数学文卷·2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试（2017

数学文卷·2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试（2017

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 数学试卷（文史类） 2017.11‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 开始 i=1，S=2‎ 结束 i=i+1‎ S>14?‎ 输出i 是 否 S=S+2i ‎2. 执行如右图所示程序框图，则输出的值为 . ‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ ‎3. 已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 ‎ C．若，，则 D．若，，则 ‎4. 要想得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 ‎ B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 ‎ D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 ‎5. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．5‎ B．6‎ C．7‎ ‎ D．8‎ ‎7. 函数在其定义域内满足，（其中为函数的导函数），‎ ‎，则函数 ‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 ‎8. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. ‎ 甲说：“我无法确定.”‎ 乙说：“我也无法确定.”‎ 甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” ‎ 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 ‎ A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. ‎ ‎9.已知数列为等比数列，，，则的前5项和___________.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，则向量的坐标为___________.‎ 俯视图 正视图 ‎4‎ 侧视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎11. 已知函数若方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．‎ ‎ ‎ ‎13. 某品牌连锁便利店有个分店，A,B,C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：‎ 商品A 商品B 商品C 单价（元）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ 每件重量（千克）‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 表1‎ 某日总店向各分店分配的商品A,B,C的数量如表2所示：‎ 商品 分店 分店1‎ 分店2‎ ‎……‎ 分店 A ‎12‎ ‎20‎ m1‎ B ‎15‎ ‎20‎ m2‎ C ‎20‎ ‎15‎ m3‎ 表2‎ 表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C的总价和总重量：‎ 分店1‎ 分店2‎ ‎……‎ 分店 总价（元）‎ 总重量（千克）‎ 表3‎ 则 ； . ‎ ‎14. 已知函数同时满足以下条件：‎ ‎ ①定义域为；‎ ‎ ②值域为；‎ ‎ ③.‎ 试写出一个函数解析式 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和为，满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项积为，求.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 已知中，，. ‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．‎ ‎（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．‎ P A A D B E C ‎19. （本小题满分13分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.‎ 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 ‎ 数学试题答案（文史类） 2017.11‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A ‎ ‎ C D C A A ‎ B D 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎；‎ ‎；‎ 或 或 等 三、解答题 ‎15. （本小题满分13分）‎ ‎ 解：因为，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）函数的最小正周期为. ……………………………… 8分 ‎（Ⅱ）因为，所以. ‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以. ……………………………… 13分 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） 由可得，‎ 当时，.‎ 当时,，即 则数列为首项为1，公比为2的等比数列,‎ 即，. ………………………………8分 ‎（Ⅱ） ………………………………13分 ‎17. （本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由正弦定理，可得.所以.‎ 在三角形中，由已知，所以. ………………………………6分 ‎（Ⅱ）由面积公式可得，解得.‎ 由余弦定理知，所以 ‎………………………………13分 P A A D B C O E ‎18. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）证明：如图，设交于,连接．‎ 因为底面是菱形，‎ 所以是的中点．‎ 又因为为的中点，‎ 所以．‎ 因为平面, 平面，‎ 所以平面． ……………………4分 ‎（Ⅱ）证明：因为底面是菱形，‎ 所以．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以平面平面． ………………………………10分 P A A D B E C ‎（Ⅲ）设四棱锥的体积为．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为底面是菱形，‎ 所以，‎ 所以．‎ 根据题意，，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以． ………………………………14分 ‎19. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数. ‎ ‎（2）当时，‎ ‎①当，即 时，‎ 令，解得或，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数.‎ ‎②当 时，恒成立，函数在上为单调递增函数；‎ ‎③当，即 时，‎ 令，解得或，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数. ……………9分 综上所述，‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.‎ 设，则即解得. …………13分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解：函数的定义域为，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ），又，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎， ‎ 即. ┈┈ 4分 ‎（Ⅱ）“要证明”等价于“”‎ 设函数.‎ 令，解得.‎ ‎ ‎ 因此，函数的最小值为.故.‎ 即. ┈┈ 9分 ‎（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：‎ 由（Ⅱ）可知，所以.‎ 设，则.‎ 令得；令得.‎ 所以在上为增函数，上为减函数.‎ 所以当时，恒成立,当且仅当时，.‎ 又因为， 所以恒成立. ‎ 故曲线位于轴下方. ………………………14分