黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题

‎2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）‎ ‎1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（　　）‎ A．（0，2] B．（1，2） C．（1，+∞） D．（1，2]‎ ‎2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（　　）‎ A．45° B．105° C．40° D．35°‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6+a7，则S9的值是（　　）‎ A．27 B．36 C．45 D．54‎ ‎4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．2 D．10‎ ‎5．已知函数f（x）＝，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，3） B．（，3） C．（2，3） D．（1，3）‎ ‎6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　）‎ A．f（x）在上单调递减 ‎ B．f（x）在上单调递减 ‎ C．f（x）在上单调递增 ‎ D．f（x）在上单调递增 ‎7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（　　）‎ A．9 B．6 C．3 D．1‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC 的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（　　）‎ A．1 B．0 C． D．‎ ‎10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝ex，则（　　）‎ A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） ‎ C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）‎ ‎11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（　　）‎ A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．不等式＞的解集为　 　‎ ‎14．已知等比数列{an}的首项a1＝2037，公比q＝，记bn＝a1•a2……an，则bn达到最大值时，n的值为　 　‎ ‎15．在等差数列{an}中，a1＝﹣2014，其前n项和为Sn，若﹣＝2002，则S2016的值等于　 　‎ ‎16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1＝0（n≥2），a1＝．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列；‎ ‎（2）求an的表达式．‎ ‎19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求cos2﹣sincos的取值范围．‎ ‎20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；‎ ‎（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的方程化为普通方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．‎ ‎22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．‎ ‎（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．‎ ‎2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）‎ ‎1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（　　）‎ A．（0，2] B．（1，2） C．（1，+∞） D．（1，2]‎ ‎【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，‎ ‎＝{y|y≥0}，‎ 则A∩B＝{x|x＞1}∩{y|y≥0}＝（1，+∞）∩[0，+∞）＝（1，+∞），‎ 故选：C．‎ ‎2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（　　）‎ A．45° B．105° C．40° D．35°‎ ‎【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），‎ ‎∴2﹣＝（3，﹣1），‎ ‎∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，‎ 设量2﹣与的夹角为θ，‎ ‎∴cosθ＝＝＝，‎ ‎∵0°≤θ≤180°，‎ ‎∴θ＝45°，‎ 故选：A．‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6+a7，则S9的值是（　　）‎ A．27 B．36 C．45 D．54‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，‎ ‎∵2a6＝a5+a7，‎ 又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，‎ ‎∴S9＝9a5＝54．‎ 故选：D．‎ ‎4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．2 D．10‎ ‎【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为：‎ ‎•cosθ＝＝＝2‎ 故选：C．‎ ‎5．已知函数f（x）＝，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，3） B．（，3） C．（2，3） D．（1，3）‎ ‎【解答】解：根据题意，an＝f（n）＝；‎ 要使{an}是递增数列，必有；‎ 解可得，2＜a＜3；‎ 故选：C．‎ ‎6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　）‎ A．f（x）在上单调递减 ‎ B．f（x）在上单调递减 ‎ C．f（x）在上单调递增 ‎ D．f（x）在上单调递增 ‎【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），‎ ‎∵f（x）是奇函数，，‎ ‎∴φ+＝0，得φ＝﹣，‎ 则f（x）＝sinωx，‎ 由sinωx＝得sinωx＝1，‎ ‎∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，‎ ‎∴T＝，0即＝，得ω＝4，‎ 即f（x）＝sin4x，‎ 由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的 递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]‎ 由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，‎ 故选：A．‎ ‎7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（　　）‎ A．9 B．6 C．3 D．1‎ ‎【解答】解：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0），‎ 由题意可得2×＝+a2，即q2﹣2q﹣3＝0，‎ 解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，‎ ‎∴＝＝q2＝9．‎ 故选：A．‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵3acosC＝4csinA，‎ ‎∴3sinAcosC＝4sinCsinA，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴3cosC＝4sinC，‎ ‎∴cosC＝，‎ ‎∵S＝bcsinA＝10，‎ ‎∴csinA＝5，‎ ‎∵3acosC＝4csinA＝20，‎ ‎∴a＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（　　）‎ A．1 B．0 C． D．‎ ‎【解答】解：由等腰梯形的知识可知cosB＝，‎ 设BP＝x，则CP＝﹣x，‎ ‎∴＝（）•＝＝1•x•（﹣）+（﹣x）•x•（﹣1）＝x2﹣x，‎ ‎∵0≤x≤，‎ ‎∴当x＝时，取得最小值﹣．‎ 故选：D．‎ ‎10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝ex，则（　　）‎ A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） ‎ C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）‎ ‎【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，‎ 且满足f（x）+2g（x）＝ex，‎ 可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，‎ 即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，‎ 解得f（x）＝（ex+e﹣x），‎ g（x）＝（ex﹣e﹣x），‎ 可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，‎ f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，‎ f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，‎ f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，‎ 即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），‎ 故选：D．