数学文卷·2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试（10月）（2017

数学文卷·2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试（10月）（2017

‎2017-2018学年汕头市金山中学高三文科数学期中考试 ‎ 命题人：郑少珊 一、选择题.‎ ‎1．已知集合，则实数a的值为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎2．已知复数是纯虚数(其中为虚数单位，)，则（ ）‎ A. 1 B. -1 C. D. ‎ ‎3．如图是为了求出满足的最小偶数，那么 在和 两个空白框中，可以分别填入( )‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎4．若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知分别为的三个内角的对边，（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ ‎9．已知函数在处取得最大值,则函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎10．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. 4‎ ‎12．已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题.‎ ‎13．若数列的前n项和满足（）,则数列的通项公式是 _____．‎ ‎14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan ＝2,则=_________．‎ ‎15．设为坐标原点,,若点满足,则的最大值是________．‎ ‎16．已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为__________．‎ 三、解答题.‎ ‎17. 已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎18．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图（如图所示）：‎ 若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关：‎ 合计 认可 不认可 合计 附：参考数据：（参考公式：‎ ）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与所成角的正切值为,设,求四棱锥的体积.‎ ‎20．已知椭圆经过点，离心率。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点,求的面积的最大值。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值及函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线l经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为．‎ ‎ （Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设l与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲.‎ 设函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|．‎ ‎(1)求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎2017-2018学年度 汕头市金山中学 高三文科数学 期中考试 参考答案 ACDBB CBBAD CA ‎ ‎17. [解]　(1)设数列{an}的公比为q，‎ 因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分 因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.‎ 即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.‎ 因为公比q≠0，所以q＝2.‎ 所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).5分 ‎(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，‎ 所以anbn＝(2n－1)2n，7分 则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①‎ ‎2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②‎ 由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝2＋2×－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝－6－(2n－3)2n＋1，‎ 所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分 ‎18.解析：‎ ‎【答案】没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.‎ 合计 认可 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ 不认可 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 所以没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．‎ ‎19．（1）证明：取的中点，连接，则，‎ 又，所以，‎ 则四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面平面PCD；‎ ‎（2）取的中点，连接，‎ 因为平面，‎ ‎∴.‎ 由即及为的中点，可得为等边三角形，‎ ‎∴，‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∴平面平面.‎ 所以 所以.‎ ‎，∴为直线与所成的角，‎ 由（1）可得，∴，∴，则 .其他方法酌情给分 ‎20．解析：‎ ‎（Ⅰ）由点在椭圆上得， ① ②‎ 由①②得，故椭圆的标准方程为 ‎ ‎ ‎21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 因为的图象在点处的切线方程为，‎ 所以，解得，.‎ 所以.‎ 所以.‎ 令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）当时，.‎ 证明如下：‎ 因为时单调递减，‎ 且，‎ 又，当时，单调递增，且.‎ 若，则必都大于1，且必有一个小于，一个大于.‎ 不防设，‎ 当时，必有.‎ 当时，，‎ 设，，‎ 则 ‎.‎ 因为，‎ 所以.‎ 故.‎ 又，‎ 所以.‎ 所以在区间内单调递增.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，，所以，‎ 又因为在区间内单调递增，‎ 所以，即.‎ 综上，当时，.‎ ‎22．（1）；（2）.‎ 解析：(1)直线l的参数方程为,即 (t为参数)‎ 由,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，‎ ‎∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴.‎ ‎(2)把代入.‎ 得t2＋t－＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.故点P到点A、B两点的距离之积为.‎ 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.‎ ‎23.解：(1)函数f(x)可化为f(x)＝ 当x≤－2时，f(x)＝－3＜0，不合题意；‎ 当－2＜x＜1时，f(x)＝2x＋1＞1，得x＞0，即0＜x＜1；‎ 当x≥1时，f(x)＝3＞1，即x≥1．‎ 综上，不等式f(x)＞1的解集为(0，＋∞)．‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，‎ 由(1)可知f(x)max＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)max＝3)，‎ 即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4．‎ 故实数m的取值范围为[－3,4]．‎