专题28+空间几何体的结构及其三视图与直观图-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

专题28+空间几何体的结构及其三视图与直观图-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

空间几何体 ‎（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.‎ ‎（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.‎ ‎（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.‎ ‎（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.‎ 一、空间几何体的结构 ‎1．多面体 几何体 结构特征 备注 棱柱 ‎①底面互相平行.‎ ‎②侧面都是平行四边形. ‎③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.‎ 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.‎ 棱锥 ‎①底面是多边形. ‎ ‎②侧面都是三角形. ‎ ‎③侧面有一个公共顶点.‎ 三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底. 三棱锥又称为四面体.‎ 棱台 ‎①上、下底面互相平行，且是相似图形. ‎ ‎②各侧棱的延长线交于一点. ‎ ‎③各侧面为梯形.‎ 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ‎2．旋转体 几何体 结构特征 备注 圆柱 ‎①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.‎ ‎②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. ‎ ‎③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.‎ 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.‎ 圆锥 ‎①底面是圆面.‎ ‎②有无数条母线，长度相等且交于顶点. ‎ ‎③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.‎ 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.‎ 圆台 ‎①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. ‎ ‎②有无数条母线，等长且延长线交于一点. ‎ ‎③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.‎ 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.‎ 球 ‎①球心和截面圆心的连线垂直于截面.‎ ‎②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.‎ 球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.‎ 二、空间几何体的三视图与直观图 ‎1．空间几何体的三视图 ‎（1）三视图的概念 ‎①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;‎ ‎②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;‎ ‎③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. ‎ 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.‎ ‎（2）三视图的画法规则 ‎①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：‎ 正 侧 俯 ‎②画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；‎ ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；‎ ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.‎ ‎③线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；‎ ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.‎ ‎（3）常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 ‎矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 ‎2．空间几何体的直观图 ‎（1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： ‎ ‎①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.‎ ‎②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.‎ ‎③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.‎ ‎（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ‎①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.‎ ‎②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面 ‎ ‎③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.‎ ‎④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.‎ ‎⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.‎ ‎（3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ‎①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，‎ ‎②直观图面积是原图面积的倍.‎ 考向一 空间几何体的结构特征 关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：‎ ‎(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．‎ ‎(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.‎ 典例1 给出下列四个命题：‎ ‎①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；‎ ‎②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；‎ ‎③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；‎ ‎④长方体一定是正四棱柱. ‎ 其中正确的命题个数是 A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎ 故选A.‎ ‎1．如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 A．①② B．②③‎ C．③④ D．①⑤‎ 典例2 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是 A．10 cm　　　　　　 B． cm C． cm D． cm ‎【答案】D ‎【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．‎ ‎2．如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 A．5 cm B．12 cm C．13 cm D．25 cm 考向二 空间几何体的三视图 三视图问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.‎ 典例3 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎【答案】B ‎ ‎3．一简单几何体的三视图如下图所示，则该几何体最大的面的面积等于 A． B． C． D． 考向三 空间几何体的直观图 斜二测画法中的“三变”与“三不变”：‎ ‎“三变”；‎ ‎“三不变”.‎ 典例4 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为 A．3 B． ‎ C．6 D． ‎【答案】C ‎【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.‎ ‎4．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4，4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为 .‎ ‎1．有下列三个说法： ‎ ‎①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ‎ ‎②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ‎ ‎③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． ‎ 其中正确的有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的 A．①② B．②③ ‎ C．③④ D．①④‎ ‎3．一个封闭的立方体,它的6个表面上分别标上1,2,3,4,5,6这6个数字,现分别如图（1）（2）（3）所示放置，则数字1,2,3对面的数字分别是 ‎（1） （2） （3） ‎ A．4,5,6 B．6,4,5‎ C．5,4,6 D．5,6,4‎ ‎4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 ‎ ‎ ‎6．如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为 ‎7．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是，则棱台的高是 A． B． C． D． ‎8．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为 A． B． C． D． ‎9．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，若规定主（正）视方向垂直平面，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为 A． B． C． D． ‎10．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是 A． B． ‎ C． D． ‎11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是 A．最长棱的棱长为 ‎ B．最长棱的棱长为 C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 ‎ D．侧面四个三角形都是直角三角形 ‎12．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是____________.‎ ‎13．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的直观图，若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′=C′D′=2，A′D′=1，则四边形ABCD的面积是____________. ‎ ‎14．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是____________(写出所有可能的序号).‎ ‎15．正三棱锥P−ABC中，，，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C点，最短路程是____________.‎ ‎1．(2017年高考新课标Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12‎ C．14 D．16‎ ‎2．（2017年高考北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．3 B．2 C．2 D．2‎ ‎ ‎ 变式拓展 ‎1．【答案】D ‎【名师点睛】此题容易出现的错误是：读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面导致错解.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为=13(cm)．‎ ‎3．【答案】B ‎ ‎【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示.‎ 其中正方体的棱长为，,所以面积最大的面为侧面及侧面，其面积为，故选B.‎ ‎4．【答案】　‎ ‎【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′=2,‎ ‎∠B′C′E=45°,所以.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎ ‎【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．‎ ‎  ‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B.‎ ‎3．【答案】C ‎ ‎4．【答案】D　‎ ‎【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为，又原图形与直观图的面积比为，所以原图形的面积为．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由几何体的三视图可知，该几何体的直观图是选项A中的几何体．‎ ‎6．【答案】C ‎ ‎【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C图才正确，故选C.‎ ‎7．【答案】D ‎ ‎【解析】面积比为底面边长比的平方,从而由面积比可得底面边长的比,底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高,即可得棱台的高.设原棱锥的高为.依题意可得,解得，所以棱台的高为.故D正确.‎ ‎8．【答案】C ‎【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】由题设可知,且边上的高,侧视图是以边上的高为宽,长为三棱柱侧棱长的矩形，故其面积为,应选A.‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】如下图所示：‎ 在中，易知，，，由余弦定理得：，所以，故选A.‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，其中一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：‎ 根据三视图中的数据可知最长棱的棱长为，所以选项A和选项B都错误；‎ 根据三视图可知侧面四个三角形都是直角三角形，所以选项D正确.‎ 故选D.‎ ‎12．【答案】6‎ ‎13．【答案】5‎ ‎【解析】原图形ABCD为直角梯形，AD为垂直于底边的腰，AD=2，AB=2，CD=3，∴．‎ ‎14．【答案】①②③ ‎ ‎【解析】要画出四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点D′，O，E，F在每个面上的投影，再顺次连接就可得到在该面上的投影.空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的正投影是①；在面BCC′B′上的正投影是②；在面ABCD上的正投影是③.故填①②③. ‎ ‎15．【答案】 ‎【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在中的长度，由题中数据易得，，‎ ‎，如果将侧面PAC展开，同理可得.‎ 直通高考 ‎1．【答案】B ‎【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】几何体是四棱锥，如图.‎ 最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