数学·上海市长宁区延安中学2017届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

数学·上海市长宁区延安中学2017届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题）‎ ‎1．函数y=的定义域为　　．‎ ‎2．已知tanα=﹣，则sin2α=　　．‎ ‎3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为　　．‎ ‎4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=　　（用反三角函数表示）．‎ ‎5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=　　．‎ ‎6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=　　．‎ ‎7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=　　．‎ ‎8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=　　．‎ ‎9．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　　．‎ ‎10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　　．‎ ‎11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为　　．‎ ‎12．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{bn}的前1000项和为　　．‎ ‎14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围　　．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（　　）‎ A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥2‎ ‎17．等差数列{an}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是（　　）‎ A．S7或S8 B．S12 C．S13 D．S14‎ ‎18．如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{dn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列 C．{d}是等差数列 D．{S}是等差数列 ‎　‎ 三.解答题 ‎19．已知函数f（x）=，其中a为常数；‎ ‎（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；‎ ‎（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．‎ ‎20．已知 f（x）=sin2x﹣2sin2x，‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．‎ ‎21．某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）‎ ‎（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；‎ ‎（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）‎ ‎22．数列{an}的前n项和记为Sn且满足Sn=2an﹣1，n∈N*；‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1，求{Tn}的通项公式；‎ ‎（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．‎ 问数列{bn}最多有几项？并求出这些项的和．‎ ‎23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；‎ ‎（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；‎ ‎（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题）‎ ‎1．函数y=的定义域为　（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质解关于x的一元二次方程，求出函数的定义域即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ x2﹣5x﹣6≥0，即（x﹣6）（x+1）≥0，‎ 解得：x≥6或x≤﹣1，‎ 故函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查解一元二次不等式，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知tanα=﹣，则sin2α=　﹣　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】根据sin2α==，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵tanα=﹣，则sin2α===﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=tan（2x﹣）的单调区间为　（﹣+，+），（k∈Z）　．‎ ‎【考点】正切函数的图象．‎ ‎【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据正切函数的性质，列出不等式即可求出f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：函数y=tan（2x﹣），‎ 令﹣+kπ＜2x﹣＜+kπ，k∈Z，‎ 解得﹣+＜x＜+，k∈Z；‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣+，+），（k∈Z）．‎ 故答案为：（﹣+，+），（k∈Z）．‎ ‎【点评】本题考查了正切函数的性质与应用问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），则α=　arccos﹣π　（用反三角函数表示）．‎ ‎【考点】反三角函数的运用．‎ ‎【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】根据反余弦函数的定义与性质，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵arccos（﹣）=π﹣arccos，‎ 又cosα=﹣，且α∈（﹣π，0），‎ ‎∴﹣α∈（0，π），‎ ‎∴﹣α=π﹣arccos；‎ 即α=﹣π+arccos．‎ 故答案为：﹣π+arccos．‎ ‎【点评】本题考查了反余弦函数的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．设集合A={x||x﹣2|≥1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=　（﹣∞，0）∪[3，+∞）　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；综合法；集合．‎ ‎【分析】由绝对值不等式的解法求出集合A，由分式不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．‎ ‎【解答】解：由|x﹣2|≥1得x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，‎ 解得x≥3或x≤1，则集合A=（﹣∞，1]∪[3，+∞），‎ 由 得，则x（1﹣x）＜0，即x（x﹣1）＞0，‎ 解得x＞1或x＜0，则集合B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），‎ 所以A∩B=（﹣∞，0）∪[3，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了交集及其运算，以及绝对值、分式不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=　﹣　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．‎ ‎【解答】解：∵＜α＜，‎ ‎∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，‎ 设cosα﹣sinα=t（t＜0），‎ 则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，‎ ‎∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数与余弦函数的单调性，判断知cosα﹣sinα＜0是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=　﹣，x∈（﹣1，0]　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据反函数的定义，用y表示出x，再交换x、y的位置，即可得出f﹣1（x）．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），‎ ‎∴y+1=x2，‎ 又﹣1≤x＜0，‎ ‎∴0≤y＜1，‎ ‎∴x=﹣；‎ 交换x、y的位置，‎ 得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]．‎ 故答案为：﹣，x∈（﹣1，0]．‎ ‎【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=　﹣3　．‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值；函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），知f（0）=1+b=0，解得b=﹣1所以当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+2x+1，由此能求出f（﹣1）．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），‎ ‎∴f（0）=1+b=0，‎ 解得b=﹣1‎ ‎∴f（x）=2x+2x﹣1．‎ 当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，‎ ‎∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查函数性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意奇函数的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．