中考数学试卷(含详细答案及解析)，精选大全，精品资料
中考数学试卷(含详细
答案及解析)，精选大全，高分必备
中考数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题只有一个
选项最符合题目要求
1．（3 分）﹣4 的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x5=x7 B．x5﹣x2=3x C．x2•x5=x10 D．x5÷x2=x3
3．（3 分）下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3 分）如图是一个由 7 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）若关于 x 的方程 x2﹣2x+c=0 有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
6．（3 分）如图，沿 AC 方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山
的另一边寻找点 E 同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD=150°，沿 BD 的方向前
进，取∠BDE=60°，测得 BD=520m，BC=80m，并且 AC，BD 和 DE 在同一平面内，
那么公路 CE 段的长度为（ ）
A．180m B．260 mC．（260 ﹣80）mD．（260 ﹣80）m
7．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，
AC⊥AB，E 是 BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为
（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
8．（3 分）在关于 x、y 的方程组 中，未知数满足 x≥0，y＞0，那么 m
的取值范围在数轴上应表示为（ ）
A． B． C ．
D．
9．（3 分）如图，△ABC 中 AB=AC=4，∠C=72°，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，
DE⊥AB，则 cosA 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3 分）有 5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1，2，3，4，5，随机抽
取 3 张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3 分）如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且 AE=DF，BF
交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若 =2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c
﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将答案填写在答题卡
相应的横线上.
13．（3 分）因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2= ．
14．（3 分）如图，AC∥BD，AB 与 CD 相交于点 O，若 AO=AC，∠A=48°，∠
D= ．
15．（3 分）根据绵阳市统计年鉴，2014 年末绵阳市户籍总人口数已超过 548 万
人，548 万人用科学记数法表示为 人．
16．（3 分）△OAB 三个顶点的坐标分别为 O（0，0），A（4，6），B（3，0），以
O 为位似中心，将△OAB 缩小为原来的 ，得到△OA′B′，则点 A 的对应点 A′的坐
标为 ．
17．（3 分）如图，点 O 是边长为 4 的等边△ABC 的内心，将△OBC 绕点 O 逆
时针旋转 30°得到△OB1C1，B1C1 交 BC 于点 D，B1C1 交 AC 于点 E，则 DE= ．
18．（3 分）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三
角形．现用 Ai 表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第 i 个数，例
如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则 A2016= ．
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤
19．（8 分）计算：（π﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（ ）﹣1．
20．（8 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a= ．
21．（11 分）绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使
用情况，该校学生会把该平台使用情况分为 A（经常使用）、B（偶尔使用）、C
（不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）
班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求此次被调查的学生总人数；
（2）求扇形统计图中代表类型 C 的扇形的圆心角，并补全折线统计图；
（3）若该校初一年级学生共有 1000 人，试根据此次调查结果估计该校初一年级
中 C 类型学生约有多少人．
22．（11 分）如图，直线 y=k1x+7（k1＜0）与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与
反比例函数 y= （k2＞0）的图象在第一象限交于 C、D 两点，点 O 为坐标原点，
△AOB 的面积为 ，点 C 横坐标为 1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求
出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．
23．（11 分）如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点 D 是 的中点，DE⊥
AC 于 E，DF⊥AB 于 F．
（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若 OF=4，求 AC 的长度．
24．（11 分）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进
价比乙种牛奶的进价每件少 5 元，其用 90 元购进甲种牛奶的数量与用 100 元购
进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的 3 倍少 5 件，两种牛奶的总数
不超过 95 件，该商场甲种牛奶的销售价格为 49 元，乙种牛奶的销售价格为每件
55 元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣
进价）超过 371 元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
25．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交
于点 C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为 M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点 D 为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD 与△ACB 面积相等时，
求点 D 的坐标；
（3）点 P 在线段 AM 上，当 PC 与 y 轴垂直时，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，
将△PCE 沿直线 CE 翻折，使点 P 的对应点 P′与 P、E、C 处在同一平面内，请求
出点 P′坐标，并判断点 P′是否在该抛物线上．
26．（14 分）如图，以菱形 ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
A、B 两点的坐标分别为（﹣2 ，0）、（0，﹣ ），直线 DE⊥DC 交 AC 于 E，动
点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 A→D→C 的路线向终点 C 匀速运
动，设△PDE 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒．
（1）求直线 DE 的解析式；
（2）求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
（3）当 t 为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线 BP 与直线 AC 所夹锐
角的正切值．
中考数学试卷
（满分 150 分 时间 120 分钟）
A 卷(共 100 分)
第Ⅰ卷(选择题 共 48 分)
一、选择题(共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分)
1．在下面四个数中，无理数是( )
A．0 B．－3.1415……
C．22
7 D． 9
2．如图，AB∥EF，FD 平分∠EFC，若∠DFC＝50°，则∠ABC＝( )
A．50° B．60°
C．100° D．120°
3．如图，数轴上点 A 对应的数为 2，AB⊥OA 于 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为
半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 长为( )
A．3 B． 2
C． 3 D． 5
4．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 A、B 为圆心，大于 1
2AB 长为半径
作弧，两弧相交于 M、N 两点；②作直线 MN 交 BC 于 D，连结 AD．若 AD＝AC，∠B＝25°，
则∠C＝( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
5．以下四个事件是必然事件的是( )
①|a|≥0；②a0＝1；③am·an＝amn；④a－n＝ 1
an (a≠0，n 为整数)
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
6．多项式 3x2y－6y 在实数范围内分解因式正确的是( )
A．3y(x＋ 2)(x－ 2) B．3y(x2－2)
C．y(3x2－6) D．－3y(x＋ 2)(x－ 2)
7．若 n(n≠0)是关于 x 的方程 x2＋mx＋2n＝0 的一个根，则 m＋n 的值是( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
8．凉山州某校举行“禁毒防艾”知识竞赛，该校八年级(1)班答题情况如图所示，则该
班正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数分别是( )
A．14、15 B．14、20
C．20、15 D．20、16
9．下列说法正确的是( )
①平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②同一物体的三视图中，俯视图与
左视图的宽相等；③线段的正投影是一条线段；④主视图是正三角形的圆锥的侧面展开图一
定是半圆；⑤图形平移的方向总是水平的，图形旋转后的效果总是不同的．
A．①③ B．②④
C．③⑤ D．②⑤
10．无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B、C 的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人
机的高度是 h，则河流的宽度 BC 为( )
A．h(tan 50°－tan 20°) B．h(tan 50°＋tan 20°)
C．h
1
tan 70°
－ 1
tan 40° D．h
1
tan 70°
＋ 1
tan 40°
11．如图，AB 与⊙O 相切于点 C，OA＝OB，⊙O 的直径为 6 cm，AB＝6 3cm，则阴
影部分的面积为( )
A．(9 3－π)cm2 B．(9 3－2π)cm2
C．(9 3－3π)cm2 D．(9 3－4π)cm2
12．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A．4a＋b＝0 B．a＋b>0
C．a∶c＝－1∶5 D．当－1≤x≤5 时，y>0
第Ⅱ卷(非选择题 共 52 分)
二、填空题(共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分)
13．式子 x－2
x－3
有意义的条件是________．
14．已知两个角的和是 67°56′，差是 12°40′，则这两个角的度数分别是________、
________.
15．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是________．
16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，若 CD＝8，∠D＝60°，则⊙O 的半径
为________．
17．方程 x2－bx＋c＝0 中，系数 b、c 可以在 1、2、3、4 中任取一值(b、c 可以取相同
的值)，则 b、c 所取的值使方程 x2－bx＋c＝0 有实数根的概率是________．
三、解答题(共 5 小题，共 32 分)
18．(5 分)计算：
1
3 －1－|－2＋ 3tan 45°|＋( 2－2018)0－( 2－ 3)( 2＋ 3).
19．(5 分)先化简，再求值： －3x2－[x(2x＋1)＋(4x3－5x)÷2x]，其中 x 是不等式组
x－2<0，
2x＋1
3
≥1 的整数解．
20．(7 分)在▱ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，将▱ABCD 沿 EF 所在直线翻折，
使点 B 与点 D 重合，且点 A 落在点 A′处．
(1)求证：△A′ED≌△CFD；
(2)连结 BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形 BFDE 的面积．
21．(7 分)西昌市教科知局从 2013 年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大
课间活动”抽样调查(被调查学生每人只能选一项)，并将抽样调查的数据绘制成图 1、图 2
两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)________年抽取的调查人数最少，________年抽取的调查人数中男生、女生人数相
等；
(2)求图 2 中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；
(3)2017 年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？
(4)如果 2017 年全市共有 3.4 万名中学生，请你估计我市 2017 年喜欢乒乓球和羽毛球两
项运动的大约有多少人？
每年抽取调查学生中男、
女学生人数折线图
2017 年抽取的学生中“我最喜欢的
阳光大课间”活动情况扇形统计图
图 1 图 2
22．(8 分)▱ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 y1＝kx＋b 与双曲线 y2＝
m
x (m>0) 在第一象限的图象相交于 A、E 两点，且 A(3,4)，E 是 BC 的中点．
(1)连结 OE，若△ABE 的面积为 S1，△OCE 的面积为 S2，则 S1________S2(直接填“>” “<”
或“＝”)；
(2)求 y1 和 y2 的解析式；
(3)请直接写出当 x 取何值时 y1>y2.
B 卷(共 50 分)
四、填空题(共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)
23．当－1
0，1
x>0, ∴
x＋1
x
2
≥ x·1
x
，
即 x＋1
x
≥2 x·1
x
，
∴x＋1
x
≥2.
当且仅当 x＝1
x
，即 x＝1 时，x＋1
x
有最小值，最小值为 2.
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)若 x＞0，函数 y＝2x＋1
x
，当 x 为何值时，函数有最值，并求出其最值；
(2)当 x＞0 时，式子 x2＋1＋ 1
x2＋1
≥2 成立吗？请说明理由．
27．(14 分)结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 80 m，宽
60 m 的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全
等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 36 m，不大于
44 m，预计活动区造价 60 元/ m2，绿化区造价 50 元/m2，设绿化区域较长直角边为 x m.
(1)用含 x 的代数式表示出口的宽度；
(2)求工程总造价 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；
(3)如果业主委员会投资 28.4 万元，能否完成全部工程？若能，请写出 x 为整数的所有
工程方案；若不能，请说明理由；
(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行
绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 11 m2，结果提前 4 天完成四个区域的绿化任务，
问原计划每天绿化多少 m2?
28．(12 分)已知：直线 y＝x＋3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y＝x2＋bx
＋c 经过 A、B 两点，点 M 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀
速运动；同时点 N 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 2个单位的速度匀速运动，
连结 MN，设运动时间为 t 秒．
(1)求抛物线解析式；
(2)当 t 为何值时，△AMN 为直角三角形；
(3)过点 N 作 NH∥y 轴交抛物线于点 H，连结 MH，是否存在点 H 使 MH∥AB，若存在，
求出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.A 11.C 12.D
二、13.x≥2 且 x≠3 14.40°18′ 27°38′ 15.(4,6)
16.8
3 3 17. 7
16
三、18.解：原式＝3－|－2＋ 3|＋1－(2－3)＝3－(2－ 3)＋1＋1＝3＋ 3.
19．解：原式＝－3x2－ 2x2＋x＋2x2－5
2 ＝－3x2－2x2－x－2x2＋5
2
＝－7x2－x＋5
2.由 x－
2<0，得 x<2；由2x＋1
3
≥1，得 x≥1，∴1≤x<2.∵x 为整数，∴x＝1.当 x＝1 时，原式＝－7×12
－1＋5
2
＝－11
2 .
20．(1)证明：根据题意，得∠A′＝∠A＝∠C，A′D＝AB＝CD，∠A′DF＝∠ABC＝
∠CDA，∴∠A′DF－∠EDF＝∠CDA－∠EDF，即∠A′DE＝∠CDF，∴△A′ED≌△CFD.
(2)解：过点 E 作 EG⊥BC 于点 G.∵△A′ED≌△CFD，∴DE＝DF.又∵DF＝BF，∴
DE＝BF.在四边形 BFDE 中，∵DE 綊 BF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．又∵BF＝DF，
∴四边形 BFDE 是菱形．∵∠EBF＝60°，∴△BEF 是正三角形，∴BE＝BF＝EF＝3.∵在
Rt△BGE 中，sin 60°＝EG
BE
，∴EG＝3× 3
2
＝3
2 3，∴S□
BFDE＝BF·EG＝3×3
2 3＝9
2 3.
