福建省莆田第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省莆田第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

莆田一中2019-2020学年度高三第一次阶段考 文科数学试题 命题人：高三文数备课组 审题人：‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若函数与的定义域分别为和，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.给出下列三个命题 ‎①命题，都有，则非，使得 ‎②在中，若，则角与角相等 ‎③命题：“若，则”的逆否命题是假命题 以上正确的命题序号是（ ）‎ A.①②③ B.①② C.①③ D.②③‎ ‎4．等差数列中，，，则数列的前20项和等于（ ）‎ A. -10 B. -20 C. 10 D. 20‎ ‎5．已知定义域为的奇函数在是增函数．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 设函数，（ ）‎ A．12 B．9 C．6 D．3‎ ‎7.如图，点为单位圆上—点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：‎ ‎①与所成的角为②∥平面 ‎ ‎③ ④平面∥平面 ‎ 其中正确判断的序号是（ ）．‎ A.① ③ B. ① ② ④ C② ③ . D. ② ③ ④‎ ‎9．当双曲线的离心率取得最大值时，其渐近线的斜率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知球O表面上的四点A，B，C，P满足，．若四面体PABC体积的最大值为，则球O的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．8π 二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 13． 已知向量，若，则实数 ．‎ ‎14.直线与曲线交于A、B，且,则的最小值为 ‎ ‎15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝acosC＋csinA，则＝__________．‎ ‎16．已知函数，若且，则最大值为_ __．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17（12分）若数列的前n项和满足.‎ ‎（1）证明数列为等比数列，并求；‎ ‎（2）若，，求数列的前2n项和.‎ ‎18 （12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BC=，CA＝3，且角D与角B互补，‎ ‎ （1）求△ACD面积的最大值；‎ ‎（2）·．求△ACD的周长 ‎19.（12分）如图，四面体中，是边长为1的正三角形，是直角三角形，‎ ‎，.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若点为的中点，求点到平面的距离.‎ ‎20.（12分）从抛物线上任意一点向轴作垂线段,垂足为，点是线段上的一点,且满足.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹交于两点，为上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，当时，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.‎ 23. ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ 莆田一中2019-2020学年度高三第一次阶段考 文科数学参考答案 选填题 ‎1-5 CACDA 6-10 BCBDA 11-12 CA 13、0，14、，15、，16、2‎ 解答题 ‎17.解：(1)∵，当时，得，‎ 当时，，∴，‎ 即，∴，‎ ‎∴数列是以λ为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴数列为等比数列.‎ ‎(2)∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎18解：在△ABC中在△ADC中,‎ ‎(1)‎ ‎19【解析】‎ ‎(1)取的中点，连接，由，，‎ 故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，‎ ‎，而面，‎ 故平面平面 ‎(2)在中，，则 故，为等腰直角三角形，则，而，点E到面ABC的距离等于点D到面ABC的距离的一半，‎ 设点到平面的距离为，由可得 ‎。‎ ‎20.解：（1）………………2分 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴时，在上递减，在递增 时，在上递增，在递减………………6分 ‎（2）设 则 ‎ 时，，递减 ‎，递增 ……………8分 设，,则 时时，递增，‎ ‎，递减 ‎ ‎ ‎，即………………12分 ‎【详解】（1）由得，‎ 直线的直角坐标方程为 由消得曲线的直角坐标方程 ‎（2）设 ‎【详解】解：（1）可转化为 或或， ‎ 解得或或无解. ‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（2）依题意，问题等价于关于的不等式有解，‎ 即， ‎ 又，当时取等号. ‎ 所以，解得，所以实数a的取值范围是.‎