数学文卷·2018届山东省济南市历城第二中学高三模拟考试（一）（2018

数学文卷·2018届山东省济南市历城第二中学高三模拟考试（一）（2018

2018 高三数学模拟试题（文） （历城二中数学组命制） 第 I 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合 }54,3,1{},3,2,1{ ， BA ,则 BA 的子集个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．16 2. 已知点 A（0,1），B（3,2），向量 BC  =（-7，-4）,则向量 AC  =( ) A.（-4，-3） B.（10,5） C.（-1,4） D.（3，4） 3. 已知i 为虚数单位，复数 z 满足 2i (1 2i)z   ，则 z  （ ） A． 4 3i  B． 2 3i  C． 2 3i D． 4 3i  4. 有 5 张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 张卡片中任取 2 张不同颜色的卡片，则取出的 2 张卡片中含有红色卡片的概率为（ ） A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 5.已知点 P 在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 上，抛物线C 的焦点为 F ，准 线为l ，过点 P 作l 的垂线，垂足为Q ，若 6PFQ   ， PFQ 的面积为 3 ，则焦点 F 到 准线l 的距离为( ) A.1 B. 3 C. 2 3 D.3 6.已知偶函数 ( )f x 在 ( ,0] 上是增函数.若 0.8 2 1 2 1(log ), (log 3), (2 )5a f b f c f    ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c  B.b a c  C. c b a  D. c a b  7. 《九章算术》中的 “两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对 穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现 有墙厚 5 尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒， 则小鼠至死方休.则以上说法错误的个数是（ ）个 A． 0 B．1 C. 2 D．3 8. 已知函数 ),2,0)(sin( RxxAy  的图象如图所示，则该函数的单调减 区间是（ ）   ZkkkA  1610,162.   ZkkkB  1614,166.   ZkkkC  166,162.   ZkkkD  162,166. 9. 在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) 4.A .(4 2)B  6.C .(5 2)D  10. 执行如下图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ） A．1 B. 12016  C. 12017  D. 12018  11. 某多面体的三视图如下图所示，则该多面体的体积为（ ） A. 2 B. 5 3 C. 1 D. 2 2 12. 若存在( )满足 2 3 10 0 2 9 0 3 6 0 x y x y x y            ，且使得等式 成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( ) A. B. 3[ , )2e  C. ( ,0) D. 第 II 卷 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13. 已知函数 2log ( ), 1 ( ) 10 , 1| | 3 x a x f x xx        ，若 (0) 2f  ，则 ( 2)a f   ________ 14.已知等差数列 na ，其前 n 项和为 2 8, 2 24n mS a a a   ， 1a =2，则 2mS  15. 已知点 P 和点 Q 分别为函数 xy e 与 y kx 图象上的点，若有且只有一组点（P,Q)关 于直线 y x 对称，则 k =_________ 16. 已 知 点 1 2,F F 为 椭 圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     和 双 曲 线   2 2 2 2 '2: 1 ' 0, ' 0' x yC a ba b     的 公 共 焦 点 ， 点 P 为 两 曲 线 的 一 个 交 点 ， 且 满 足 1 2 90F PF  o ，设椭圆与双曲线的离心率分别为 1 2,e e ，则 2 2 1 2 1 1 e e  =_________. 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题共 12 分） 已知 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为  , , , sin cos 0a b c b B C a A   ，且 32,sin 5c C  . （1）求证： 2A B  ； （2）求 ABC 的面积. 18. （本小题共 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平 面 PAC  平面 PBD . (1)求证：PB＝PD； (2)若 M 为 PD 的中点，AM⊥平面 PCD，求三棱锥 D-ACM 的体积． 19. （本小题共 12 分） 济南市某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分別到 气象局与某医院抄录了1至 6 月份每月10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到 如下资料（表）: 日期 1月10 日 2 月10 日 3月10 日 4 月10 日 5月10 日 6 月10 日 昼夜温差  x C 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y （个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归 方程，再用被选取的 2 组数据进行检验. （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取的是1月与 6 月的两组数据，请根据 2 至5月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回 归方程 y bx a  ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为 得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想. 