数学卷·2018届河北省定州中学高三(承智班)上学期第二次月考数学试题(解析版)

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数学卷·2018届河北省定州中学高三(承智班)上学期第二次月考数学试题(解析版)

高三第一学期承智班第2次考试数学试题 一、选择题 ‎1. 已知满足,则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件画出可行域,如下图。目标函数变形为y=x-z,所以直线的截距为-z,由图可知当直线过点C(-1,0)时截距最大,z取最小值-1,当直线与圆相切时,截距最小,z取最大值。选D.‎ ‎【点睛】线性规划或规划问题一定要根据约束条件画出正确的可行域,再由几何意义求得最优解,一定不能用偷懒的办法认为最优解一定在交点(端点)处。‎ ‎2. 定义在上的函数满足,当时, ,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的周期为, 当时, 时, ,故函数在上是增函数, 时, ,故函数在上是减函数,且关于 轴对称,又定义在上的满足,故函数的周期是,所以函数在上是增函数,在上是减函数,且关于 轴对称,观察四个选项选项中 ,,故选A.‎ ‎3. 若函数恰有4个零点,则的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当 仅与轴交于时,与轴有三个交点,满足题意,此时与满足;当 与轴有两个交点,与轴有两个时,满足题意,此时满足;当 与轴有三个交点,与轴有一个时,满足题意,此时满足;故选C。‎ 点睛: 与在 与轴的交点都是三个,本题的分段函数与轴交点为四个,需分情况讨论:与轴交点个数:0,1,2,3四种情况即可得结论。本题难度较大,主要考查了的图象。‎ ‎4. 如图,在中, , ,等边三个顶点分别在的三边上运动,则面积的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的边长为t,,则,,所以,‎ ‎=,,即求的最大值,,‎ 的最大值为1,所以,。选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题的关键是引进了角做变量,把边化为角的函数,注意角的范围。‎ ‎5. 函数,则函数的零点个数为( )‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数⇔函数f(x)与函数y=log4x的图象交点个数.‎ 画出函数f(x)与函数y=log4x的图象(如上图),其中=的图像可以看出来,‎ 当x增加个单位,函数值变为原来的一半,即往右移个单位,函数值变为原来的一半;依次类推;根据图象可得函数f(x)与函数y=log4x的图象交点为5个.‎ ‎∴函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数为5个.‎ 故选:D 点睛:此题较好的考查了函数零点问题,将函数零点问题转化为图像交点问题,也可以转化为方程的根的问题;这个题目转化为函数f(x)与函数y=log4x的图象交点个数,其中 时的图像,可以求整个定义域上的解析式观察规律,也可以通过直接观察出来自变量增大 函数值变为原来的一半,直接画出定义域上的图像.‎ ‎6. 已知坐标平面上的凸四边形满足,那么的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得,由于是凸四边形,所以AC与BD相交于点O,如下图,设OA=x,OB=y,‎ ‎== ,选C.‎ ‎7. 以方程的两根为三角形两边之长,第三边长为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知,由三角形三边,记另一边,得 所以,所以选D.‎ ‎8. 的值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由值域为,可知取遍上的所有实数,‎ 当时,能取遍上的所有实数,只需定义域满足 当时,要保证能取遍上的所有实数,只需,解得 ‎,所以,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题要注意定义域是R,与值域是为的两个题型的区别,‎ 值域为,可知取遍上的所有实数,‎ 定义域是R,是 恒成立。‎ ‎9. 已知函数,则方程的根的个数不可能为( )‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】作函数的图象如图,‎ ‎∵2x2+x=2(x+)2﹣;‎ 故当a=f(﹣)时,方程f(2x2+x)=a有一个负根﹣,‎ 再由|lg(2x2+x)|=f(﹣)得,2x2+x=,‎ 故还有四个解,故共有5个解;‎ 当a>1时,方程f(2x2+x)=a有四个解,‎ 当f(﹣)<a<1时,方程f(2x2+x)=a有6个解;‎ 故选D.‎ ‎10. 设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况:‎ ‎①0<k<4时,C上存在点P满足∠APB=120°,‎ 假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,‎ 要使椭圆C上存在点M满足 ‎∠AMB=120°,‎ ‎∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,‎ tan∠AMO= ≥tan60°,‎ 解得:0<k≤.‎ ‎②当椭圆的焦点在y轴上时,k>4,‎ 同理可得:k≥12,‎ ‎∴m的取值范围是(0,]∪[12,+∞)‎ 故选:A.‎ 点睛:这个题目并没有说明椭圆的焦点位置,因此分两种情况,且在这些三角形中,当p点在上顶点M时,角最大,因此:0<k<4时,C上存在点P满足∠APB=120°,即∠AMB≥120°,即∠AMO≥60°,在直角三角形中tan∠AMO=≥tan60°,解得k,同理k>4时也可以这样做.‎ ‎11. 已知函数为增函数,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为,‎ 令,则,‎ 可得:时,函数g(x)取得极大值即最大值,.‎ ‎∴.‎ ‎∴a的取值范围是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12. 