的方差为80.‎ ‎（Ⅲ）记身高在的4名男生为，，，，2名女生为，.‎ 从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：，，，，,,,,,,,,‎ ‎,,,,,,,共20个基本事件.‎ 其中至少抽到1名女生的情况有：,,,,,‎ ‎,,,,,,,,‎ ‎,,共16个基本事件.‎ 所以至少抽到1名女生的概率为.‎ ‎19．解：（Ⅰ）证明：连接，‎ 因为是正方形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 所以，，，四点共面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）设，连接，.‎ 由（Ⅰ）知，平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，‎ 所以.‎ 因为正方形的边长为，，‎ 所以，.‎ 取的中点，连接，则.‎ 所以等腰三角形的面积为.‎ 所以 ‎.‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎20．解：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.‎ 设，则有.‎ 化简得.‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设：，‎ 代入中，得.‎ 设，，‎ 则，.‎ 所以.‎ 因为：，即，所以.‎ 所以直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为，‎ 所以，即为直角三角形.‎ 所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.‎ 因为，‎ 所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.‎ ‎21．解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.‎ 所以.‎ 当时，，函数在区间上单调递减.‎ 当时，.‎ 当时，，函数在区间上单调递减.‎ 当时，，函数在区间上单调递增.‎ 综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以（）.‎ 因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，且.‎ 即方程的两个根为，，且，‎ 所以，解得.‎ 则.‎ 当或时，，当时，，‎ 所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.‎ 所以为函数的极小值点.‎ 由，得.‎ 由于等价于.‎ 由，得，所以.‎ 因为，所以有，即.‎ 因为，所以.‎ 解得.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.‎ 将直线代入中消去得，.‎ 解得或.‎ 所以点，，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.‎ 设过点且与直线平行的直线方程.‎ 将代入整理得，.‎ 令，解得.‎ 将代入方程，解得.‎ 易知当点的坐标为时，的面积最大.‎ 且点到直线的距离为.‎ 的最大面积为.‎ ‎23．解：（Ⅰ）证明：因为，‎ 所以.‎ 所以要证明，‎ 即证明.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 当时，不可能恒成立.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 综上可知，实数的取范为.‎