21．(1)2013 2016 (2)解：α＝360°×(1－25%－15%－10%－35%)＝54°. (3)解：(600
＋550)×(25%＋15%)＝460(人)，即喜欢羽毛球和短跑的学生共有 460 人． (4)解：34
000×(35%＋25%)＝20 400(人)，即估计我市 2017 年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有
20 400 人．
22．(1)＝ (2)解：∵点 A(3,4)在双曲线 y2＝m
x
上，∴m＝3×4＝12，∴y2＝12
x .过点 B 作
BM⊥x 轴于点 M，过点 E 作 EN⊥x 轴于点 N，∴BM＝4，EN∥BM.在△BMC 中，∵E 是 BC
的中点，∴EN∥BM，∴N 是 CM 的中点，∴EN＝1
2BM＝1
2
×4＝2.∵点 E 在双曲线 y2＝12
x
上，
∴12
x
＝2，∴x＝6，∴E(6,2)．∵直线 y1＝kx＋b 过点 A、E，∴ 3k＋b＝4，
6k＋b＝2，
解得
k＝－2
3
，
b＝6.
∴y1＝－2
3x＋6.
(3)解：当 3y2.
四、23.2a 解析：∵－1＜a＜0，∴a－1
a
＞0，a＋1
a
＜0，∴原式＝ a2＋ 1
a2
－2－
a2＋ 1
a2
＋2＝|a－1
a|－|a＋1
a|＝a－1
a
＋a＋1
a
＝2a.
24.
4
3
，8
3 解析：过点 C1 作 C1H⊥x 轴于点 H.∵△C1OB∽△C1A1O，∴C1O
C1A1
＝ OB
A1O
＝1
2.
∵tan∠C1A1H＝ OB
OA1
＝C1H
A1H
＝1
2
，∴设 C1H＝m，则 A1H＝2m，OH＝2m－4，∴A1C1＝ 5m，
OC1＝ m2＋2m－42，∴ 5m＝2 m2＋2m－42，解得 m＝8
3
或8
5(舍去)，∴C1
4
3
，8
3 .
五、25.证明：(1)连结 OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B.∵∠MCA＝∠B，∴∠OCB＝∠
MCA.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠ACO＋∠MCA＝90°，即∠OCM＝
90°，∴MC 是⊙O 的切线．
(2)∵∠ACB＝90°，∴∠MCA＋∠DCB＝90°，∠A＋∠B＝90°.∵∠MCA＝∠B，∴∠DCB
＝∠A.在 Rt△FHB 中，∠BFH＋∠B＝90°，∴∠BFH＝∠A.又∵∠BFH＝∠CFD，∴∠A＝
∠CFD，∴∠DCB＝∠CFD，∴DC＝DF，∴△DCF 是等腰三角形．
26．解：(1)∵x>0∴2x>0，1
x>0，∴2x＋1
x
≥2 2x·1
x
＝2 2，当且仅当 2x＝1
x
，即 x＝ 2
2
时，
2x＋1
x
有最小值，最小值为 2 2. (2)式子 x2＋1＋ 1
x2＋1
≥2 不成立．理由如下：∵x>0，∴x2
＋1>0， 1
x2＋1>0，∴x2＋1＋ 1
x2＋1
≥2 x2＋1· 1
x2＋1
＝2，当且仅当 x2＋1＝ 1
x2＋1
时取等号，
此时 x2＋1＝1，即 x＝0.又 x>0，∴不等式不能取等号，即不成立．
27．解：(1)出口宽度为(80－2x)m. (2)∵直角三角形较短的直角边长为60－80－2x
2
＝
(x － 10)m,36≤80 － 2x≤44 ， ∴ y ＝ 50×4× 1
2 x(x － 10) ＋ 6080×60 － 4× 1
2 x(x － 10) ＝
60×80×60 － 10×4× 1
2 x(x － 10) ＝ 288 000 － 20x(x － 10) ＝ － 20x2 ＋ 200x ＋ 288
000(18≤x≤22)．,(3)根据题意，得－20x2＋200x＋288 000＝284 000，解得 x1＝20，x2＝－10(不
合题意，舍去)．∵18≤x≤22，∴投资 28.4 万元能完成全部工程任务．∵y＝－20x2＋200x
＋288 000＝－20(x－5)2＋288 500，∴当 x≥5 时，y 随 x 的增大而减小，∴x＝20,21,22，∴
共有三种方案：(方案一)绿化区域较长直角边为 20 m，较短直角边为 10 m；(方案二)绿化区
域较长直角边为 21 m，较短直角边为 11 m；(方案三)绿化区域较长直角边为 22 m，较短直
角边为 12 m．,(4)由(3)知，当 x＝22 时，造价最低(即最省钱)，此时绿化区面积为
4×1
2
×22×(22－10)＝528 (m2)．设原计划每天绿化 a m2.由题意，得528
a
－ 528
a＋11
＝4，解得
a1＝33，,a2＝－44(舍去)．故原计划每天绿化 33 m2.
28.解：(1)∵直线 y＝x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，∴A(－3,0)、B(0,3)．∵抛物
线 y＝x2＋bx＋c 经过 A、B 两点，∴ 9－3b＋c＝0，
c＝3，
解得 b＝4，
c＝3.
∴y＝x2＋4x＋3.
(2)分情况讨论：①当 MN⊥AB 时，AN＝MN＝ 2t，AM＝3－t.∵AN2＋MN2＝AM2，∴( 2t)2
＋( 2t)2＝(3－t)2，解得 t＝1 或 t＝－3(舍去)；②当 MN⊥OA 时，AM＝MN＝3－t，AN＝ 2t.
∵AM2＋MN2＝AN2，∴(3－t)2＋(3－t)2＝( 2t)2，解得 t＝3
2.∴当 t＝1 或3
2
时，△AMN 为直角
三角形．
(3)设点 M、N 运动 t 秒时，MH∥AB，NH 交 x 轴于点 D.根据题意，得 M(－t,0)、D(t－
3,0)．∵NH⊥x 轴，∴当 x＝t－3 时，y＝(t－3)2＋4(t－3)＋3＝t2－2t，∴H(t－3，t2－2t)．设
直线 MH 的解析式为 y＝kx＋d，∴ t－3k＋d＝t2－2t，①
－tk＋d＝0. ②
①－②，得 k＝t2－2t
2t－3
.∵MH∥
AB，∴t2－2t
2t－3
＝1，解得 t＝3 或 t＝1.经检验，t＝3 或 t＝1 是原方程的根．当 t＝3 时，H(0,3)
与点 B 重合，不合题意，舍去；当 t＝1 时，H(－2，－1)，满足题意，∴存在 H(－2，－1)
使 MH∥AB.
中考数学二模试卷
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．下列数中，比 大的实数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．3 D．
2．若把 x﹣y 看成一项，合并 2（x﹣y）2+3（x﹣y）+5（y﹣x）2+3（y﹣x）得（ ）
A．7（x﹣y）2 B．﹣3（x﹣y）2 C．﹣3（x+y）2+6（x﹣y） D．（y﹣x）2
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．将数据 162000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.162×105 B．1.62×105 C．16.2×104 D．162×103
5．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5 点朝上是必然事件
B．审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是 S 甲
2＝0.4，
S 乙
2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
6．如图所示的圆锥体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上答案都不对
7．一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南
航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最
近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五
头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在▱ ABCD 中，BC＝6，∠ABC 的平分线与 CD 的延长线交于点 E，与 AD 交于
点 F，且点 F 为边 AD 的中点，AG⊥BE 于点 G，若 AG＝2，则 BE 的长度是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
10．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三
倍，则称这样的方程为“3 倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程 x2﹣4x+3＝0 是 3 倍根方程
B．若关于 x 的方程（x﹣3）（mx+n）＝0 是 3 倍根方程，则 m+n＝0
C．若 m+n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程（x﹣3）（mx+n）＝0 是 3 倍根方程
D．若 3m+n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程 x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是 3 倍根方程
11．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边
AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
12．如图是二次函数 ，反比例函数 在同一直角坐标系的图象，若 y1
与 y2 交于点 A（4，yA），则下列命题中，假命题是（ ）
A．当 x＞4 时，y1＞y2 B．当 x＜﹣1 时，y1＞y2 C．当 y1＜y2 时，0＜x＜4 D．当 y1＞y2
时，x＜0
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．若 a，b 都是实数，b＝ + ﹣2，则 ab 的值为 ．
14．分解因式：4m2﹣16n2＝ ．
15．如图，在△ABC 中，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A＝50°，则∠BOE 的度
数为 ．
16．如图，四边形 ABCD 内接于
⊙
O，若∠B＝130°，OA＝1，则 的长为 ．
17．如图，在△ABC 中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D 在△ABC 内部，且 AD＝CD，∠ADC＝90°，
连接 BD，若△BCD 的面积为 10，则 AD 的长为 ．
18．如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 P 在边 BC 上运动，过点 P 作
PQ⊥AP，交边 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 86 分）
19．（16 分）（1）|﹣2|+ •tan30°+（2018﹣
π
）0
（2）化简，再求值：（ ﹣1） ，其中 x 的值从不等式组 的整
数解中选取．
20．（11 分）随着新媒体时代的到来，电脑己经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了
解学生在假期使用电脑的情况（选项：A：和同学亲友聊天；B：学习；C：购物；D：游戏；
E：其它），劳动节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表
（部分信息未给出）：
调查结果统计表
根据以上信息解答下列问题：（1）这次被调查的学生有多少人？（2）求表中 m、n、P 的
值，并补全条形统计图；（3）若该校约有 1000 名中学生，请估计全校学生中利用电脑和同
学亲友聊天、学习的共有多少人？
21．（11 分）潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用
32000 元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用 68000 元购进第二批凤凰茶
叶，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每千克凤凰茶叶进价多了 10 元．（1）该凤凰茶
叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全
部售完后总利润率不低于 20%，那么每千克售价至少是多少
元？
选项 频数 频率
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
22．（11 分）如图，反比例函数 y＝ （n 为常数，n≠0）的图象与一次函数 y＝kx+8（k
为常数，k≠0）的图象在第三象限内相交于点 D（﹣ ，m），一次函数 y＝kx+8 与 x 轴、
y 轴分别相交于 A、B 两点．已知 cos∠ABO＝ ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点 P
是 x 轴上的动点，当△APC 的面积是△BDO 的面积的 2 倍时，求点 P 的坐标．
23．（11 分）如图 1，以△ABC 的边 AB 为直径作
⊙
O，交 AC 边于点 E，BD 平分∠ABE 交
AC 于 F，交
⊙
O 于点 D，且∠BDE＝∠CBE．（1）求证：BC 是
⊙
O 的切线；（2）延长 ED 交
直线 AB 于点 P，如图 2，若 PA＝AO，DE＝3，DF＝2，求 的值及 AO 的长．
24．（12 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x
轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，
求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为
等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14 分）如图 1，在▱ ABCD 中，DH⊥AB 于点 H，CD 的垂直平分线交 CD 于点 E，交
AB 于点 F，AB＝6，DH＝4，BF：FA＝1：5．（1）如图 2，作 FG⊥AD 于点 G，交 DH 于点
M，将△DGM 沿 DC 方向平移，得到△CG′M′，连接 M′B．
①
求四边形 BHMM′的面积；
②
直线 EF 上有一动点 N，求△DNM 周长的最小值．（2）如图 3，延长 CB 交 EF 于点 Q，
过点 Q 作 QK∥AB，过 CD 边上的动点 P 作 PK∥EF，并与 QK 交于点 K，将△PKQ 沿直线 PQ
翻折，使点 K 的对应点 K′恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长．
答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．【分析】由于正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，根据实数大小比较法则求解即可．
【解答】解：将四个选分别与 进行比较，
A、B、D 中的数均比它小，只有 C 比它大．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小的比较，其中大小比较法则：
（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．【分析】把 x﹣y 看作整体，根据合并同类项的法则，系数相加字母和字母的指数不变，
进行选择．
【解答】解：2（x﹣y）2+3（x﹣y）+5（y﹣x）2+3（y﹣x），
＝[2（x﹣y）2+5（y﹣x）2]+[3（y﹣x）+3（x﹣y）]，
＝7（x﹣y）2．
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，是基础知识比较简单．
3．【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用 SSS 可证得△OCD≌△O′
C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法易得 OD＝O′D'，OC＝0′C'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为 SSS．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知
识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键．
4．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n
的值是易错点，由于 162000 有 6 位，所以可以确定 n＝6﹣1＝5．
【解答】解：162 000＝1.62×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键．
5．【分析】由随机事件和必然事件的定义得出 A 错误，由统计的调查方法得出 B 错误；由
方差的性质得出 C 正确，由概率的计算得出 D 错误；即可得出结论．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5 点朝上不是必然事
件，是随机事件，选项 A 错误；
B、审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项 B 错误；
C、甲乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是 S 甲
2＝
0.4，S 乙
2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项 C 正确；
D、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 ，不是
，选项 D 错误；
故选：C．
【点评】本题考查了求概率的方法、全面调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与
必然事件；熟记方法和性质是解决问题的关键．
6．【分析】先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是
判断出圆锥的三视图．
7．【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC＝30°、∠ACB＝15°，作 BD⊥AC 于点
D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，设 BD＝x，则 AB＝
BE＝CE＝2x、AD＝DE＝ x，据此得出 AC＝2 x+2x，根据题意列出方程，求解可得．
【解答】解：如图所示，
由题意知，∠BAC＝30°、∠ACB＝15°，
作 BD⊥AC 于点 D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，
则∠BED＝30°，BE＝CE，
设 BD＝x，
则 AB＝BE＝CE＝2x，AD＝DE＝ x，
∴AC＝AD+DE+CE＝2 x+2x，
∵AC＝30，
∴2 x+2x＝30，
解得：x＝ ≈5.49，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及的知识有：三角形的外角
性质，等腰三角形的判定，含 30°角直角三角形的性质，以及垂线段最短的应用，其中
理解题意，画出相应的图形，把实际问题转化为数学问题是解此类题的关键．
8．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的方程组．
9．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出 AB＝AF，再根据等腰三角形的
性质可求出 BG 的长，进而可求出 BF 的长，根据全等三角形的性质得到 BF＝EF，所以 BE
＝2BF，问题得解．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∵点 F 恰好为边 AD 的中点，
∴AF＝DF，
在△ABF 与△DEF 中，
，
∴△ABF≌△DEF，