其中回归系数公式， 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x n x x x                 , a y bx   20. （本小题共 12 分） 已知曲线 C 的方程为 ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a 为常数). (1)判断曲线 C 的形状; (2)设曲线 C 分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B(A,B 不同于原点 O),试判断△AOB 的面积 S 是否为 定值?并证明你的判断; (3)设直线 l:y=-2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,且 8 5OM ON    ,求 a 的值. 21. （本小题共 12 分） 已知函数 2( ) ( ) ln ,( )f x a x x x a R    ． （1）若 ( )f x 在 1x  处取到极值，求 a 的值； （2）若 ( ) 0f x  在[1, ) 上恒成立，求 a 的取值范围； （3）求证：当 2n  时， 1 1 1 1 ln 2 ln3 ln n n n    … ． 请考生从 22、23 题中任选一题做答， 22. （本小题共 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的单 位长度，已知直线l 的参数方程为 1 2 (2 x t ty t      为参数), 圆C 的极坐标方程为 2  . （1）写出直线l 极坐标方程及圆C 标准方程； （2）设  1,1P  ，直线l 和圆C 相交于 ,A B 两点，求 PA PB 的值. 23.（本小题共 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知不等式 2 2 2 2x x    的解集为 M ． （Ⅰ）求集合 M ； （Ⅱ）已知t 为集合 M 中的最大正整数，若 1, 1, 1a b c   ，且    1 1 1a b c t    ， 求 abc的最小值 2018 高三数学（文）模拟试题参考答案及评分标准 （历城二中数学组命制） 1--5 CAACD 6--10 ABDDC 11-12 BB 13、 2 14、 15、 16、 2 17. 解：(1)因为 ，又由正弦定理得 ，即 所以 A 为钝角， 又 和 B 都 为 锐 角 ， 即 ；------6 分 (2) , 则 ，得 ，--------------9 分 所以 . 解得： --------------11 分 则 -------12 分 (2) 如图，因为 AM⊥平面 PCD， AM⊥PD，PD 的中点为 M，所以 AP＝AD＝2 --------------8 分 由 AM⊥平面 PCD，可得 AM⊥CD，又 AD⊥CD，AM∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥PA， 又由（1）可知 BD⊥PA，BD∩CD＝D， 所以 PA⊥平面 ABCD. --------------10 分 故 VDACM＝VMACD＝1 3× 1 2PA×S△ACD＝1 3× 1 2×2× 1 2×2×2＝ --------------12 分 19.解：（1）设抽到相邻两个月的数据为亊件 ， 因为从 组数据中选取 组数据共有 种情况， 每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有 种， 所以 . --------------3 分 （2）由数据求得 , 由公式求得 ， 再由 ,得 关于 的线性回归方程为 .--------------8 分 （3）当 时， ; 同样，当 时， , 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. --------------12 分 20.解:(1)将曲线 C 的方程化为 x2+y2-2ax-y=0 ⇒ (x-a)2+(y-)2=a2+ , 可 知 曲 线 C 是 以 点 (a,) 为 圆 心 , 以 为 半 径 的 圆 . --------------3 分 (2)△AOB 的面积 S 为定值. 证明如下:在曲线 C 的方程中令 y=0,得 ax(x-2a)=0,得点 A(2a,0), 在曲线 C 方程中令 x=0,得 y(ay-4)=0,得点 B(0,), 所以 S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值). --------------4 分 (3) 直 线 l 与 曲 线 C 方 程 联 立 得 ， 设 ，则 即 即 解得 或 当 时，满足 ；当 时，满足 故 或 -------------12 分 21. 【解析】（1） ， 在 处取到极值， 即 经检验， 时， 在 处取到极小值. （2） ，令 ， 当 时， ， 在 上单调递减，又 ， 时， ，不满足 在 上恒成立 当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，过 ①当 即 时， 在 上恒成立， ，从而 在 上单调递增，又 时， 成立，满足 在 上恒成立 ②当 即 0< 时，存在 >1,使 时， <0， 单调递减， >0， 单调递增， ，又 ， 故不满足题意 当 时，二次函数 开口向下，对称轴为 ， 在 单调递减， ， ， 在 上单调递减，又 ， 时， ，故不满足 题意 综上所述， （3）证明：由（1）知令 ，当 时， （当且仅当 时 取“ ”） ∴当 时， ． 即当 ，有 ．--------------12 分 22.解：(1)由直线 的参数方程消去参数 可得 ， 化 简 并 整 理 可 得 直 线 的 一 般 方 程 为 ， 则 极 坐 标 方 程 由 可得 ，即 ，所以圆 的标准方程为 .--------5 分 (2) 易 知 点 在 圆 内 ， 且 在 直 线 上 ， 联 立 圆 的 方 程 和 直 线 的 参 数 方 程 方 程 组 ，设 ，所以 ， 所 以 ， 则 ，同理 ， .---------10 分 23. --------------------------------5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，则 ． 因为 ，所以 ， ………………6 分 则 ，（当且仅当 时等号成立）……………7 分 ，（当且仅当 时等号成立）………………8 分 ，（当且仅当 时等号成立）………………9 分 则 （当且仅当 时等号成立）， 即 ，即 ---------------------10 分