定义为个正数的“均倒数”,若已知数列的前项的“均倒数”为,又,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合题意可知:,‎ 则:,即:,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 且时,,‎ 据此可得:,‎ 据此可得:,‎ 本题选择C选项.‎ 点睛:使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.‎ 二、填空题 ‎13. 已知函数是定义在上的偶函数,对于,都有成立,当且时,都有给出下列四个命题:‎ ‎①②直线是函数的图象的一条对称轴;‎ ‎③函数在上为减函数;④函数在上有四个零点.‎ 其中所有正确命题的序号为________.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎ ‎ ‎14. 已知函数且函数在处有极值10,则实数的值为________.‎ ‎【答案】-11‎ ‎【解析】,,解得或,代入检验时,x=1不是极值点,不符。所以填-11.‎ ‎【点睛】对于连续可导函数,导数等于零是在该点取极值必要条件,所以当我们用必要条件做题时,需要检验。‎ ‎15. 若函数满足且;函数,则的零点有_____ 个 ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 画出函数与函数在区间上图像如图,结合图像可以看出:两个函数的图像有八个交点,即函数的有八个零点,应填答案8。‎ ‎16. 已知抛物线焦点为,直线过焦点且与抛物线交于两点, 为抛物线准线上一点且,连接交轴于点,过作于点,若,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ,直线的方程为 代入抛物线方程可得 ‎ 可得 ‎ 联立可得 ‎ 故答案为.‎ 点睛:本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17. (1)若函数的图象在处的切线垂直于直线,求实数的值及直线的方程;‎ ‎(2)求函数的单调区间;‎ ‎(3)若,求证: .‎ ‎【答案】(1) ;(2) 当时, 的单调递增区间是;当时, 的单调递增区间是,单调递减区间是;(3)见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,根据切线的斜率求出的值,从而求出函数的切点,点斜式求出切线方程即可;(2)求出,分别令 得增区间,得减区间;(3)由时,,在上单调递减,得到,从而证明结论.‎ 试题解析:(1)∵(),定义域为,∴‎ ‎∴函数的图象在处的切线的斜率 ‎∵切线垂直于直线,∴,∴‎ ‎∴,,∴切点为 ‎∴切线的方程为,即.‎ ‎(2)由(1)知:,‎ 当时,,此时的单调递增区间是;‎ 当时, ‎ 若,则;若,则 此时的单调递增区间是,单调递减区间是 综上所述:‎ 当时,的单调递增区间是;‎ 当时,的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(3)由(2)知:当时,在上单调递减 ‎∴时,‎ ‎∴时,,即.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数;(2) 己知斜率求切点即解方程;(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. ‎ ‎18. 在直角坐标系中, 已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)设是曲线上两点,点关于轴的对称点为 (异于点),若直线分别交轴于点,证明: 为定值.‎ ‎【答案】(1) ,(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由两圆关系得等量关系,再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程,(2)解析几何中定值问题,往往通过计算给予证明,先设坐标,列直线方程,求出与轴交点坐标,再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元,化简计算为定值 .‎ 试题解析:‎ 解:(1)因为点在内,所以圆内切于圆,则,由椭圆定义知,圆心的轨迹为椭圆,且,则,所以动圆圆心的轨迹方程为.‎ ‎(2)设,则,由题意知.则,直线方程为,令,得,同理,于是,‎ 又和在椭圆上,故,则 ‎.‎ 所以.‎ ‎19. 已知圆,定点为圆上一动点,线段的垂直平分线交线段于点,设点的轨迹为曲线;‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若经过的直线交曲线于不同的两点,(点在点, 之间),且满足,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)曲线方程: ;(2)直线的方程为: .‎ ‎【解析】试题分析:(1)是线段的垂直平分线,,轨迹方程;(2)设直线的方程为:,联立方程得:,,由,得,巧借韦达定理建立的方程,解之即可.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)设点的坐标为,‎ 是线段的垂直平分线,,‎ 又点在上,圆,半径是 点的轨迹是以为焦点的椭圆,‎ 设其方程为,则 曲线方程:‎ ‎(Ⅱ)设 当直线斜率存在时,设直线的斜率为 则直线的方程为:,‎ ‎,整理得:,‎ 由,解得: ------①‎ 又,‎ 由,得,结合①得 ‎,即,‎ 解得 直线的方程为:,‎ 当直线斜率不存在时,直线的方程为与矛盾.‎ 直线的方程为:‎ ‎20. 已知函数, .‎ ‎(1)若对任意的,均有,求的取值范围;‎ ‎(2)若对任意的,均有,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)m的范围是(2)的范围是 ‎ ‎【解析】试题分析:(1)求出的最小值为,的最大值,使得成立即可;(2)利用分离参数思想,将其转化为恒成立,故可求得其结果.‎ 试题解析:(1),‎ 由,得.,当时,,要使恒成立,只需,解得.‎ 当时,,要使恒成立,只需,矛盾.‎ 综上的取值范围是. ‎ ‎(2)‎ ‎,‎ 要使恒成立,只需,‎ 则,因为,,‎ 所以只需恒成立,则所求的的取值范围为. ‎ 点睛:本题主要考查了恒成立问题,常见的问题有两种形式即任意的恒成立和任意恒成立,对于第一种形式应转化为求其最大值和最小值,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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