∴BF＝EF，BE＝2BF，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵∠AFB＝∠FBC，
∵∠ABC 的平分线与 CD 的延长线相交于点 E，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵点 F 为 AD 边的中点，AG⊥BE．
∴BG＝ ＝ ，
∴BF＝2 ，
∴BE＝2BF＝4 ．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、
等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．
10．【分析】通过解一元方程可对 A 进行判断；先解方程得到 x1＝3，x2＝﹣ ，然后通过
分类讨论得到 m 和 n 的关系，则可对 B 进行判断；先解方程，则利用 m+n＝0 可判断两
根的关系，则可对 C 进行判断；先解方程，则利用 3m+n＝0 可判断两根的关系，则可对
D 进行判断．
【解答】解：A、解方程 x2﹣4x+3＝0 得 x1＝1，x2＝3，所以 A 选项的说法正确；
B、解方程得 x1＝3，x2＝﹣ ，当﹣ ＝3×3，则 9m+n＝0；当﹣ ＝ ×3，则 m+n＝
0，所以 B 选项的说法错误；
C、解方程得 x1＝3，x2＝﹣ ，而 m+n＝0，则 x2＝1，所以 C 选项的说法正确；
D、解方程得 x1＝﹣m，x2＝n，而 3m+n＝0，即 n＝﹣3m，所以 x2＝3x1，所以 D 选项的
说法正确．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两根时，x1+x2＝ ，x1x2＝ ．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．
11．【分析】根据翻折的性质可得∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，然后求出四边形 ABEB1
是正方形，再根据正方形的性质可得 BE＝AB，然后根据 CE＝BC﹣BE，代入数据进行计
算即可得解．
【解答】解：∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，
∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形 ABEB1 是正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边
形 ABEB1 是正方形是解题的关键．
12．【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．
【解答】解：由函数图象可知，当 x＞4 时，y1＞y2，A 是真命题；
当 x＜﹣1 时，y1＞y2，C 是真命题；
当 y1＜y2 时，0＜x＜4，C 是真命题；
y1＞y2 时，x＜0 或 x＞4，D 是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出 a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答
案．
【解答】解：∵b＝ + ﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝ ，
则 b＝﹣2，
故 ab＝（ ）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂的性质，正确得出 a 的值
是解题关键．
14．【分析】原式提取 4 后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
15．【分析】由三角形内角和得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根据角平分线定义得
∠1+∠2＝ （∠ABC+∠ACB），进而得到∠BOC 的度数，即可得到∠BOE 的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACB，
∴∠1+∠2＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BOE＝180°﹣115°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定
理、角平分线的定义是解题的关键．
16．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公
式计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于
⊙
O，∠B＝130°，
∴∠D＝50°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝100°，
则 的长＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、弧长的计算，掌握弧长公式、圆内接四边
形的对角互补是解题的关键．
17．【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线 DH，设 CM＝a，根据等腰直角三角形的性
质和三角函数表示 AC 和 AM 的长，根据三角形面积表示 DH 的长，证明△ADG≌△CDH
（AAS），可得 DG＝DH＝MG＝ ，AG＝CH＝a+ ，根据 AM＝AG+MG，列方程可得
结论．
【解答】解：过 D 作 DH⊥BC 于 H，过 A 作 AM⊥BC 于 M，过 D 作 DG⊥AM 于 G，
设 CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴ ＝2，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC＝ a，
S△BDC＝ BC•DH＝10，
＝10，
DH＝ ，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形 DHMG 为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG 和△CDH 中，
∵ ，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝ ，AG＝CH＝a+ ，
∴AM＝AG+MG，
即 2a＝a+ + ，
a2＝20，
在 Rt△ADC 中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝5 或﹣5 （舍），
故答案为：5 ．．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积
的计算；证明三角形全等得出 AG＝CH 是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．
18．【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，根据余角的性质得到∠BAP＝∠CPQ，
根据相似三角形的性质得到 CQ＝﹣ PB2+ PB＝﹣ （PB﹣5）2+ ，根据二次函数的
性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝∠APB+∠CPQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∴△ABP∽△QCP，
∴ ＝ ，
∵AB＝6，BC＝10，
∴ ＝ ，
∴CQ＝﹣ PB2+ PB＝﹣ （PB﹣5）2+ ，
∴CQ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握相似
三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共 7 小题，满分 86 分）
19．【分析】（1）先计算绝对值、立方根、代入三角函数值、零指数幂及负整数指数幂，
再计算乘法和加减可得；
（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得 x 的范围，据此
得出使分式有意义的 x 的整数解，最后代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2+3× +1﹣5
＝2+ +1﹣5
＝ ﹣2；
（2）原式＝[ ﹣ ]÷
＝ ÷
＝ •
＝﹣ ，
解不等式组 ，得：﹣1 ，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2，
∵x（x+1）≠0 且 x﹣1≠0，
∴x≠0 且 x≠±1，
∴x＝2，
则原式＝﹣ ＝﹣2．
【点评】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握分式有意
义的条件及分式的混合运算顺序和运算法则、解一元一次不等式组．
20．【分析】（1）根据购物的频数和频率求出这次被调查的学生人数；
（2）根据频数、频率的概念计算；
（3）求出学生中利用电脑和同学亲友聊天、学习的人数所占的百分比，计算即可．
【解答】解：（1）购物的频数是 5，频率是 0.1，
∴被调查的学生人数为：5÷0.1＝50（人），
（2）m＝ ＝0.2，n＝50×0.2＝10，p＝0.4×50＝20，
补全条形统计图如图所示：；
（3）该校约有 1000 名中学生，全校学生中利用电脑和同学亲友聊天、学习的人数是：
1000×（0.2+0.2）＝400（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图、频数分布直方图和用样本估计总体，掌握频数、频
率的概念、正确画出条形统计图是解题的关键．
21．【分析】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购 x 千克茶叶，则第二次购进 2x 千克茶叶，
根据单价＝总价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵 10 元，即可得出关
于 x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设每千克茶叶售价 y 元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于 y 的一元一次
不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购 x 千克茶叶，则第二次购进 2x 千克茶
叶，
根据题意得： ﹣ ＝10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200 是原方程的根，且符合题意，
∴2x+x＝2×200+200＝600．
答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶 600 千克．
（2）设每千克茶叶售价 y 元，
根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，
解得：y≥200．
答：每千克茶叶的售价至少是 200 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于 y 的一元一次
不等式．
22．【分析】（1）求得 A（﹣6，0），即可得出一次函数解析式为 y＝ x+8，进而得到 D
（﹣ ，﹣2），即可得到反比例函数的解析式为 y＝ ；
（2）解方程组求得 C（ ，10），依据△APC 的面积是△BDO 的面积的 2 倍，即可得到
AP＝，12，进而得到 P（﹣18，0）或（6，0）．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝kx+8 与 y 轴交于点 B，
∴B（0，8）．
∵在 Rt△AOB 中，cos∠ABO＝ ，
∴tan∠BAO＝ ＝ ，
∴AO＝6，
∴A（﹣6，0）．
∵点 A 在一次函数 y＝kx+8 图象上，
∴k＝ ，
∴一次函数解析式为 y＝ x+8．
∵点 D（﹣ ，m）在一次函数 y＝kx+8 图象上，
∴m＝﹣2，
即 D（﹣ ，﹣2），
∵点 D（﹣ ，﹣2）在反比例函数 y＝ 图象上，
∴n＝15．
∴反比例函数的解析式为 y＝ ；
（2）∵点 C 是反比例函数 y＝ 图象与一次函数 y＝ x+8 图象的交点，
∴ ，解得 ，
∴C（ ，10）．
∵△APC 的面积是△BDO 的面积的 2 倍，
∴ AP×10＝ ×8× ，
∴AP＝12，
又∵A（﹣6，0），点 P 是 x 轴上的动点，
∴P（﹣18，0）或（6，0）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点、用待定系数法求函数解析式、三角函
数、三角形面积的计算等知识；求出点 A 和 D 的坐标是解决问题的关键．
23．【分析】（1）根据圆周角定理可知∠BAE+∠EBA＝90°，由∠BAE＝∠BDE，∠BDE＝
∠CBE，所以∠EBA+∠EBC＝90°．
（2）易证 OD∥DE，从而可知 ，易证△EDF∽△BDE，DE2＝DF•DB，从而可求出
DB 的长度，由勾股定理可知 AB 的长度．
【解答】解：（1）∵AB 是直径，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∵∠BAE＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠EBA+∠EBC＝90°，
∴BC 是
⊙
O 的切线，
（2）连接 OD，AD
∵BD 平分∠ABE，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵PA＝AO
∴ ，
∵∠DEF＝∠DBA，
∴∠DEF＝∠EBD，
∵∠EDF＝∠EDB，
∴△EDF∽△BDE，
∴ ，
∴DE2＝DF•DB，
∴DB＝ ，
∴由勾股定理可知：AB2＝AD2+BD2，
∴AB＝ ，
∴AO＝
【点评】本题考查元的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角
定理、勾股定理等知识，综合程度较高，需要灵活运用所学知识．
24．【分析】（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 求得 a、b 的
值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段 BC、CD、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标
和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．
（2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4），
∴CD＝ ＝ ，
BC＝ ＝3 ，
BD＝ ＝2 ，
∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1．
①
若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C，
设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4
﹣y）2，
因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即 y＝4﹣x．
又 P1 点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即 x2﹣3x+1＝0，
解得 x1＝ ，x2＝ ＜1，应舍去，
∴x＝ ，
∴y＝4﹣x＝ ，
即点 P1 坐标为（ ， ）．
②
若以 CD 为一腰，
∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称，
此时点 P2 坐标为（2，3）．
∴符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）．
【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图
象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
25．【分析】（1）
①
根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②
连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点 P 在线段 CE 上和点 P 在线段 ED 上两种情况进行解答．
【解答】解：（1）
①
在▱ ABCD 中，AB＝6，直线 EF 垂直平分 CD，
∴DE＝FH＝3，
又 BF：FA＝1：5，
∴AH＝2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴ ，
即 ，
∴HM＝1.5，
根据平移的性质，MM'＝CD＝6，连接 BM，如图 1，
四边形 BHMM′的面积＝ ；
②
连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，如图 2，
∵直线 EF 垂直平分 CD，
∴CN＝DN，
∵MH＝1.5，
∴DM＝2.5，
在 Rt△CDM 中，MC2＝DC2+DM2，
∴MC2＝62+（2.5）2，
即 MC＝6.5，
∵MN+DN＝MN+CN＝MC，
∴△DNM 周长的最小值为 9．
（2）∵BF∥CE，
∴ ，
∴QF＝2，
∴PK＝PK'＝6，
过点 K'作 E'F'∥EF，分别交 CD 于点 E'，交 QK 于点 F'，如图 3，
当点 P 在线段 CE 上时，
在 Rt△PK'E'中，
PE'2＝PK'2﹣E'K'2，
∴ ，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴PE＝PE'﹣EE'＝ ，
∴ ，
同理可得，当点 P 在线段 DE 上时， ，如图 4，
综上所述，CP 的长为 或 ．
【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，
注意（2）分两种情况分析．
中考数学三模试卷
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．下面有 4 个汽车标志图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程﹣x2+2x＝0 的根为（ ）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
3．对于二次函数 y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为 1
C．图象的对称轴为直线 x＝﹣2 D．当 x＜2 时 y 随 x 的增大而减小
4．如图，AB 是
⊙
O 的直径，CD 是
⊙
O 的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD 等于（ ）
A．34° B．46° C．56° D．66°
5．如图所示，点 E 是正方形 ABCD 内一点，把△BEC 绕点 C 旋转至△DFC 位置，则∠EFC
的度数是（ ）
A．90° B．30° C．45° D．60°
6．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本
组其他成员赠送一本，某组共互赠了 210 本图书，如果设该组共有 x 名同学，那么依题意，
可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D． x（x﹣1）＝
210
7．如图，AB 是
⊙
O 的直径，点 C 为
⊙
O 外一点，CA、CD 是
⊙
O 的切线，A、D 为切点，
连接 BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA 的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
8．如图，
⊙
O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A 的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