‎ ‎∵a8=a6+2a4，‎ ‎∴，‎ 化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．‎ ‎∴a6===1×22=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2015秋•大丰市校级期末）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．‎ ‎【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=π，由周期公式可得：ω==2，‎ 由点（，0）在函数的图象上，可得：sin（2×+φ）=0，‎ 解得：φ=kπ﹣，k∈Z，|φ|＜π，‎ 当k=1时，可得φ=，当k=0时，可得φ=﹣，‎ 从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．‎ 故答案为：f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x﹣）．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为　　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；解三角形．‎ ‎【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cosC的范围．得出角C的范围．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a+b=2c，‎ ‎∴（a+b）2=4c2‎ ‎∴a2+b2=4c2﹣2ab≥2ab 即c2≥ab．‎ 当且仅当a=b是，取等号．‎ 由余弦定理知 cosC===‎ ‎∴‎ 故填：‎ ‎【点评】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•南昌一模）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣2，+∞）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【专题】计算题；转化思想．‎ ‎【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥﹣（|x|+），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2种情况讨论；‎ ‎①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；‎ ‎②x≠0时，原式可化为a|x|≥﹣（x2+1），即a≥﹣（|x|+）；‎ 又由|x|+≥2，则﹣（|x|+）≤﹣2；‎ 要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥﹣2即可；‎ 综上可得，a的取值范围是[﹣2，+∞）；‎ 故答案为：[﹣2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的恒成立问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．‎ ‎　‎ ‎13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1，则数列{bn}的前1000项和为　1893　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an，再利用bn=[lgn]，可得b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1，…，b1000=3．即可得出．‎ ‎【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．‎ 可得a4=4，则公差d=1．‎ an=n，‎ bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．‎ b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b1000=3．‎ 数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．‎ 故答案为：1893．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•岳阳二模）设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围　或a≥2　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），‎ 若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，‎ 所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，‎ 而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，‎ 所以≤a＜1，‎ 若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，‎ 则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，‎ 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），‎ 当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，‎ 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2‎ 故答案为：或a≥2．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎15．“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】先求出函数f（x）=x2﹣2ax+2的单调增区间，然后由题意知[3，+∞）是它单调增区间的子区间，利用对称轴与区间的位置关系即可求出a的范围，再根据充分必要条件进行求解．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增，‎ 可得f（x）的对称轴为x=﹣=a，开口向上，可得a≤3，‎ ‎∴“a=3”⇒“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”，‎ ‎∴“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的充分而不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用，以及充分必要条件的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎16．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（　　）‎ A．ab≤1 B．a2+b2≥2 C．+≤ D．+≥2‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式．‎ ‎【分析】根据基本不等式判断A，B，D恒成立，对于C，举例即可．‎ ‎【解答】解：对于A，2=a+b≥2，则ab≤1，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立；‎ 对于B，a2+b2≥2（）2=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，‎ 对于C，令a=b=1，则不成立，‎ 对于D.+=≥=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的应用问题，也考查了特殊值判断命题真假的问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎17．（2013•静安区一模）等差数列{an}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是（　　）‎ A．S7或S8 B．S12 C．S13 D．S14‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设公差为d，则3由题意可得（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣，可得 an=．令 ＜0，可得 当n≥14时，an＞0，当n≤13时，an＜0，由此可得数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，设公差为d，‎ 则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=．‎ 令 ＜0，可得 n＞，故当n≥14时，an＞0，当n≤13时，an＜0，‎ 故数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是 S13，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{dn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列 C．{d}是等差数列 D．{S}是等差数列 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列 ‎【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，‎ ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，‎ 由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，‎ ‎{dn2}不一定是等差数列，‎ 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，‎ 由三角形的相似可得==，==，‎ 两式相加可得，==2，‎ 即有hn+hn+2=2hn+1，‎ 由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，‎ 则数列{Sn}为等差数列．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎19．已知函数f（x）=，其中a为常数；‎ ‎（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；‎ ‎（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）将a代入，得到不等式，并移项通分化简为整式不等式解之；‎ ‎（2）将函数分解为两个函数的和的形式，利用函数的单调性求值域．