2014全国新课标1（理科数学）高考试题

2014全国新课标1（理科数学）高考试题

‎2014·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)‎ ‎1．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)‎ ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A．[－2，－1] B．[－1，2)‎ B．[－1，1] D．[1，2)‎ ‎1．A　[解析] 集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ] ＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎2．D　[解析] ＝＝＝－1－i.‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎3．C　[解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.‎ ‎4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A. B．3‎ C.m D．3m ‎4．A　[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.‎ ‎5．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．D　[解析] 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝.‎ 图11‎ ‎6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ ‎　　　 A　 　　　 　　　　　B ‎　　　 C　 　　　　　　　　D ‎6．C　[解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．‎ ‎7．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝(　　)‎ 图12‎ A. B. C. D. ‎7．D　[解析] 逐次计算，依次可得：M＝，a＝2，b＝，n＝2；M＝，a＝，b＝，n＝3；M＝，a＝，b＝，n＝4.此时输出M，故输出的是.‎ ‎8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎8．C　[解析] tan α＝＝＝‎ ＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tan α＝tan，所以α＝，即2α－β＝.‎ ‎9．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2‎ C．p1，p4 D．p1，p3‎ ‎9．B　[解析] 不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．‎ ‎10．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ ‎10．B　[解析] 由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.‎ ‎11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)‎ ‎11．C　[解析] 当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.‎ 由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝.‎ 若a<0，则函数f(x)的极大值点为x＝0，且f(x)极大值＝f(0)＝1，极小值点为x＝，且f(x)极小值＝f＝，此时只需>0，即可解得a<－2；‎ 若a>0，则f(x)极大值＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意．‎ 综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2)．‎ ‎12．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ 图13‎ A．6 B．6 C．4 D．4‎ ‎12．B　[解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E　CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝＝6.‎ ‎13．[2014·新课标全国卷Ⅰ] (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎13．－20　[解析] (x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.‎ ‎14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎14．A　[解析] 由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．‎ ‎15．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ ‎15．90°　[解析] 由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.‎ ‎16．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎16.　[解析] 根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.‎ ‎17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎18．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：‎ 图14‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.‎ ‎(i)利用该正态分布，求P(187.8b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.‎ 故E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，‎ 故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，‎ 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，‎ x1，2＝，‎ 从而|PQ|＝|x1－x2|‎ ‎＝.‎ 又点O到直线l的距离d＝.‎ 所以△OPQ的面积 S△OPQ＝d·|PQ|＝.‎ 设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.‎ 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，‎ 所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.‎ ‎21．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.‎ ‎(1)求a，b；‎ ‎(2)证明：f(x)>1.‎ ‎21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.‎ 由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.‎ ‎(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，‎ 从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.‎ 设函数g(x)＝xln x，‎ 则g′(x)＝1＋ln x，‎ 所以当x∈时，g′(x)<0；‎ 当x∈时，g′(x)>0.‎ 故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.‎ 设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．‎ 所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.‎ 故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.‎ 因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，‎ 所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.‎ ‎22．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲 如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ 图16‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎23．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎23．解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎24．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲 若a>0，b>0，且＋＝.‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值．‎ ‎(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.24.解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4 ，当且仅当a＝b＝ 时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.‎