9．如图，P 是抛物线 y＝﹣x2+x+3 在第一象限的点，过点 P 分别向 x 轴和 y 轴引垂线，垂
足分别为 A、B，则四边形 OAPB 周长的最大值为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．4
10．如图，
⊙
O 的半径为 1cm，正六边形 ABCDEF 内接于
⊙
O，则图中阴影部分面积为（ ）
A．
π
cm2 B． cm2 C． D．
11．如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开
线”，其中 FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圆心依次按点 A，B，C，D，E，F 循环，
其弧长分别记为 l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当 AB＝1 时，l2014 等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线 y1＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为 A（﹣1，3），抛物线与 x 轴的一
个交点为 B（﹣3，0），直线 y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：
①
2a
﹣b＝0，
②
abc＞0，
③
方程 ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根，
④
抛物线与 x 轴的另一个
交点是（1，0），
⑤
当﹣3＜x＜﹣1 时，有 y2＜y1．其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．已知 m 是关于 x 的方程 x2+4x﹣5＝0 的一个根，则 2m2+8m＝
14．在一个圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A＝100°，则∠C 的度数为 ．
15．如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A（2，0），以 OA 为半径作
⊙
O，若点 P，B 都在
⊙
O 上，且四边形 AOPB 为菱形．当点 P 在第三象限时，则点 P 的坐标为 ．
16．在一幢高 125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度 h（m）与时间 t（s）大致
有如下关系：h＝125﹣5t2． 秒钟后苹果落到地面．
17．点 A（0，3），点 B（4，0），则点 O（0，0）在以 AB 为直径的圆 （填内、上
或外）
18．已知关于 x 的方程 x2﹣（2m﹣8）x+m2﹣16＝0 的两个实根 x1、x2 满足 x1＜ ＜x2．则
实数 m 的取值范围 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 86 分）
19．（16 分）（1）计算：（2019﹣
π
） ；
（2）解方程：3x（1﹣x）＝2x﹣2．
20．（11 分）如图，在 11×11 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一
个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的
△A1B1C1；（要求 A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应）（2）作出△ABC 绕点 C 顺时针方向
旋转 90°后得到的△A2B2C；（3）在（2）的条件下算出线段 BC 旋转到 B2C 所经过的扇形
的面积．（结果保留
π
）
21．（11 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1＝0（1）当 m 取何值时，这个方程
有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求 m 的取值范围；（3）设 x1，x2 是
这个方程的两个实数根，且 1﹣x1x2＝x12+x22，求 m 的值．
22．（11 分）已知二次函数的图象经过点 A（﹣1，0）和点 B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）
求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当 y＞0 时，x 的取值范围．
23．（11 分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽
度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是 5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直
角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则
B 点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面
宽度变为 6m，求水面上涨的高度．
24．（12 分）如图，四边形 ABCD 的顶点在
⊙
O 上，BD 是
⊙
O 的直径，延长 CD、BA 交于
点 E，连接 AC、BD 交于点 F，作 AH⊥CE，垂足为点 H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：
AH 是
⊙
O 的切线；
（2）若 OB＝4，AC＝6，求 sin∠ACB 的值；（3）若 ＝ ，求证：CD＝DH．
25．（14 分）如图，O 是坐标原点，过点 A（﹣1，0）的抛物线 y＝x2﹣bx﹣3 与 x 轴的另
一个交点为 B，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D 点．（1）求 b 的值以及点 D 的坐标；（2）
连接 BC、BD、CD，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A、C、P 为顶点的三角形与△BCD 相
似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点
求解．
【解答】解：根据中心对称的定义可得：A、B、C 都不符合中心对称的定义．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．
2．【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0 或 x﹣2＝0，
所以 x1＝0，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方
法．
3．【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数 y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项 A 错误，
函数的最小值是 y＝1，故选项 B 错误，
图象的对称轴是直线 x＝2，故选项 C 错误，
当 x＜2 时 y 随 x 的增大而减小，故选项 D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
4．【分析】由 AB 是
⊙
O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，
又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD 的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵AB 是
⊙
O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形
结合思想的应用．
5．【分析】根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD＝90°，再根据旋转的性质求出∠
ECF＝∠BCD＝90°，CE＝CF，然后求出△CEF 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角
三角形的性质解答．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△BEC 绕点 C 旋转至△DFC 的位置，
∴∠ECF＝∠BCD＝90°，CE＝CF，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠EFC＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记
旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，然后判断出△CEF 是等腰直角三
角形是解题的关键．
6．【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清
问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
7．【分析】根据切线长定理可知 CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD 即可解决
问题．
【解答】解：∵CA、CD 是
⊙
O 的切线，
∴CA＝CD，
∵∠ACD＝48°，
∴∠CAD＝∠CDA＝66°，
∵CA⊥AB，AB 是直径，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAD＝66°，
故选：D．
【点评】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是
直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】根据圆周角定理即可求出答案
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝ ∠BOC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．
9．【分析】设 P（x，﹣x2+x+3），利用矩形的性质得到四边形 OAPB 周长＝2PA+2OA＝﹣
2x2+2x+6+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设 P（x，﹣x2+x+3），
四边形 OAPB 周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
当 x＝1 时，四边形 OAPB 周长有最大值，最大值为 8．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解
析式．也考查了二次函数的性质．
10．【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分
面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图所示：连接 BO，CO，
∵正六边形 ABCDEF 内接于
⊙
O，
∴AB＝BC＝CO＝1cm，∠ABC＝120°，△OBC 是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW 和△ABW 中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S 扇形 OBC＝ ＝ （cm2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积＝S 扇形 OBC
是解题关键．
11．【分析】利用弧长公式，分别计算出 l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定 l2014
的长．
【解答】解：根据题意得：l1＝ ＝ ，
l2＝ ＝ ，
l3＝ ＝ ＝
π
，
l4＝ ＝ ，
按照这种规律可以得到：ln＝ ，
所以 l2014＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出 l2014 的长．
12．【分析】根据抛物线的图象特征和对称性可得
①②④
；将方程 ax2+bx+c＝3 转化为函
数图象求交点问题可解；通过数形结合可得
⑤
．
【解答】解：由抛物线对称轴为直线 x＝﹣
b＝2a，则
①
正确；
由图象，ab 同号，c＞0，则 abc＞0，则
②
正确；
方程 ax2+bx+c＝3 可以看做是抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝3 求交点横坐标，
由抛物线顶点为（﹣1，3）则直线 y＝3 过抛物线顶点．
∴方程 ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根．故
③
正确；
由抛物线对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点（﹣3，0）则有对称性抛物线与 x 轴
的另一个交点为（1，0）
则
④
正确；
∵A（﹣1，3），B（﹣3，0），直线 y2＝mx+n 与抛物线交于 A，B 两点
∴当当﹣3＜x＜﹣1 时，抛物线 y1 的图象在直线 y2 上方，则 y2＜y1，
故
⑤
正确．
故选：A．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数各项系数的性质、抛物线对称性和从
函数观点看方程和不等式，解答关键是数形结合．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．【分析】利用一元二次方程的解的定义得到 m2+4m＝5，再把 2m2+8m 变形为 2（m2+4m），
然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m 是关于 x 的方程 x2+4x﹣5＝0 的一个根，
∴m2+4m﹣5＝0，
∴m2+4m＝5，
∴2m2+8m＝2（m2+4m）＝2×5＝10．
故答案为 10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解．
14．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是
⊙
O 的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的
任意一个外角等于它的内对角．
15．【分析】根据菱形的性质可知△POB，△AOB 是等边三角形，从而得出∠POM＝180°
﹣60°×2＝60°，再根据三角函数即可求出 OM，PM 的长度，得到点 P 的坐标．
【解答】解：∵四边形 AOPB 为菱形
∴OP＝PB＝AB＝OB，
∵OP＝OB，
∴△POB，△AOB 是等边三角形，
∴∠POM＝180°﹣60°×2＝60°，
∴OM＝OP•cos∠POM＝1，PM＝OP•sin∠POM＝ ．
当点 P 在第三象限时，P 的坐标为（﹣1，﹣ ）．
故答案为：（﹣1，﹣ ）．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和三角函数等知识，得出△POB，
△AOB 是等边三角形是解题关键．
16．【分析】苹果落到地面，即 h 的值为 0，代入函数解析式求得 t 的值即可解决问题．
【解答】解：把 h＝0 代入函数解析式 h＝125﹣5t2 得，
125﹣5t2＝0，
解得 t1＝5，t2＝﹣5（不合题意，舍去）；
答：5 秒钟后苹果落到地面．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解答时注意结合图象解答．
17．【分析】先得出圆的圆心坐标 C，进而得出 OC 的长与半径的长进行比较解答即可．
【解答】解：如图，
∵点 A（0，3），点 B（4，0），
∴AB＝ ，点 C（2，1.5），
∴OC＝ ＝CA，
∴点 O（0，0）在以 AB 为直径的圆上，
故答案为：上
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
18．【分析】根据当 x＝ 时，y＜0 时得到关于 m 的不等式，通过解不等式求得 m 的取值
范围即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣（2m﹣8）x+m2﹣16＝0 的两个实根 x1、x2 满足 x1＜
＜x2．
∴令 y＝x2﹣（2m﹣8）x+m2﹣16，
∴当 x＝ 时，y＜0，即 ﹣ （2m﹣8）+m2﹣16＜0．
解得﹣ ＜m＜ ．
故答案是：﹣ ＜m＜ ．
【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题的关
键．
三．解答题（共 7 小题，满分 86 分）
19．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原式＝1+9﹣（2﹣ ）+3× ﹣6×
＝10﹣2+ + ﹣2
＝8；
（2）∵3x（1﹣x）＝﹣2（1﹣x），
∴3x（1﹣x）+2（1﹣x）＝0，
则（1﹣x）（3x+2）＝0，
∴1﹣x＝0 或 3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣ ．
【点评】本题考查一元二次方程的解法和实数的混合运算，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）利用轴对称的性质画出 A、B、C 的定义点 A1、B1、C1，而从得到△A1B1C1；
（2）利用旋转的性质和网格特点，画出 A、B 的定义点 A2、B2 而从得到△A2B2C；
（3）由于线段 BC 旋转到 B2C 所经过的扇形的半径为 CB，圆心角为 90 度，然后利用扇
形的面积公式可计算它的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作；
（2）如图，△A2B2C 为所作；
（3）BC＝ ＝ ，
所以线段 BC 旋转到 B2C 所经过的扇形的面积＝ ＝
π
．
【点评】本题考查了作图﹣旋转：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，
对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到
对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称．
21．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根据根与系数的关系得出 x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，变形后代入，即可求出 m，再判
断即可．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，
∴m＜2 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵设 x1，x2 是这个方程的两个实根，则 x1＞0，x2＞0，
∴x1x2＝m﹣1＞0，
∴m＞1，
由（1）知：当△≥0 时，m≤2，
即 m 的取值范围是 1＜m≤2；
（3）∵x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1， ，
∴1﹣m+1＝22﹣2（m﹣1），
∴m＝4，
∵由（1）知：m＜2，
∴此时不存在，
所以当 1﹣x1x2＝x12+x22 时，m 不存在．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关
键．
22．【分析】由题意得：函数的对称轴为 x＝1，此时 y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x
﹣1）2﹣2，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：函数的对称轴为 x＝1，此时 y＝﹣2，
则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，
