专题14+定积分求值问题-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题14+定积分求值问题-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 利用微积分基本定理求定积分 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算出被积函数的原函数；‎ 第二步 求出定积分.‎ 例1 的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：微积分基本定理．‎ ‎【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.‎ ‎【变式演练1】下列计算错误的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A选项，，所以A正确；B选项，，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。‎ 考点：定积分的计算。‎ ‎【变式演练2】（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学(理科)试题 ‎【答案】A 考点：定积分的计算 ‎【变式演练3】如图，在矩形中， ， ，以为顶点且过点的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考考试理科数学试卷 ‎【答案】B ‎【解析】由题可知建立以AB为X轴，AD为Y轴的直角坐标系，则抛物线方程为 ‎，故阴影部分的面积为: , 则此点落在阴影部分内的概率为 考点：定积分的应用.‎ ‎【变式演练4】若，则的值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：定积分的运算．‎ ‎【变式演练5】由曲线和直线所围成的图形的面积为__________．‎ ‎【来源】【全国市级联考】河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评理科数学试题 ‎【答案】18‎ ‎【解析】联立方程： ‎ 解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：‎ ‎（2，﹣2），（8，4）‎ 选择y为积分变量 ‎∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积：‎ S= =（y2+4y﹣y3）=18，故答案为：18‎ 考点：定积分的计算．‎ ‎【变式演练6】设若，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，．‎ 考点：1．函数的表示；2．定积分运算．‎ ‎【变式演练7】若 (其中),则的展开式中的系数为_______．‎ ‎【来源】【全国校级联考】江西省重点中学协作体2018届高三下学期第一次联考数学（理）试题 ‎【答案】60‎ 考点：定积分．‎ 类型二 利用定积分的几何意义求定积分 使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；‎ 第二步 作出直线计算函数所围成的图形；‎ 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.‎ 例2 计算定积分.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】第一步，画出被积函数的图像：‎ 从几何意义来看表示半圆；‎ 第二步，作出直线计算函数所围成的图形：‎ 第三步，求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分:‎ 所以 考点：定积分的计算．‎ ‎【变式演练8】求曲线与所围成的图形的面积，正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟考试数学（理）试题 ‎【答案】A 考点：定积分．‎ ‎【变式演练9】定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：令,则,则 ‎,故应选C．‎ 考点：定积分及运算．‎ ‎【变式演练10】定积分的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】吉林省四平市2018届高三质量检测理科数学试题 ‎【答案】A 考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.‎ ‎【变式演练11】已知，则的展开式中，常数项为_________‎ ‎【来源】【全国校级联考】江西省2018届高三六校联考数学（理）试题 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，‎ 所以，所以，‎ 由得，因此常数项为.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ 考点：二项式定理；微积分基本定理 ‎【变式演练12】已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ 考点：等差数列性质及定积分．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2015高考湖南，理11】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎2．【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.‎ ‎3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．已知物体运动的速度与事件的关系式为，则落体从到所走的路程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评理科数学试题 ‎【答案】B ‎2．如图，在由， ， ，及围成区域内任取一点，则该点落在， 及围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】河南省商丘市2018届高三第一学期期末考试理科数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】由由， ， ，及围成区域内围成的区域面积，‎ 由， 及围成的区域面积，‎ ‎∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率，‎ 故选：D. ‎ ‎3.如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国市级联考】四川省广元市2018届高三第一次高考适应性统考理科数学试题 ‎【答案】D ‎4．由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎【来源】【全国百强校】辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试（期中）数学（理）试题 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，‎ 图中从左至右三个交点分别为，所以题中所求面积为 ，故选D ‎5．如图，在边长为的正方形中， 是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】【全国校级联考word】江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理）试题 ‎【答案】D ‎10．（ ）‎ A． B． C． D． 0‎ ‎【来源】【百强校】2017届辽宁鞍山一中高三上一模考试数学（理）试卷（带解析）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，该积分式表示圆在第一象限部分与坐标由所围成的封闭区域的面积，所以，故选C.‎ 考点：定积分的几何意义.‎ ‎6．定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】【百强校】2016届宁夏育才中学高三上学期第四次月考理科数学试卷（带解析）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据定积分的几何意义可知其表示的是以为圆心，以为半径的圆的面积，从而求得其结果为，故选A．‎ 考点：定积分的几何意义．‎ ‎【方法点睛】该题考查的是有关定积分的运算，从积分公式，很难算出来，在中学阶段是很难解决的，但是，从定积分的几何意义去分析，该题可以转化为求圆弧与直线所围成的几何图形（四分之一圆）的面积，最后应用公式，求得结果，该题更进一步引导学生要注意提高对定积分的几何意义的重视程度．‎ ‎7．设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（ ）‎ A．2 B．e C．2e D．‎ ‎【来源】2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷（五）理科数学试卷（带解析）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：定积分.‎ ‎8． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】2011届广东省实验中学、华师附中、深圳中学、广雅中学高三上学期期末数学理卷 ‎【答案】B ‎【解析】本题考查定积分的计算和数学意义的应用。‎ 解答：原式=‎ 故选B。‎ ‎9．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【来源】【全国市级联考】河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎10.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【来源】【全国市级联考】河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学（理）‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 由题意直线与与曲线所成围成的封闭图形，如图所示，‎ 又由，解得或，‎ 所以封闭图形的面积为．‎ ‎11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为__________．‎ ‎【来源】北京西城北师大附中2016-2017高二下期末【理】数学真题卷 ‎【答案】‎ ‎【解析】两曲线相交： ，解出交点横坐标为，‎ 所求面积．‎ 故答案为： .‎ ‎12．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是__________．‎ ‎【来源】【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三上学期第五次调研考试数学（理）试题 ‎【答案】‎ ‎13．若，则__________．‎ ‎【来源】【全国市级联考】湖南省长沙市2018届理科数学第二次模拟试卷 ‎【答案】3‎ ‎【解析】 ， ，则.‎ ‎14．定积分__________．‎ ‎【来源】【全国校级联考】河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛数学（理）试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】令，由题意可知，‎ 积分值为扇形和三角形面积的和， ， ‎ ‎，故答案为.‎ ‎15．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【来源】【全国校级联考word】四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断性考试数学（理）试题 ‎【答案】 ‎ ‎ ‎