‎ ‎11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，‎ 可得x+y＝1，x，y∈[，]，‎ 则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，‎ 并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，‎ xy的最小值为：．‎ 则xy的取值范围是：[，]．‎ 故选：D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（　　）‎ A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），‎ ‎∵x∈[0，1]上，‎ ‎∴ωx+∈[，]，‎ 图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，‎ ‎∴+，‎ 解得：．‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13．不等式＞的解集为　{x|﹣＜x＜﹣}　‎ ‎【解答】解：不等式＞，即 ＜0，即 （6x+1）•3（3x+2）＜0，‎ 求得﹣＜x＜﹣，‎ 故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．‎ ‎14．已知等比数列{an}的首项a1＝2037，公比q＝，记bn＝a1•a2……an，则bn达到最大值时，n的值为　11　‎ ‎【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，‎ ‎∴an＝2037×，‎ ‎∵a11＞1，a12＜1‎ ‎∵bn＝a1•a2……an，‎ 则当n＝11时bn达到最大值．‎ 故答案为：11．‎ ‎15．在等差数列{an}中，a1＝﹣2014，其前n项和为Sn，若﹣＝2002，则S2016的值等于　2016　‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1＝﹣2014，‎ ‎，‎ ‎∵﹣＝2002，‎ ‎∴＝2002，‎ ‎∴d＝2，‎ 则S2016＝2016×（﹣2014），‎ ‎＝2016．‎ 故答案为：2016‎ ‎16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝　　．‎ ‎【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，‎ 且对应的高分别为m，n，t，‎ ‎△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，‎ 由S＝am，S＝bn，S＝ct，‎ 可得S3＝abcmnt，‎ 则mnt＝＝‎ 又S＝bcsinA＝1，‎ 可得bc＝，‎ 则mnt＝4sinA，‎ cosA＝≥＝1﹣，‎ 当且仅当b＝c上式取得等号，‎ 可得2bc≤，‎ 则≤，‎ 可得＝＝tan≤，‎ 可得sinA＝≤＝．‎ 当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎【解答】解：（1）若⊥，‎ 则•＝（，﹣）•（sinx，cosx）＝sinx﹣cosx＝0，‎ 即sinx＝cosx sinx＝cosx，即tanx＝1；‎ ‎（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sinx，cosx）＝sinx﹣cosx，‎ ‎∴若与的夹角为，‎ 则•＝||•||cos＝，‎ 即sinx﹣cosx＝，‎ 则sin（x﹣）＝，‎ ‎∵x∈（0，）．‎ ‎∴x﹣∈（﹣，）．‎ 则x﹣＝‎ 即x＝+＝．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1＝0（n≥2），a1＝．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列；‎ ‎（2）求an的表达式．‎ ‎【解答】（1）证明：∵﹣an＝2SnSn﹣1，‎ ‎∴﹣Sn+Sn﹣1＝2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n＝1，2，3）．‎ ‎∴﹣＝2．‎ 又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）•2＝2n，∴Sn＝．‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，an＝﹣2SnSn﹣1＝﹣〕；‎ 当n＝1时，S1＝a1＝．‎ ‎∴an＝‎ ‎19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求cos2﹣sincos的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，‎ ‎∴＝，可得：＝，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2＝ac，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosB＝＝＝，‎ ‎∴由0＜B＜π，可得B＝．‎ ‎（2）cos2﹣sincos ‎＝（cosC+1）﹣sinA ‎＝cosC﹣sin（﹣C）+‎ ‎＝cosC﹣sinC+‎ ‎＝cos（C+）+，‎ ‎∵＜C+＜，‎ ‎∴﹣＜cos（C+）＜，‎ ‎∴＜cos2﹣sincos＜．‎ ‎20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；‎ ‎（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，‎ ‎∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；‎ ‎（Ⅱ）解：①当a＝时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．‎ ‎②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．‎ ‎∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，‎ ‎∴﹣3×+a+1≥2，解得 a≥．‎ ‎③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，‎ 此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．‎ ‎∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，‎ ‎∴﹣﹣a+1≥2，解得 a≤﹣．‎ 综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．‎ ‎21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的方程化为普通方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由，得，即，又，两式相除得，‎ 代入，得，整理得，即为C的普通方程．‎ ‎（2）将代入，‎ 整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0．‎ 由P为AB的中点，则．‎ ‎∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，‎ 所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．‎ ‎22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．‎ ‎（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得 f'（x）＝，‎ ‎∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），‎ ‎∴f'（x0）＝0，∴a＝sinx0﹣x0cosx0，‎ ‎∴f（x0）＝，‎ ‎∵0＜x＜π，∴cosx0∈（﹣1，1），‎ ‎∴f（x0）∈（﹣1，1），‎ 即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．‎ ‎（Ⅱ）挡a＝时，f（x）＝，‎ 要证f（x）+mlnx＝成立，‎ 即证mlnx＞sinx﹣π成立，‎ 令g（x）＝mlnx，h（x）＝sinx﹣π，则 g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sinx﹣π∈（﹣π，1﹣π]，‎ 令g'（x）＝0，则x＝，‎ ‎∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；‎ 当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，‎ ‎∴g（x）min＝g（）＝，‎ 显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，‎ ‎∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），‎ 即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0‎