把点 A 坐标代入上式，解得：a＝ ，
则函数的表达式为：y＝ x2+x+
（2）a＝ ＞0，函数开口向上，
对称轴为：x＝1；
（3）当 y＞0 时，x 的取值范围为：x＞3 或 x＜﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数基本性质，函数的开口方向、对称轴、x 的取值范围都是
函数的基本属性，是一道基本题．
23．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点 B 的坐标即可，根
据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点 B 坐标
为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；
（2）根据题意可知水面宽度变为 6m 时 x＝2 或 x＝8，据此求得对应 y 的值即可得．
【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点 B 的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点 O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为 y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即 a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为 y＝﹣ （x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当 x＝5﹣3＝2 时，﹣ （x﹣5）2+5＝ ，
所以水面上涨的高度为 米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，
合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
24．【分析】（1）连接 OA，证明△DAB≌△DAE，得到 AB＝AE，得到 OA 是△BDE 的中
位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明；
（2）利用正弦的定义计算；
（3）证明△CDF∽△AOF，根据相似三角形的性质得到 CD＝ CE，根据等腰三角形的
性质证明．
【解答】（1）证明：连接 OA，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵BD 是直径，
∴∠DAB＝∠DAE＝90°，
在△DAB 和△DAE 中，
，
∴△DAB≌△DAE，
∴AB＝AE，又∵OB＝OD，
∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH 是
⊙
O 的切线；
（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACD，
∴AE＝AC＝AB＝6．
在 Rt△ABD 中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，
∴sin∠ADB＝ ＝ ，即 sin∠ACB＝ ；
（3）证明：由（2）知，OA 是△BDE 的中位线，
∴OA∥DE，OA＝ DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴ ＝ ＝ ，
∴CD＝ OA＝ DE，即 CD＝ CE，
∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝HE＝ CE，
∴CD＝ CH，
∴CD＝DH．
【点评】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理
和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．
25．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据相似三角形的性质，可得 AP 的长，根据线段的和差，可得 P 点坐标．
【解答】解：（1）把 A（﹣1，0）代入 y＝x2﹣bx﹣3，得 1+b﹣3＝0，
解得 b＝2．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）．
（2）如图，当 y＝0 时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝3，即 A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．
由勾股定理，得 BC2＝18，CD2＝1+1＝2，BD2＝22+16＝20，BC2+CD2＝BD2，∠BCD＝
90°，
①
当△APC∽△DCB 时， ，即 ，解得 AP＝1，即 P（0，0）．
②
当△ACP∽△DCB 时， ，即 ，解得 AP＝10，即 P′（9，0）．
综上所述：点 P 的坐标（0，0）（9，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用配方法求函数的顶点坐标；（2）利用相似三
角形的性质得出关于 AP 的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．在函数 1
3 1y x
中，自变量 x 的取值范围是
(A) 1
3x (B) 1
3x (C) 1
3x (D) 1
3x
2．下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
3．抛物线 2( 2) 3y x 的顶点坐标是（ ）
A． (2 3)， B． ( 2 3) ， D． (2 3)， D． ( 2 3) ，
4．如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立体图形，它的正视图是（ ）
5．今年我国发现的首例甲型 H1N1 流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周
内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人 7 天体温的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
6．如图，小陈从 O 点出发，前进 5 米后向右转 20°，再前进 5
米后又向右转 20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发
点 O 时一共走了（ ）
A．60 米 B．100 米 C．90 米 D．120 米
7.如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于
点 F，若 BC=6，则 DF 的长是
（A）2 （B）3 （C）
2
5 （D）4
8．如图，双曲线 )0( ＞kx
ky 经过矩形 QABC 的边 BC 的中点 E，
交 AB 于点 D。若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解析式为
（A）
xy 1 （B）
xy 2
（C）
xy 3 （D）
xy 6
！
A． Ｂ． Ｃ． D．
A． B． C． D．
O 20°
20°
第19题图
A
B
C D
O
9．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、
脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间 x （分钟）之
间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
10．如图所示，数轴上表示 2 5， 的对应点分别为 C、B，点 C 是
AB 的中点，则点 A 表示的数是（ ）
A． 5 B． 2 5 C． 4 5 D． 5 2
11．若关于 x y， 的方程组 2x y m
x my n
的解是 2
1
x
y
，则| |m n 为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．2
12．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒
分别按横截面如图（1）、（2）、（3）所示的方式进行捆绑，三个
图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形、正方形、菱形，
如果把三种方式所用绳子的长度分别用 x y z， ， 来表示，则
（ ）
A． x y z B． x y z C． x y z D． x y z
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将最后答案直接填在题中横线上．）
13．如图，点 A、B、C 在 O0 上，切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D．若∠A=30°，
CD= 2 3 ，则⊙O 的半径长为__________．
14．分解因式： 3 22x x x ．
15．某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区 2005 年至 2008 年每年
旅游收入的有关数据，整理并绘成图．根据图中信息，可知该地区 2005 年至 2008
年四年的年旅游平均收入是 亿元．
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
A． B． C． D．
（2）（1） （3）
A C B
2 50
年旅游收入（亿元）
年份
2005 2006 2007 2008
100
80
60
40
20
0
16．如图所示，△A’B’C’是由△ABC 向右平移 5 个单位，然后绕 B 点逆时针旋转 90°得到的
（其中 A’、B’、C’的对应点分别是 A、B、C），点 A’的坐标是（4，4）点 B’的坐标是（1，1），
则点 A 的坐标是 。
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 44 分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或
推演步骤．）
17．（6 分）计算：
3 0
21 4( 2 5) 2sin 452 2009 π
° ．
18．（9 分）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，
DE⊥AC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE AC ．
（1）求证： BG FG ；
（2）若 2AD DC ，求 AB 的长．
19．（9 分）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有 A、B、C、D 和一个等式，
将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
（1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用 A、B、C、D
表示）；
（2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至
少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，
则这个规则对谁有利，为什么？
20．（10 分）某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，
B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。
（1）求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该
商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候
总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
（1）设 A、B 两种纪念品的进价分别为 x 元、y 元。
由 题 意 ， 得 ………… 2 分
D
C
E
B G
A
F
A : 16 4 2B: 2 4 3 3 3C:3 2x x x 5 3 2D: ( 0)b b b b
解之，得
…… ………… …… …4 分
答：A、B 两种纪念品的进价分别为 20 元、30 元… …… …5 分
（2）设上点准备购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（40-x）件，
由题意，得
… …… …… ……7 分
解之，得： 3230 a … ………………………………………………8 分
∵总获利 2802)40(75 aaaw 是 a 的一次函数，且 w 随 a 的增大而减小
∴当 a=30 时，w 最大，最大值 w=-2×30+280=220.
∴40-a=10
∴应进 A 种纪念品 30 件，B 种纪念品 10 件，在能是获得利润最大，最大值是 220
元。………………………………………………………………………………10 分
21．（10 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC 上，
2AB AD BFC BAD DFC ， ．
求证：（1）CD DF⊥ ；
（2） 2BC CD ．
加试卷（共 50 分）
注意事项：
加试卷共 4 页，请将答案直接填写在试卷上．
一、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将最简答案直接填在题中横线上．）
1．如图所示，将 ABC△ 沿着 DE 翻折，若 1 2 80 °，则
B ．
2．已知 Rt ABC△ 的周长是 4 4 3 ，斜边上的中线长是 2，则
ABCS △ ．
A
D
CB
E
F
A E
D
C
B
G
F
1
2
3．已知 25 3 5 0x x ，则 2
2
15 2 5 2 5x x x x
．
4．把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成 4 块，像这样依次地
进行下去，到剪完某一次为止．那么 2007，2008，2009，2010 这四个数中 可能
是剪出的纸片数．
二、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分．解答题必须写出必要的文字说
明、证明过程或推演步骤．）
5．（10 分）阅读材料：
如图， ABC△ 中， AB AC ，P 为底边 BC 上任意一点，点
P 到两腰的距离分别为 1 2r r， ，腰上的高为 h ，连接 AP，则
ABP ACP ABCS S S △ △ △ ．
即： 1 2
1 1 1
2 2 2AB r AC r AB h
1 2r r h （定值）．
（1）理解与应用
如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上的
一点，且 BE BC ，F 为 CE 上一点， FM BC⊥ 于 M，
FN BD⊥ 于 N，试利用上述结论求出 FM FN 的长．
（2）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可
以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已 知 等 边 ABC△ 内 任 意 一 点 P 到 各 边 的 距 离 分 别 为
1 2 3r r r， ， ，等边 ABC△ 的高为 h ，试证明 1 2 3r r r h （定
值）．
（3）拓展与延伸
若正 n 边形 1 2 nA A A 内部任意一点 P 到各边的距离为 1 2 nrr r ，请问是 1 2 nr r r 是否
为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．
6．（10 分）我市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里
提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池．该村共有 243 户村民，准备
维护和新建的储水池共有 20 个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维护 3 18 6
A
CB P
r1 r2
h
D
CB
A
E
N
F
M
C
A
B
P r1
r3 r2
h
已知可支配使用土地面积为 106m2，若新建储水池 x 个，新建和维护的总费用为 y 万元．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）若平均每户捐 2000 元时，村里出资最多和最少分别是多少？
7．（10 分）
如图所示，已知点 ( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ， (0 )C t， ，且 0t ，tan 3BAC ，抛物线经过 A、
B、C 三点，点 (2 )P m， 是抛物线与直线 : ( 1)l y k x 的一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点 (1 )Q n， ，求 PQ QB 的最小值；
（3）若动点 M 在直线l 上方的抛物线上运动，求 AMP△ 的边 AP 上的高 h 的最大值．
裸板榆步阐剪缄店渺尼励弃即弄隘皇洲坷环兰钱柔咕写痒犯慧丛掸肋代槛鼠者漓枚蓝垂紧烃坷酣证独棚复绣粉厌奥刊
悉利靴鸟阜救婚说周特粗腔肋蔽垒用确诺漱帆嗅塞移氯折棠呻倍镰票挨林君肖雇泣临问周馈港齐招晚附弦痢搓攻润侨
匪茬眨弊混淘峙棉神埂续摔派凝扶痹离俩捅沏宪秉絮变回跨韶裙危感扭棵伟当峙蕴挥覆凿杠筷速募灶繁解支风罐篙悟
熙束漏救茎胸存疥椅航族捕牡就辗闹乙半兆杨妈谢用稚捞箱客引咽练条毛欧妥陶鸦噬逊蛛江壶餐岭放胜障地痴汇洼赡
甜妊产绍饱臣诅选淑怖葬攘郸胶址层皿傅银痰韦磅礼冉秃饼蔷陇购俊嚷穗澳溪期舵憋企算栈粒培阀挡啦自其绕敬樱惭
同四川省内江市中考数学试卷到宙拓疽姜曝小区痕伺芍肪拱磐婿给蝗契雌令阉顾盯锹塞问辛谜摧闹搀倘盂慌骡旭厄撇
藉档潜茵店代政贤芋晰皖窃坛增调蝴辖古没罪膀华睦滤粤纸迟滦蒂媚蝴痰寞盾纹众芋镇盼迸褪诅贮也彦辊腺去鼎锹额
搜苛赖守诌偏深嘱涸积悉锭鸦乎送俞各挝蕾戚母沃竭蛛彻膝渤鞭浇沫骤游误藻餐眠宗掠毁捅纪惺损娶营但成髓竞咸畏
腾苇踩拖跨评型炙绪呼腰矫普肘贰泻括纬试铣慌膛盆鹊霄买阁犁浩菩陇寄战斟涕瞎郸人国秧真院霹灿刷院缀头擦练阳
模创彤胡木畦奇单选古层蜒吼矫旷淖驻跪犊个哄馁说烃矗纳笆鸯焚挣絮瀑旋弦霉友锌纯犯啸戳郝卡怯干嗽拷趁饿香脸
蔑叠舌窖萨萧瓮傻稿栏鸡屏迪圭数学中国中高考真题坊芦萨讶蛊刘羔谚涡袍网帅怀疑宏噎伦娇眠火鹊组谎避鬼欺仲胺
桥星踩妒啪淋鞠华羔把蒸详斗匪阜娥譬惟因铣苍畸财绘奶篮窍尖扦诡广辜顿补统郝造缕阮惕炙甄阳骇夕庙塞至件刑舰
捉弗倦滨抽枷议瓮鹿健骡淌往勋弛肮六纶烹乃濒咒沫闯秋旁纯偶乳忌嘱型违馋及者汪肿威遮衍鸥惩氮腊族猫矛澄痔渤
尤择系钧欺砚壤恐炕喳沫侗愤鲤姆蓖跑同降树褪敲噪炉托赤篇绥哄虱醒吕悄迭枪副三抚澎浩犯逮德允正役旁炊赘卧上
莆击沧盂杆煤罩捞贩裸辟抠骚隐郴便吴粟潭焕瓶先岛扔醒灿厨蔓脆箕挑砒灵亩与望宅点腰侣吕吨赶阮逛膜战舌橡琢闻
桑汐曲乡淡给琶铁网碘装烩陛锰札砖颧水溪脏毕悄选魏
中考数学试卷(解析版)
（满分 120 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
O
A
C
B
x
y
每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据
正确选项代号在答题卡对应位置填涂．填涂正确记 3 分，不涂、错涂或多涂记 0
分．
1.计算 3＋（－3）的结果是（ ）
（A）6 （B）－6 （C）1 （D）0
【答案】D
考点：有理数的计算.
2.下列运算正确的是（ ）
（A）3x－2x＝x （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：同底数幂的相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减.A、
正确；B、原式=6 ；C、原式=4 ；D、原式=3.
