数学理卷·2017届北京市西城区北师大实验高三上学期12月月考试题（解析版）

数学理卷·2017届北京市西城区北师大实验高三上学期12月月考试题（解析版）

北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项 ‎1. 已知全集，集合，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵集合或，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎2. 在平面直角坐标系中，已知，，，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在平面直角坐标系中，已知，，，‎ 则.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎3. 已知数列的前项和，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 故选．‎ ‎4. 为了得到函数的图像，只需把的图像上所有的点（ ）．‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】由，，‎ 因此，为了得到的图像，只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度．‎ 故选．‎ ‎ ‎ ‎5. “”是“函数在内存在零点”的（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数在内存在零点，则，解得或.‎ 所以“”是“函数在内存在零点”的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ 点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：‎ 一是，开口；‎ 二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；‎ 三是，判别式，决定于x轴的交点个数；‎ 四是，区间端点值.‎ ‎6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 综上所述，的解集为．‎ 故选．‎ ‎7. 已知直线，若存在实数，使直线与曲线交于两点、，且，则称曲线具有性质，给定下列三条曲线方程：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ 其中，具有性质的曲线的序号是（ ）．‎ A. ①② B. ② C. ③ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】①．与直线至多一个交点，故①不具性质．‎ ‎②．，圆心为，半径为，直线过定点，‎ 故存在，使直线与曲线交于、两点，且，具有性质．‎ ‎③过点，直线过定点，‎ 故存在，使得直线与曲线交于、两点，且，具有性质．‎ 综上，具有性质的曲线的序号是②③．‎ 故选．‎ ‎8. 甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在、、、、号房间，现已知：‎ ‎（）甲与乙不是邻居；‎ ‎（）乙的房号比丁小；‎ ‎（）丙住的房是双数；‎ ‎（）甲的房号比戊大．‎ 根据上述条件，丁住的房号是（ ）．‎ A. 号 B. 号 C. 号 D. 号 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知，、、、、号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是．‎ 故选．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎9. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】复数，‎ 因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，‎ 所以．‎ 故．‎ 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，在复平面上对应的点为.‎ ‎10. 设，，，则、、从大到小的顺序为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 点晴：本题考查的是对数式的大小比较。解决本题的关键是利用对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1比较大小 ‎11. 在中，点为边的中点，若，且，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵是的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎12. 双曲线的离心率为__________；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】∵双曲线，‎ ‎∴焦点坐标为，，双曲线的离心率，‎ ‎∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎13. 已知点在不等式组，表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】结合不等式组表示的平面区域（如图所示），当点落在时，点到直线距离的最大值为.‎ 考点：1.简单线性规划的应用；2.点到直线的距离.‎ ‎14. 设，定义为不小于实数的最小整数（如，），若，则满足的实数的取值范围是__________；若，则方程的根为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). -4‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，故，‎ 设，则，，‎ ‎∴原方程等价于，‎ 即，从而，‎ ‎∴或，相应的为，，‎ 故所有实根之和为．‎ 三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递减区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ）最小正周期,，．‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求的值; (Ⅱ)直接利用正弦函数的周期的求法,以及三角函数的单调性直接求函数的单调递减区间.‎ 试题解析：（Ⅰ）函数 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，‎ ‎∴的最小正周期，‎ 令，‎ 则，，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，．‎ ‎16. 在中，角、、所对的边分别为、、，设，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得,利用余弦定理可得 ，计算可得出b的值. （Ⅱ）由三角形内角和可得 ,从而,利用两角差的正弦公式,特殊角的三角函数、同角三函数基本关系式，计算可得tanC值.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ 由余弦定理可得：，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题考查的是解三角形问题.在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，利用正弦定理把题目中角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理可得解.有时需将边的关系转化为角的关系；另外在解三角形时,两角差的正弦公式、三角形内角和及同角三角函数间的基本关系应用也比较广泛.‎ ‎17. 已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． ‎ ‎（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心．‎ ‎（Ⅱ）当，求直线的方程．‎ ‎（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）或．（Ⅲ）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由已知，故，所以直线的方程为，即可证明；（II）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（III）当与轴垂直时，易得，，求得；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系，化简即可求解定值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直线的方程为.‎ 将圆心代入方程易知过圆心.‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，‎ 所以，由，解得.‎ 故直线的方程为或.‎ ‎（Ⅲ）当与轴垂直时，易得，，又，则，‎ ‎，故,即.‎ 当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得 ‎，则.‎ ‎，即，‎ ‎.又由得，‎ 则.‎ 故，‎ 综上，的值为定值，且.‎ 另解一：连结，延长交于点，由（Ⅰ）知，又于，‎ 故.于是有.‎ 由，，得.‎ 故.‎ 另解二：连结并延长交直线于点，连结，，由（Ⅰ）知，又，‎ 所以四点都在以为直径的圆上，由相交弦定理得 ‎.‎ 考点：直线与圆的位置关系；向量的运算.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系、向量的运算，其中解答中涉及到直线的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程中根与系数的关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论和转化与化归思想的应用，其中解答中直线方程和圆的方程联立，利用根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎18. 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值．‎ ‎（Ⅱ）是否存在一次函数，使得对于，总有，且成立？若存在，求出的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为，，‎ ‎，‎ 易知时，，时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴当时，取得最小值为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 所以，‎ 故可证，代入，‎ 得恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即对一切恒成立，‎ 综上，存在一次函数，使得对于，总有，‎ 且，．‎ ‎19. 已知椭圆过点，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率．‎ ‎（Ⅱ）设为第三个象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，．‎ 所以椭圆的方程．‎ 又，‎ 所以离心率．‎ ‎（Ⅱ）设，则．‎ 又，，所以，‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而 所以四边形的面积 ‎．‎ 从而四边形的面积为定值．‎ 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．‎ ‎【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．‎ ‎ ‎ ‎20. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．‎ ‎（Ⅰ）若具有性质，且，，，，，求．‎ ‎（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，‎ ‎，判断是否具有性质，并说明理由．‎ ‎（Ⅲ）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．‎ ‎（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．‎ 通过计算，，，，即知不具有性质．‎ ‎（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． ‎ 试题解析：（1）因为，所以，，．‎ 于是，又因为，解得．‎ ‎（2）的公差为，的公比为，‎ 所以，．‎ ‎．‎ ‎，但，，，‎ 所以不具有性质．‎ ‎（3）[证]充分性：‎ 当为常数列时，．‎ 对任意给定的，只要，则由，必有．‎ 充分性得证．‎ 必要性：‎ 用反证法证明．假设不是常数列，则存在，‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但．‎ 设，取，使得，则 ‎，，故存在使得．‎ 取，因为（），所以，‎ 依此类推，得．‎ 但，即．‎ 所以不具有性质，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.‎ ‎ ‎