2020版高中数学 第一章 解三角形 第3课时 三角形中的几何计算

2020版高中数学 第一章 解三角形 第3课时 三角形中的几何计算

第3课时　三角形中的几何计算 课后篇巩固探究 A组 ‎1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.± C.- D.±‎ 解析由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±.‎ 答案B ‎2.‎ 某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　)‎ A‎.450a元 B‎.225a元 C‎.150a元 D‎.300a元 解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为‎150a元.‎ 答案C ‎3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于(　　)‎ A.1+ B. C. D.2+‎ 解析由acsin 30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30°=(a+c)2‎-2ac-ac=4b‎2-12-6‎,得b=+1.‎ 答案A ‎4.在△ABC中,若AC=BC,C=,S△ABC=sin‎2A,则S△ABC=(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析因为AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以S△ABC=sin‎2A=,故选A.‎ 答案A ‎5.若△ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是(　　)‎ A.5 B‎.6 ‎C.7 D.8‎ 解析在△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得 7‎ 解得b=7,故边AC的长为7.‎ 答案C ‎6.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=　　　　　. ‎ 解析在△ABC中,S△ABC=,‎ 而S△ABC=absin C,∴absin C.‎ 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴cos C=sin C,∴C=45°.‎ 答案45°‎ ‎7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于　　　　　. ‎ 解析设三角形的外接圆半径为R,则由πR2=π,得R=1.由S=absin C=,故abc=1.‎ 答案1‎ ‎8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.‎ 证明由余弦定理的推论得cos B=,‎ cos A=,代入等式右边,得 右边=c ‎==左边,‎ 故原式得证.‎ ‎9.‎ 7‎ 如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=,且AD=BD,求△ABC的面积.‎ 解设CD=x,则AD=BD=5-x.‎ 在△CAD中,由余弦定理,得 cos∠CAD=,解得x=1.‎ ‎∴CD=1,AD=BD=4.‎ 在△CAD中,由正弦定理,得,‎ 则sin C==4.‎ ‎∴S△ABC=AC·BC·sin C=×4×5×,故△ABC的面积为.‎ ‎10.导学号04994016若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.‎ 解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).‎ 由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,‎ ‎∴c2-(a-b)2=2ab(1-cos C),‎ 即S=2ab(1-cos C).‎ ‎∵S=absin C,∴sin C=4(1-cos C).‎ 又sin‎2C+cos‎2C=1,∴17cos‎2C-32cos C+15=0,‎ 解得cos C=或cos C=1(舍去).‎ ‎∴sin C=,‎ ‎∴S=absin C=a(2-a)=-( a-1)2+.‎ ‎∵a+b=2,∴0C,C为锐角,且cos C=.由c2=a2+b2-2abcos C,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cos B=>0,∴b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.∴S△ABC=absin C=×7×3×.‎ 答案C ‎2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,∴tan C=,∴sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,∴csin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.‎ 答案B ‎3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为　　　　. ‎ 解析∵S△ABC=absin C=15,ab=60,∴sin C=.‎ 由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3.‎ 答案3‎ ‎4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为　　　　　. ‎ 7‎ 解析∵S△ABC=bcsin A=bcbc×=3,∴bc=24.‎ 又b-c=2,∴a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.‎ ‎∵a为△ABC的边,∴a=8.‎ 答案8‎ ‎5.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=　　　　　. ‎ 解析如图,由S△ADC=3-和S△ADC=AD·DCsin 60°,得3-×2×DC×,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.‎ 在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos 120°=(-1)2+4-2(-1)×2×=6,∴AB=.‎ 在△ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 60°=22+[2(-1)]2-2×2×2(-1)×=24-12,‎ ‎∴AC=-1).‎ 在△ABC中,cos∠BAC=,∴∠BAC=60°.‎ 答案60°‎ ‎6.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.‎ 7‎ 解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsin A+BC·CDsin C.‎ ‎∵A+C=180°,∴sin A=sin C,‎ ‎∴S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A.‎ 在△ABD中,由余弦定理,得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=22+42-2×2×4cos A=20-16cos A.‎ 在△CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=62+42-2×6×4cos C=52-48cos C.‎ ‎∴20-16cos A=52-48cos C.‎ ‎∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,∴cos A=-.‎ 又A∈(0°,180°),∴A=120°,‎ ‎∴S=16sin 120°=8.‎ ‎7.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin‎2A-sin‎2C)=(a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.‎ 解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,‎ 即a2+b2-c2=ab.‎ 由余弦定理,得cos C=.‎ ‎∵C∈(0,π),∴C=.‎ ‎∴S=absin C=×2Rsin A·2Rsin B·‎ ‎=R2sin Asin B ‎=R2sinA ‎=R2(sin Acos A+sin‎2A)‎ ‎=R2‎ ‎=R2.‎ ‎∵A∈.∴‎2A-,‎ 7‎ ‎∴sin,∴S∈,‎ ‎∴△ABC面积的最大值为R2.‎ 7‎