考点：单项式的乘除法计算.
3.如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：根据三视图的法则可得：正六棱柱的主视图为 3 个矩形，旁边的两个矩形的宽比
中间的矩形的宽要小.
考点：三视图.
4.学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机
数量的 3 倍，则今年购置计算机的数量是（ ）
（A）25 台 （B）50 台 （C）75 台 （D）100 台
【答案】C
考点：一元一次方程的应用.
5.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东方向 55°，距离灯塔为 2 海里的点 A 处．如果海轮
沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB 长是（ ）
（A）2 海里 （B） 海里
（C） 海里 （D） 海里
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意可得∠PAB=55°，则cos∠PAB= ，即cos55°= ，则AB=2·cos55°.
考点：三角函数的应用.
6.若 m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
（A）m＋2＞n＋2 （B）2m＞2n （C） （D）
【答案】D
考点：不等式的应用.
7.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针
落在有阴影的区域内的概率为 a；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为 b．关于 a，b 大小
的正确判断是（ ）
（A）a＞b （B）a=b （C）a＜b （D）不能判断
【答案】B
【解析】
试题分析：根据正六边形的性质可得图中六个三角形的面积相等，则指针落在阴影部分的概
率为 ，即 a= ；投掷一枚硬币，正面向上的概率为 ，即 b= ，则 a=b.
考点：正六边形的性质、概率的计算.
8.如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠
ACB 的大小是（ ）
（A）60° （B）65° （C）70° （D）75°
【答案】C
考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.
9.如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（ ）
（A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1:
【答案】D
【解析】
试题分析：设 AC 与 BD 的交点为 O，根据周长可得 AB=BC=2，根据 AE= 可得 BE=1，则△
ABC 为等边三角形，则 AC=2，BO= ，即 BD=2 ，即 AC:BD=1： .
考点：菱形的性质、直角三角形.
10.关于 x 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次
方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的
根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个
【答案】D
考点：一元二次方程根与系数的关系.
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）请将答案直接填写在
对应横线上．
11.计算 的结果是＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】
试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2 －2×
= .
考点：实数的计算.
12.不等式 的解集是＿＿＿＿＿＿．
【答案】x＞3
考点：解不等式.
13.如图，点 D 在△ABC 边 BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE
的大小是＿＿＿＿＿度．
【答案】60
考点：角平分线的性质、三角形外角的性质.
14.从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上
数的绝对值小于 2 的概率是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】
试题分析：绝对值小于 2 的数为：－1，0 和 1 三个，则 P(绝对值小于 2)= .
考点：概率的计算.
15.已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是＿＿＿＿．
【答案】－1
考点：二元一次方程.
16.如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点，BP 与半圆交于点 Q，
连结 DQ．给出如下结论：①DQ＝1；② ；③S△PDQ＝ ；④cos∠ADQ= ．其中正确
结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
试题分析：根据切线的性质可得 DQ=AD=1，过点 Q 作 QE⊥BC，则△BQE∽△BPC，则
，则 ，过点 Q 作 QF⊥AD，则 DF= ，则 cos∠ADQ= = .则①②
④正确.
考点：圆的基本性质.
三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分）
17.（6 分） 计算： ．
【答案】－2a－6
考点：分式的化简.
18.（6 分）某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查。根据调查
结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为 60°，“自行车”对
应的扇形圆心角为 120°。已知九年级乘公交车上学的人数为 50 人．
（1）九年级学生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生 2 000 人，学校准备的 400 个自行车停车位是否足够？
【答案】骑自行车的人数多，多 50 人；不够.
(50÷ )× =100(人) 100－50=50(人) 九年级骑自行车比乘公交车上学人
数多 50 人.
(2)、2000× ≈667(人) 即学校准备的 400 个自行车停车位可能不够.
考点：扇形统计图.
19.（8 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．
【答案】略.
【解析】
试题分析：根据 AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠
ECB=90°，结合∠AEF=∠CFD 得出∠EAF=∠ECB，从而得到△AEF≌△CEB；根据全等得到
AF=BC，根据△ABC 为等腰三角形则可得 BC=2CD，从而得出 AF=2CD.
试题解析：(1)、∵AD⊥BC，CE⊥AB ∴∠AEF=∠CEB=90° 即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠
ECB=90°
又∵∠AEF=∠CFD ∴∠EAF=∠ECB
在△AEF 和△CEB 中，∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB ∴△AEF≌△CEB
(2)、由△AEF≌△CEB 得：AF=BC 在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC ∴CD=BD，BC=2CD ∴
AF=2CD.
考点：三角形全等、等腰三角形的性质.
20.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 ，p 为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】略；P=0、2、－2.
【解析】
考点：一元二次方程根的判别式.
21.（8 分）反比例函数 与一次函数 交于点 A（1，2k－1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与 x 轴交于点 B，且△AOB 的面积为 3，求一次函数的解析式．
【答案】y= ；y=－ 或 y= .
【解析】
试题分析：首先根据反函数经过点 A 列出一元一次方程求出 k 的值；根据点 A 的坐标和三角
形的面积得出点 B 的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.
①、当一次函数过 A(1,1)和 B(6,0)时，得： 解得：
∴一次函数的解析式为 y=－
②、当一次函数过 A(1,1)和 B(－6,0)时，得： 解得：
∴一次函数的解析式为 y=
综上所述，符合条件的一次函数解析式为 y=－ 或 y= .
考点：一次函数与反比例函数.
22.（8 分）如图，矩形纸片 ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠（AP＞AM），点 A
和点 B 都与点 E 重合；再将△CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上点 F 处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果 AM＝1，sin∠DMF＝ ，求 AB 的长．
【答案】△AMP∽△BPQ∽△CQD；AB=6.
试题解析：(1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD
(2)、设 AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1
由△AMP∽△BPQ 得： 即
由△AMP∽△CQD 得： 即 CQ=2
AD=BC=BQ+CQ= +2 MD=AD－AM= +2－1= +1
又∵在 Rt△FDM 中，sin∠DMF= DF=DC=2x ∴ 解得：x=3 或 x= (不合
题意，舍去)
∴AB=2x=6.
考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.
23.（8 分）
某工厂在生产过程中每消耗 1 万度电可以产生产值 5.5 万元．电力公司规定，该工厂每月用
电量不得超过 16 万度；月用电量不超过 4 万度时，单价都是 1 万元/万度；超过 4 万度时，
超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价 y 与月用电量 x 的函数关系可以用如图来表
示．（效益＝产值－用电量×电价）；
（1）设工厂的月效益为 z（万元），写出 z 与月用电量 x（万度）之间的函数关系式，并写
出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
【答案】z= ；54 万元.
试题解析：(1)、根据题意，电价 y 与用电量 x 的函数关系式是分段函数.
当 0≤x≤4 时，y=1 当 4＜x≤16 时，函数是过点(4，1)和(8,1.5)的一次函数
设一次函数为 y=kx+b ∴ 解得：
∴电价 y 与用电量 x 的函数关系为：y=
月效益 z 与用电量 x 之间的函数关系式为：z=
即 z=
考点：分段函数的应用.
24.（10 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1， ，
．△ADP 沿点 A 旋转至△ABP’，连结 PP’，并延长 AP 与 BC 相交于点 Q．
（1）求证：△APP’是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ 的大小；
（3）求 CQ 的长．
【答案】略；45°；
【解析】
试题分析：根据旋转得到 AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP，从而得出∠PAP′=90°，得到等腰直
角三角形；根据 Rt△APP′得出 PP′的大小，然后结合 BP′和 BP 的长度得到
，从而得出△BPP′是直角三角形，然后计算∠BPQ 的大小；过点 B 作 BM
⊥AQ 于 M，根据∠BPQ=45°得到△PMB 为等腰直角三角形，根据已知得出 BM 和 AM 的长度，
根据 Rt△ABM 的勾股定理求出 AB，根据△ABM∽△AQB 得出 AQ 的长度，最后根据 Rt△ABO
的勾股定理得出 BQ 的长度，根据 QC=BC－BQ 得出答案.
试题解析：(1)、证明：由旋转可得：AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP
∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90° ∴△APP′是等腰直角三角形
(3)、过点 B 作 BM⊥AQ 于 M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB 为等腰直角三角形
由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在 Rt△ABM 中，AB=
∵△ABM∽△AQB ∴ ∴AQ=
在 Rt△ABO 中，BQ= ∴QC=BC－BQ= － =
考点：旋转图形的性质、勾股定理、三角形相似.
25.（10 分）已知抛物线 与 x 轴交于点 A（m－2，0）和 B（2m＋1，0）（点
A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线 y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点 M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当
最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标．
（3）首尾顺次连接点 O，B，P，C 构成多边形的周长为 L．若线段 OB 在 x 轴上移动，求 L
最小值时点 O，B 移动后的坐标及 L 的最小值．
【答案】y=－ +2x+3；当 最小时，抛物线与直线的交点为 M(－1,0)，N(1,4)；当
线段 OB 向左平移 ，即点 O 平移到 O′(－ ，0)，点 B 平移到 B′( ，0)时，周长 L 最
短为： + +3.
【解析】
试题分析：根据对称轴求出 b 的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的
韦达定理求出 m 和 c 的值，从而得到抛物线解析式；根据函数的交点得出 + 和 · 的
值，然后利用完全平方公式求出最小值，得出交点的坐标；根据线段 OB 平移过程中，OB、
PC 的长度不变，得到要使 L 最小，只需 BP+CO 最短，平移线段 OC 到 BC′得到四边形 OBC′
C 是矩形，做点 P 关于 x 轴对称点 P′(1，－4)，连接 C′P′与 x 轴交于点 B′，设 C′P′
解析式为 y=ax+n，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出当 y=0 时，x 的值，从而得出
平移后点 B′的坐标，故点 B 向左平移 ，同时点 O 向左平移 ，平移到 O′(－ ，0)即
线段 OB 向左平移 时，周长 L 最短.此时线段 BP、CO 之和最短为 P′C′= ，O′B′=OB=3
CP=
(2)、由 ∴ +(k－2)x－1=0 + =－(k－2) · =－1
∴ ∴当 k=2 时， 的最小值为 4
即 的最小值为 2 ∴ －1=0 =1， =－1，即 =4， =0
∴当 最小时，抛物线与直线的交点为 M(－1,0)，N(1,4).
(3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3) O、B、P、C 构成多边形的周长 L=OB+BP+PC+CO
∵线段 OB 平移过程中，OB、PC 的长度不变 ∴要使 L 最小，只需 BP+CO 最短
如图，平移线段 OC 到 BC′ 四边形 OBC′C 是矩形 ∴C′(3,3)
做点 P 关于 x 轴对称点 P′(1，－4)，连接 C′P′与 x 轴交于点 B′，设 C′P′解析式为
y=ax+n
∴ 解得： ∴y=
当 y=0 时，x= ∴B′( ，0) 有 3－ = 故点 B 向左平移 ，平移到 B′
同时点 O 向左平移 ，平移到 O′(－ ，0)
即线段 OB 向左平移 时，周长 L 最短.
此时线段 BP、CO 之和最短为 P′C′= ，O′B′=OB=3 CP=
∴当线段 OB 向左平移 ，即点 O 平移到 O′(－ ，0)，点 B 平移到 B′( ，0)时，周长
L 最短为： + +3.
考点：图形的平移、一元二次方程的韦达定理、二次函数与方程.
第一轮复习数学强化训练 五
班级： 姓名： 评价：
内容：以“图形与变换”复习单元为主
一.选择题：
1.下列情形中，不属于平移的有
（
）
A.篮球在直线上滚动 B.电梯上人的升降 C.火车在笔直公路上行驶 D.农村辘轳上水桶的升降
2.如图所示的五幅图中，②、③、④、⑤中的哪一个图案可以通过平移图案①得到
（
）
A.② B.③ C.④ D.⑤
3.下列各网格中的图形是其图形中的一部分平移得到的是
4.在平面直角坐标系内，将 A 2,1 通过平移得到点 B 1, 3 ,下列关于点 A 平移到点
B 描述正确的是 A.向右平移 1 个单位，再向上平移 4 各单位 B.向右平移 1 个单位，再向
下平移 4 各单位
C.向左平移 1 个单位，再向上平移 4 各单位 D.向左平移 1 个单位，再向下平移 4 各单位
5.如图，以标原点O 画一个圆⊙O ，线段 AB 是直径，且点 A 的坐标为 ,1 5 ，若把
⊙O 向右平移 3 个单位，此时直径 AB 对应的直径为 ' 'A B ，则 B 的对应点 'B 的坐标为
（ ）
A. , 2 3 5 B. , 3 5 C. , 5 3 5 D. , 5 5
6.将直线 y x 2 向下平移 3 个单位长度所得到的直线解析式为
（ ）
CA B D
A. y x 1 B. y x 1 C. y x 3 1 D. y x 3 1
7.在同一平面直角坐标系中，将 2y 2 x 2 3 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度后再
沿
y 轴向上平移 4 个单位长度，得到的函数是
（
）
A. 2y 2 x 5 1 B. 2y 2 x 1 1 C. 2y 2 x 5 1
D. 2y 2 x 1 7
8.如图，将抛物线 2y x 沿直线 y x 平移 2 个单位后，其顶点在直线 y x 的 A 处，则平
移后的抛物线解析式为 （ ）
A. 2y x 1 1 B. 2y x 1 1 C. 2y x 1 1 D. 2y x 1 1
9.下列判断：①.两个全等的多边形一定关于某条直线成轴对称；②.成轴对称的两个多边形
一定全等；
③.轴对称图形对应点连线垂直平分对称轴.其中正确的是
（
）
A.①②③ B.①② C.①③ D.②
10.如图，△ ABC 与△ ' ' 'A B C 关于直线 MN 对称，点 P 为 MN 上的任意一点，则下列结
论中错误的是 A.△ 'AA P 是等腰三角形 B. MN 垂直平分 ' 'AA CC、
C △ ABC 与△ ' ' 'A B C 面积相等 D.直线 ' 'AB A B、 的交点不一定在 MN 上.
