专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

‎【考向解读】 ‎ 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．‎ ‎【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 ‎1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ 例1 、【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】【2017课标1，理21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）的定义域为， ，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎【变式探究】(1)已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A．1 B．3‎ C． 2 D．4‎ ‎(2)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】（1）B　（2）（－∞，0）∪（1，＋∞）　‎ ‎【解析】（1）作出函数f（x）与g（x）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y＝f（x）－g（x）有3个零点. ‎ ‎（2）令φ（x）＝x3（x≤a），h（x）＝x2（x>a），函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）的图像与直线y＝b有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b使h（x）＝x2‎ ‎（x>a）的图像与直线y＝b有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a）>h（a），即a3>a2，解得a>1.综上得a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.‎ ‎【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C　‎ ‎【探究提高】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.‎ ‎【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题 例2、已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)‎ A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]‎ D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]‎ ‎【答案】B　‎ ‎【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．‎ ‎【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a

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