‎ ‎【解答】解：（1）a=2，不等式f（x）≥1即为，化简为（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）≥0且x≠1，所以不等式的解集为：（1，2]∪[3，+∞）；‎ ‎（2）当a＜0时所以f（x）==x﹣3+，此函数为增函数，所以x∈（1，3]的值域为（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查了分式不等式的解法以及利用函数的单调性求函数的值域；属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•杨浦区一模）已知 f（x）=sin2x﹣2sin2x，‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；复合三角函数的单调性．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）﹣1，由此求得函数的周期，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．‎ ‎（2）根据﹣≤x≤，求得2x+ 的范围，可得sin（2x+）﹣1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）因为 f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…（4分）‎ 所以，函数的周期为T==π，即函数f（x）的最小正周期为 π． …（5分）‎ 令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，‎ 所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]． …（7分）‎ ‎（2）因为﹣≤x≤，得﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1． …（8分）‎ ‎∴﹣2≤2sin（2x+）﹣1≤1，…（10分）‎ 所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）‎ 此时，2x+=，即 x=．…（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性、周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2013•徐汇区一模）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中∠ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不计）‎ ‎（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；‎ ‎（2）当a=π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）‎ ‎【考点】余弦定理；根据实际问题选择函数类型．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）依题意，∠EOH=α，由Rt△OMBRt△ONB，可求得∠BOM=，在Rt△OMB中，可求得OM=40cot，从而可证得结论；‎ ‎（2）由（1）结论得OE=+60，设OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理可求得x，在△OEF中，由余弦定理可求得y，而FH=y﹣x，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由OE∥BC，OH∥AB，得∠EOH=α，…..（2分）‎ 过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则 Rt△OMBRt△ONB，从而∠BOM=．…..（4分）‎ 在Rt△OMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot+60．…..（6分）‎ ‎（2）由（1）结论得OE=+60．‎ 设OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理得，‎ ‎2802=x2+（+60+100）2﹣2x（+60+100）cos150°，‎ 解得x≈118.8cm．…..（9分）‎ 在△OEF中，由余弦定理得，‎ ‎2802=y2+（+60）2﹣2y（+60）cos150°，‎ 解得y≈216.5cm．…..（12分）‎ 所以，FH=y﹣x≈98cm，‎ 即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查余弦定理，考查根据实际问题选择函数类型，着重考查分析理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．数列{an}的前n项和记为Sn且满足Sn=2an﹣1，n∈N*；‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1，求{Tn}的通项公式；‎ ‎（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．‎ 问数列{bn}最多有几项？并求出这些项的和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）Sn=2an﹣1，n∈N*；n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为an=2an﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）anan+1=2n﹣1•2n=．利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．可得××…×=log2am=m﹣1．又数列{bn}是连续的正整数数列，bn=bn﹣1+1．化简进而得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵Sn=2an﹣1，n∈N*；∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），‎ 化为an=2an﹣1，∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．∴an=2n﹣1．‎ ‎（2）anan+1=2n﹣1•2n=．‎ ‎∴Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1‎ ‎=+…+（﹣1）n+1×4n]‎ ‎==[1﹣（﹣4）n]．‎ ‎（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．‎ ‎∴××…×=log2am=m﹣1．‎ 又数列{bn}是连续的正整数数列，∴bn=bn﹣1+1．‎ ‎∴=m﹣1，又bm=b1+（m﹣1），‎ ‎∴mb1﹣3b1﹣2m=0，‎ ‎∴m==3+，由m∈N*，‎ ‎∴b1＞2，∴b1=3时，m的最大值为9．‎ ‎∴这些项的和=3+4+…+11=63．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎23．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；‎ ‎（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；‎ ‎（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．‎ ‎【考点】分段函数的应用；抽象函数及其应用．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”‎ ‎（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（﹣x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值 ‎（3）由题意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式 ‎【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，‎ 根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．‎ ‎∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．‎ ‎（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，‎ ‎∴f（x）=f（﹣x）．‎ 设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2‎ ‎∴f（x）=‎ 当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，‎ ‎∴x=1时ymax=（1﹣t）2，‎ 当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，‎ ‎∴x=1时ymax=（1﹣t）2，‎ 当t≥时，‎ ‎∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，‎ ‎∴x=0时，ymax=t2，‎ 综上所述：当t＜时，ymax=f（1）=（1﹣t）2，‎ 当t≥ymax=f（0）=t2，‎ ‎（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，‎ ‎∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），‎ ‎∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．‎ 又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，‎ g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．‎ 再设n﹣≤x≤n+（n∈z），‎ 当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，‎ g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；‎ 当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤‎ g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；‎ ‎∴g（x）=‎ ‎∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，‎ ‎∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），‎ ‎∴y=g（x）是周期为1的函数．‎ ‎①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．‎ ‎∴y=mx过（，），从而得m=‎ ‎②当m＜0时，同理可得m=﹣‎ ‎③当m=0时，不合题意．‎ 综上所述m=±‎ ‎【点评】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题