11.下面有 10 个与环保有关的标志，则其中是轴对称图案的个数为
（
）
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个
12.下列关于轴对称图形的对称轴的说法正确的是
（
）
A.射线是轴对称图形，对称轴有无数条 B.等腰三角形的对称轴是等腰三角形底边上的高
C.圆的对称轴就是圆的每一条直径 D.长方形的对称轴是过其对边两中点的直线
13.下列轴对称图形中，对称轴的条数少于 3 条的是
（
）
14.如图，将△ ABC 沿 AC 翻折得到△ 'AB C ，则下列结论不正确的是 （ ）
A. AC 平分 'BAB B. 'AC BB
C. 'BB 垂直平分 AC D.△ 'BCB 是等腰三角形
15.已知点 A 2a 1, 3 B 3,1 b 、 关于 x 轴对称，则下列正确的是
（
）
A. ,a 2 b 2 B. ,a 2 b 2 C. ,a 1 b 4
D. ,a 1 b 4
16. 已知点 A 2,3 B 3, 2 、 关于直线 m 对称，则下列直线 m 的解析式正确的是
（
）
A. y x B. y x C. y 2x D. y 2x
17.将一图形绕着点 O 顺时针方向旋转 70°后，再绕着点 O 逆时针方向旋转 120°，这时要
回到原来的位置，需要将图形绕着点 O 沿什么方向旋转多大角度？
（
）
A.顺时针方向，50° B.逆时针方向，50° C.顺时针方向，190° D.逆时针方向，190°
18.如图，在等边 ABCV 中， AC 9 ,点 O 在 AC 上，且 AO 3 ,点 P 是 AB 上一动点，连
接 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD ,要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是
（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
19.下面 4 张扑克牌中，不是中心对称图形的是
（
）
B C DA
A B C D
20.如图，将最右边正方形图案绕着中心旋转 180°后，得到的图形是
（
）
21.边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 ' ' 'AB C D ,两图叠成一个
“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是
（ ）
A． 32 3
B． 2 33
C. 32 4
D． 2
22.梯形 ABCD 中， AD ∥ BC , ,AB BC AD 3 BC 5 ， ,将腰 DC 绕点 D 顺时针旋转 90°
至 DE ,则图中阴影部分 ADEV 的面积是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
23.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 2, 3 ,将线段OA 绕点O 顺时针旋转 90°到 OA' ,
则点 A' 的坐标为
A. A' 3, 2 B. A' 3, 2 C. A' 3,2 D. A' 3,2
24.如图，已知 DE ∥ BC , EF ∥ AB ,则下列比例式中错误的是 （ ）
A. AD AE
AB AC
B. CE EA
CF FB
C. DE AD
BC BD
D. EF CE
AB CB
25.如图，在△ ABC 中， AB AC、 边上的高 CE BD、 相交于点 P ,图中所有的相似三角形共
有
A.4 对 B.5 对 C.6 对 D.7 对
26. 如图，在⊙ O 中， CA CB、 是其割线，按如图方式连接后，相似三角形的对数有
A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
27.下图中的小正方形的边长均为 1，则选项中的三角形（阴影）与△ ABC 相似的是 （ ）
28.如图，点 P 为△ ABC 边 AC 上的一点，若过点 P 画一直线与△ ABC 两边相交所截得的
三角形与△ ABC 相似，这样的直线可以画（ ）
A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条
A C DB
A B C D
29.如图所示，铁道口的拦道木短臂长为1m ，长臂长为16m；当短臂的端点下降0.5m时，
长臂的端点升高 （ ）
A. .11 25m B. .6 6m C. 8m D. .10 5m
30.将一副三角板按如图叠放，△ ABC 是等腰直角三角形，△ BCD
是有一个角为 30°的直角三角形，则△ AOB 和△ DCO 的面积之比
等于 （ ）
A. 1
3
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
4
31.如图，已知矩形 OABC 面积为 100
3
，它的对角线 OB 与双曲线 ky x
相交于 D ,且 OB :OD 5 : 3 ,则 k = （ ）
A.6 B.12 C.24 D.36
32. 下列命题中，正确的有
（
）
①.太阳光线可以看作平行光线，由这样的光线形成的投影是平行的；
②.路灯发出的光可以看作平行光，形成的投影是平行投影；
③.物体投影的长短，在任何情况下都只与物体的长短有关；
④.物体在任何光线的照射下，其投影的方向都是相同的.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
33.如图，一条线段在平面 中的正投影为 A' B' , AB 4m, A' B' 2 3m ，
则线段 AB 与平面 的夹角为 （ ）
A.45° B.30° C.60° D.以上均不对
34.如图所示的几何体的主视图是
（
）
35.下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位
C D
置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为 （ ）
36.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如右图是它主视图和左视图，那么组成该
几何体所需的正方体的个数最少为
（
）
A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个
37.一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的表面积为 （ ）
A. 2 B.6 C.7 D. 8
二.填空题：
38.把点 M 2, 4 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 M ' 的坐标为 .
39.如图，把长方形 ABCD的对角线 AC 是分成几段，再以每段作
为对角线作小长方形；设这些小长方形的周长为16cm，则长
方形 ABCD的周长为 .
40.已知长方形 ABCD 的长 AB a ，宽 BC b ，交叉的两条路
（图中阴影）的宽均为．．m ；则图中空白部分的面积为 .
41.在平面直角坐标系中，若点 ,M 2a b 3 和 ,N 4 a a b 关于 y 轴对称，则
a = ， b = .
42.英语的大写字母常用艺术字的形式表示出来，显得美观； 若按黑体艺术字的写法近似属
于轴对称图形的字母有 .
A B C D
3
2
43. 如图，已知△ ABC 纸片， : : : :A B BCA 5 6 7 ,将△ ABC
纸片沿 CD 进行如图所示的折叠，使 B 点落在 CA 边上的 'B 处，则
'B DA 的度数为 .
44.在平面直角坐标系内，点 ,M 2a 3 a 5 关于原点对称点在第二象
限，则 a 的取值范围是 .
45.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小方格涂色，与图中
的阴影部分构成中心对称图形，则涂色的序号是 .
46. 如图，在□ ABCD 中， E 在 AB 上， CE BD、 交于点 F ；
若 : :AE BE 4 3 ,且 BF 2 ,则 DF = .
47.如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部
（点 O ）20 米的点 A 处，沿 OA 所在的直线行走 14 米到达点 B .
则小明在点 A 处人影的长度为 ，小明在点 B 处人影的
长度为 .
48.如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为
点 O ,且 OE 4
EA 3
.则 FG
BC
.
三.解答题：
49. 如图均是 3 3 正方形网格，请按照例图的方式将后面几个 3 3 正方形网格一些方格涂
黑，使整个黑色图案是轴对称图形.
50 已知：如图在△ ABC 中， AB AC ,若将 ABCV 绕点 C 顺时针旋转 180°得到 FECV .
⑴.试猜想 AE 与 BF 有何关系？
⑵.若 ABCV 的面积为 23cm ，求四边形 ABFE 的面积；
⑶.当 ABC 为多少度时，四边形 ABFE 为矩形？说明理由.
51. 如图，已知三角形 ABC 中， ABC 90 ,边 BC 12cm ，把三角形 ABC 向下平移
至三角形 DEF 后， ,AD 5cm GC 4cm ,请求出图中阴影部分的面积.
52.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，⊿ ABC 的顶点都在格
点上，建立平面直角坐标系.
⑴.点 A的坐标为 ，点C 的坐
标为 ；
⑵.将 ⊿ ABC 向左平移 7 个单位，请画出平
移后的⊿ 1 1 1A B C ；若 M 为⊿ ABC 内的一点，
其坐标为 a,b ，则平移后的点 M 对应点 1M
的坐标为 ；
⑶.以原点O为位似中心，将⊿ ABC 缩小，使
得缩小后得到的⊿ 2 2 2A B C 与⊿ ABC 对应边的
比为1: 2 .请在网格内画出⊿ 2 2 2A B C ，并写出
2A 的坐标： .
53.如图是一个几何体的二视图，求该几何体的体积.（ 取 3.14，单位： cm ）
54. 如图从⊙ O 外一点 P 向圆引两条割线 PAB PCD、 ，交点情况见图.
⑴.求证： PA PB PC PD
⑵.若 ,PA 4 AB 5 DC 8 ， ,求 PC 的长？
55.如图，已知抛物线 ( )2y ax bx c a 0 的对称轴为 x 1 ，且抛物线经过
, , ,A 1 0 C 0 3 两点，与 x 轴交于点 B .
⑴.若直线 y mx n 经过 B C、 两点，求直线 BC 所在直线的解析式；
⑵. 抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M ,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，
求出此点 M 的坐标；
⑶.设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点，求使△ BPC 为直角三角形的点 P 的坐标
56.如图，直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别相交于 B C、 ,经过 B C、 两点的抛物线
2y ax bx c 与 x 轴另一交点为 A ，顶点为 P ,且对称轴是直线 x 2 .
⑴.求抛物线解析式；
⑵.连结 AC ,请问在 x 轴上是否存在点Q ,使得以点 P B Q、 、 为顶点的三角形与△ ACB
相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由;
⑶. D 点为第四象限的抛物线上一点，过点 D 作 DE x 轴，交CB 于 E ,垂足于 E ;过 D 作
DF CB D，垂足为 F ,交 x 轴于G ，试问是否存在这样的点 D ，使得△△ DEF 的周长
恰好被 x 轴平分？若能，请求出 D 点坐标；若不能，请说明理由.
题型专项(五) 反比例函数的综合题
类型 1 一次函数与反比例函数综合
1．(2016·成都大邑县一诊)如图，直线 l1：y＝x 与反比例函数 y＝k
x
的图象相交于点 A(2，
a)，将直线 l1 向上平移 3 个单位长度得到 l2，直线 l2 与 c 相交于 B，C 两点(点 B 在第一象
限)，交 y 轴于点 D.
(1)求反比例函数的解析式并写出图象为 l2 的一次函数的解析式；
(2)求 B，C 两点的坐标并求△BOD 的面积．
解：(1)∵点 A(2，a)在 y＝x 上，
∴a＝2.∴A(2，2)．
∵点 A(2，2)在 y＝k
x
上，
∴k＝2×2＝4.
∴反比例函数的解析式是 y＝4
x
.
将 y＝x 向上平移 3 个单位得 l2：y＝x＋3.
(2)联立方程组
y＝x＋3，
y＝4
x
，
解得
x1＝－4，
y1＝－1
或
x2＝1，
y2＝4.
∴B(1，4)，C(－4，－1)．
当 x＝0 时，y＝x＋3＝3，则 D(0，3)，
∴S△BOD＝1
2
×3×1＝3
2
.
2．(2015·南充)反比例函数 y＝k
x
(k≠0)与一次函数 y＝mx＋b(m≠0)交于点 A(1，2k－1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数与 x 轴交于点 B，且△AOB 的面积为 3，求一次函数的解析式．
解：(1)把点 A(1，2k－1)代入 y＝k
x
，得 2k－1＝k.
∴k＝1.
∴反比例函数的解析式为 y＝1
x
.
(2)由(1)得 k＝1，
∴A(1，1)．
设 B(a，0)，
∴S△AOB＝1
2
·|a|×1＝3.
∴a＝±6.
∴B(－6，0)或(6，0)．
把 A(1，1)，B(－6，0)代入 y＝mx＋b，得
1＝m＋b，
0＝－6m＋b.
解得
m＝1
7
，
b＝6
7
.
