2020高中数学第四章函数应用4

2020高中数学第四章函数应用4

‎4.1.2‎‎ 利用二分法求方程的近似解 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)‎ 解析：选D.D中函数的零点都是不变号零点．‎ ‎2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)‎ A．(－1，0)　　　　　　 　　 B．(0，1)‎ C．(1，2) D．(2，3)‎ 解析：选C.f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．‎ ‎3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点x0(　　)‎ A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内 C．在区间(a，c)或(c，b)内 D．等于 解析：选D.因为f(c)＝0，而c＝，‎ 所以x0＝.‎ ‎4．函数y＝与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是(　　)‎ A．1.6 B．1.7‎ C．1.8 D．1.9‎ 解析：选D.设f(x)＝lg x－，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－＝0在[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．‎ ‎5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)‎ A．[1，4] B．[－2，1]‎ C. D. 解析：选D.因为第一次所取的区间是[－2，4]，‎ 所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，‎ 所以第三次所取的区间可能为，，，.‎ ‎6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．‎ 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，‎ 4‎ 所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴只有一个交点，‎ 所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.‎ 答案：a2＝4b ‎7．用二分法求方程f(x)＝0的根的近似值时，解出f(1.125)<0，f(1.187 5)>0，f(1.356 25)<0，则方程精度为0.1的近似解为________．‎ 解析：因为f(1.125)·f(1.187 5)<0且f(1.187 5)·f(1.356 25)<0，又因为区间[1.125，1.187 5]的长度不大于0.1，区间[1.187 5，1.356 25]的长度大于0.1.故可取1.15作为此方程的一个近似解．‎ 答案：1.15(答案不唯一)‎ ‎8．已知函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[a，b]，都有＜0，且f(a)·f(b)＜0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________．‎ 解析：由题意可得，因为对于任意的x1，x2∈[a，b]都有＜0，即f(x)在[a，b]上为减函数，又因为f(a)f(b)＜0，则f(a)＞0，‎ f(b)＜0.所以即 因为f＝0，所以f(x)的零点为＝－.‎ 答案：－ ‎9．利用二分法，借助计算器，求方程lg x＝2－x的近似解．(精度为0.1)．‎ 解：作出y1＝lg x，y2＝2－x的图像，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间[1，2]内．‎ 设f(x)＝lg x＋x－2，x0为f(x)的零点．用计算器计算得 f(1)＜0，f(2)＞0⇒x0∈[1，2]；‎ f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x0∈[1.5，2]；‎ f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x0∈[1.75，2]；‎ f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x0∈[1.75，1.875]；f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x0∈[1.75，1.812 5]．‎ 由于1.812 5－1.75＝0.062 5＜0.1，‎ 因此可以取[1.75，1.812 5]内的任意一个数作为函数零点的近似值，我们不妨取1.8作为方程lg x＝2－x的近似解．‎ 4‎ ‎10．某电视台有一档猜物品价格的节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500 1 000元之间，选手开始报价1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？‎ 解：取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格．‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎1．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　)‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ x＋2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A.(－1，0)　　　　　 B．(0，1)‎ C．(1，2) D．(2，3)‎ 解析：选C.令f(x)＝ex－x－2，由表格中数据可得：f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，f(3)>0，进一步可得f(1)f(2)<0，又因为f(x)为连续函数，‎ 故由零点存在定理可知f(x)的一个零点所在区间为(1，2)．即方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1，2)．‎ ‎2．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．‎ 解析：先分2组，每组5枚，用天平称出质量较小的一组，再把5枚分成一组2枚，另一组也2枚，把两组放入托盘中，要称量的次数最多，则假币应在2枚中，挑出轻的一组，然后用天平称出轻的一枚即可，故最多称3次即可．‎ 答案：3‎ ‎3．已知方程x3＋2x2－3x－6＝0.‎ ‎(1)方程有几个实根？‎ ‎(2)用二分法求出方程的最大根．(精度为0.1)‎ 解：(1)令f(x)＝x3＋2x2－3x－6.‎ 因为f(－3)＝(－3)3＋2×(－3)2－3×(－3)－6＝－6<0，‎ f(－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，‎ f(－1)＝(－1)3＋2×(－1)2－3×(－1)－6＝－2<0，‎ f(0)＝－6<0，‎ f(1)＝1＋2－3－6＝－6<0，‎ f(2)＝23＋2×22－3×2－6＝4>0，‎ 又f(－1.9)＝(－1.9)3＋2×(－1.9)2－3×(－1.9)－6＝0.061>0，‎ 所以方程有3个实根，一根为－2，另两根分别在区间(－1.9，－1)，(1，2)上．‎ ‎(2)由(1)知方程最大的根在区间(1，2)内，用二分法逐次计算，列表如下：‎ 中点的值 中点函数近似值 区间 x1＝＝1.5‎ f(1.5)＝－2.625<0‎ ‎(1.5，2)‎ x2＝＝1.75‎ f(1.75)≈0.234 4>0‎ ‎(1.5，1.75)‎ 4‎ x3＝＝1.625‎ f(1.625) ≈－1.302 7<0‎ ‎(1.625，1.75)‎ x4＝＝1.687 5‎ f(1.687 5) ≈－0.561 8<0‎ ‎(1.687 5，1.75)‎ 因为|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，‎ 所以所求方程的最大根可取1.75.‎ ‎4．(选做题)求的近似值(精度为0.1)．‎ 解：令＝x，则x3＝3，令f(x)＝x3－3，‎ 则就是函数f(x)＝x3－3的零点．‎ 因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，‎ 所以可取初始区间(1，2)，用二分法计算，列表如下：‎ 中点的值 中点函数近似值 区间 x1＝＝1.5‎ f(x1)＝0.375>0‎ ‎(1，1.5)‎ x2＝＝1.25‎ f(x2)≈－1.047<0‎ ‎(1.25，1.5)‎ x3＝＝1.375‎ f(x3)≈－0.400<0‎ ‎(1.375，1.5)‎ x4＝＝1.437 5‎ f(x4)≈－0.030<0‎ ‎(1.437 5，1.5)‎ 因为|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，‎ 所以的近似值可取1.437 5.‎ 4‎