∴一次函数的解析式为 y＝1
7
x＋6
7
.
把 A(1，1)，B(6，0)代入 y＝mx＋b，得
1＝m＋b，
0＝6m＋b.
解得
m＝－1
5
，
b＝6
5
.
∴一次函数的解析式为 y＝－1
5
x＋6
5
.
∴符合条件的一次函数解析式为 y＝－1
5
x＋6
5
或 y＝1
7
x＋6
7
.
3．(2016·南充模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且 D(0，
4)，B(6，0)．若反比例函数 y＝k1
x
(x＞0)的图象经过线段 OC 的中点 A，交 DC 于点 E，交 BC
于点 F.设直线 EF 的解析式为 y＝k2x＋b.
(1)求反比例函数和直线 EF 的解析式；
(2)求△OEF 的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式 k2x＋b－k1
x
＞0 的解集．
解：(1)∵四边形 DOBC 是矩形，且 D(0，4)，B(6，0)，∴C 点坐标为(6，4)．
∵点 A 为线段 OC 的中点，∴A 点坐标为(3，2)．
∴k1＝3×2＝6.
∴反比例函数解析式为 y＝6
x
.
把 x＝6 代入 y＝6
x
，得 x＝1，∴F(6，1)．
把 y＝4 代入 y＝6
x
，得 x＝3
2
，∴E(3
2
，4)．
把 F(6，1)，E(3
2
，4)代入 y＝k2x＋b，得
6k2＋b＝1，
3
2
k2＋b＝4. 解得
k2＝－2
3
，
b＝5.
∴直线 EF 的解析式为 y＝－2
3
x＋5.
(2)S△OEF＝S 矩形 BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF＝4×6－1
2
－1
2
×6×4×3
2
－1
2
×(6－3
2
)×(4－1)＝45
4
.
(3)不等式 k2x＋b－k1
x
＞0 的解集为3
2
＜x＜6.
4．(2016·成都新都区一诊)如图，直线 OA：y＝1
2
x 的图象与反比例函数 y＝k
x
(k≠0)在第一
象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知△OAM 的面积为 1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 B 与点 A 不重合)，且 B 点的横坐标为 1，
在 x 轴上求一点 P，使 PA＋PB 最小．
解：(1)设 A 点的坐标为(a，b)，则 b＝k
a
，∴ab＝k.
∵1
2
ab＝1，∴1
2
k＝1，∴k＝2.
∴反比例函数的解析式为 y＝2
x
.
(2)联立
y＝2
x
，
y＝1
2
x，
解得
x＝2，
y＝1.
∴A(2，1)．
设 A 点关于 x 轴的对称点为 C，则 C 点的坐标为(2，－1)，由对称知识可得 BC 与 x 轴的交
点 P 即为所求．
设直线 BC 的解析式为 y＝mx＋n.
由题意可得：B 点的坐标为(1，2)．
∴
2＝m＋n，
－1＝2m＋n.
解得
m＝－3，
n＝5.
∴BC 的解析式为 y＝－3x＋5.
当 y＝0 时，x＝5
3
，
∴P 点坐标为(5
3
，0)．
5．(2015·泸州)如图，一次函数 y＝kx＋b(k<0)的图象经过点 C(3，0)，且与两坐标轴围成
的三角形的面积为 3.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数 y＝m
x
的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的 A，B 两点，且 AC＝
2BC，求 m 的值．
解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点 C(3，0)，
∴3k＋b＝0①，点 C 到 y 轴的距离是 3.
∵一次函数 y＝kx＋b 的图象与 y 轴的交点是(0，b)，
∴1
2
×3×b＝3.解得 b＝2.
将 b＝2 代入①，解得 k＝－2
3
.
则函数的解析式是 y＝－2
3
x＋2.
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 AD∥BE.
∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE.
∴AD
BE
＝AC
BC
＝2.∴AD＝2BE.
设B 点纵坐标为－n，则 A 点纵坐标为 2n.
∵直线 AB 的解析式为 y＝－2
3
x＋2，
∴A(3－3n，2n)，B(3＋3
2
n，－n)．
∵反比例函数 y＝m
x
的图象经过 A，B 两点，
∴(3－3n)·2n＝(3＋3
2
n)·(－n)．
解得 n1＝2，n2＝0(不合题意，舍去)．
∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12.
6．(2016·绵阳)如图，直线 y＝k1x＋7(k1＜0)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例
函数 y＝k2
x
(k2＞0)的图象在第一象限交于 C，D 两点，点 O 为坐标原点，△AOB 的面积为49
2
，
点 C 横坐标为 1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”．请求出图中阴影
部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．
解：(1)由题意得 A(－7
k1
，0)，B(0，7)，
∴S△AOB＝1
2
|OA|·|OB|＝1
2
×(－7
k1
)×7＝49
2
.
解得 k1＝－1.
故直线方程为 y＝－x＋7.
当 x＝1 时，y＝6，故点 C 坐标为(1，6)，
将点 C(1，6)代入 y＝k2
x
，解得 k2＝6.
∴反比例函数的解析式为 y＝6
x
.
(2)由直线 y＝－x＋7 和反比例函数 y＝6
x
在第一象限图象的对称性可知点 D 与点 C 关于直线
y＝x 对称，故点 D 坐标为(6，1)．
当 x＝2 时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点(2，4)；
当 x＝3 时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点(3，3)；
当 x＝4 时，反比例函数图象上的点为(4，3
2
)，直线上的点为(4，3)，此时可得整点(4，2)；
当 x＝5 时，反比例函数图象上的点为(5，6
5
)，直线上的点为(5，2)，此时无整点可取．
综上可知，阴影部分(不含边界)所包含的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．
(方法二：联立直线和反比例函数解析式，求点 D 坐标，请酌情评分．)
类型 2 反比例函数与几何图形综合
7．(2016·绵阳涪城区模拟)如图，O 为坐标原点，点 C 在 x 轴的正半轴上，四边形 OABC 是
平行四边形，∠AOC＝45°，OA＝2，反比例函数 y＝k
x
在第一象限内的图象经过点 A，与 BC
交于点 D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点 D 的纵坐标为 2
2
，求直线 AD 的解析式．
解：(1)过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H.
∵OA＝2，∠AOH＝45°，
∴OH＝AH＝OA·sin45°＝2× 2
2
＝ 2.
∴A( 2， 2)．
又点 A 在 y＝k
x
图象上，
∴k＝ 2× 2＝2.
∴反比例函数的解析式是 y＝2
x
.
(2)∵点 D 纵坐标是 2
2
，∴点 D 横坐标是 2 2.
∴D(2 2， 2
2
)，A( 2， 2)．
设直线 AD 的解析式为 y＝ax＋b，则
2
2
＝2 2a＋b，
2＝ 2a＋b.
解得
a＝－1
2
，
b＝3 2
2
.
∴直线 AD 的解析式为 y＝－1
2
x＋3 2
2
.
8．(2016·成都高新区一诊)如图 1，在△OAB 中，A(0，2)，B(4，0)，将△AOB 向右平移 m
个单 位，得到△O′A′B′.
(1)当 m＝4 时，如图 2，若反比例函数 y＝k
x
的图象经过点 A′，一次函数 y＝ax＋b 的图象
经过 A′，B′两点．求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)若反比例函数 y＝k
x
的图象经过点 A′及 A′B′的中点 M，求 m 的值．
解：(1)∵A′(4，2)，B′(8，0)，
∴k＝4×2＝8.
∴y＝8
x
.
把(4，2)，(8，0)代入 y＝ax＋b，得
4a＋b＝2，
8a＋b＝0.
解得
a＝－1
2
，
b＝4.
∴经过 A′，B′两点的一次函数解析式为 y＝－1
2
x＋4.
(2)当△AOB 向右平移 m 个单位时，A′点的坐标为(m，2)，B′点的坐标为(m＋4，0)，
则 A′B′的中点 M 的坐标为(m＋m＋4
2
，1)．
∵反比例函数 y＝k
x
的图象经过点 A′及 M，
∴2m＝m＋m＋4
2
×1，解得 m＝2.
∴当 m＝2 时，反比例函数 y＝k
x
的图象经过点 A′及 A′B′的中点 M.
9．(2014·内江)如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝m
x
(x＞0)的图象交于点
P(n，2)，与 x 轴交于点 A(－4，0)，与 y 轴交于点 C，PB⊥x 轴于点 B，且 AC＝BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；
如果不存在，说明理由．
解：(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，A(－4，0)，
∴O 为 AB 的中点，即 OA＝OB＝4.
∴P(4，2)，B(4，0)．
将 A(－4，0)，P(4，2)代入 y＝kx＋b，得
－4k＋b＝0，
4k＋b＝2，
解得
k＝1
4
，
b＝1.
∴一次函数解析式为 y＝1
4
x＋1.
将 P(4，2)代入反比例函数解析式得 m＝8.
∴反比例函数解析式为 y＝8
x
.
(2)存在这样的点 D，使四边形 BCPD 为菱形，
对于一次函数 y＝1
4
x＋1，令 x＝0，则 y＝1，
∴C(0，1)．
∴直线 BC 的斜率为0－1
4－0
＝－1
4
.
设过点 P，且与 BC 平行的直线解析式为
y－2＝－1
4
(x－4)，即 y＝－x＋12
4
，
联立
y＝－x＋12
4
，
y＝8
x
解得
x1＝4，
y1＝2，
x2＝8，
y2＝1.
∴D(8，1)．
此时 PD＝ （4－8）2＋（2－1）2＝ 17，
BC＝ （4－0）2＋（0－1）2＝ 17，即 PD＝BC.
∵PD∥BC，
∴四边形 BCPD 为平行四边形．
∵PC＝ （4－0）2＋（2－1）2＝ 17，即 PC＝BC，
∴四边形 BCPD 为菱形，满足题意，
∴反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时 D 点坐标为(8，1)．
10．(2016·德阳中江模拟)如 图，将透明三角形纸片 PAB 的直角顶点 P 落在第二象限，顶
点 A，B 分别落在反比例函数 y＝k
x
图象的两支上，且 PB⊥y 轴于点 C，PA⊥x 轴于点 D，AB
分别与 x 轴，y轴相交于点 E，F.已知 B(1，3)．
(1)k＝3；
(2)试说明 AE＝BF；
(3)当四边形 ABCD 的面积为 4 时，直接写出点 P 的坐标．
解：(2)设点 P 坐标为 P(m，3)，则 D(m，0)，C(0，3)，A(m，3
m
)，
∵PC
PB
＝ －m
1－m
＝ m
m－1
，PD
PA
＝
3
3－3
m
＝ m
m－1
，
∴PC
PB
＝PD
PA
.
又∵∠P＝∠P，
∴△PDC∽△PAB.
∴∠PDC＝∠PAB.
∴DC∥AB.
又∵AD∥CF，DE∥CB，
∴四边形 ADCF 和四边形 DEBC 都是平行四边形．
∴AF＝DC，DC＝BE.
∴AF＝BE.
∴AE＝BF.
(3)S 四边形 ABCD＝S△APB－S△PCD
＝1
2
PA·PB－1
2
PC·PD
＝1
2
(3－3
m
)(1－m)－1
2
×3(－m)
＝4.
解得 m＝－3
2
.
则 P(－3
2
，3)．
七年级（上）中考题同步试卷：5.4 主视图、左视图、俯视图（11）
一、选择题（共 28 小题）
1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．圆柱
2．一个几何体的三个视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正方体
3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥
4．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．球 D．圆锥
6．下列三视图所对应的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
7．一个几何体的三视图如图，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
9．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个
数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱
11．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图（ ）
A． B．
C． D．
12．如图是某一几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
13．如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（ ）
A．12
π
B．15
π
C．24
π
D．30
π14．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
16．如图是由几个小立方体快所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立
方块的个数，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，所给三视图的几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
18．如图是由 5 个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方
块的个数，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
19．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．棱柱 B．正方形 C．圆柱 D．圆锥
20．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位
置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
21．如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方
体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上
的立方体的个数，这个几何体的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
23．一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
24．下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小
正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
25．如图，一个简单几何体的三视图的主视图与左视图都为正三角形，其俯视图为正方形，
则这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．正方体 C．四棱柱 D．三棱锥
26．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
27．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱
28．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共 2 小题）
29．如图，计算所给三视图表示的几何体的体积是 ．
30．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方
体的体积是 cm3．
参考答案
一、选择题（共 28 小题）
1．B； 2．A； 3．C； 4．D； 5．D； 6．C； 7．D； 8．D； 9．A； 10．A； 11．A；
12．C； 13．B； 14．C； 15．C； 16．B； 17．C； 18．B； 19．C； 20．A； 21．D；
22．D； 23．D； 24．B； 25．A； 26．A； 27．D； 28．D；
二、填空题（共 2 小题）
29．136
π
； 30．18；
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