2020高中数学 课时分层作业4 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)新人教A版选修2-2

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2020高中数学 课时分层作业4 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)新人教A版选修2-2

课时分层作业(四) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)‎ ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.下列函数不是复合函数的是(  )‎ A. y=-x3-+1  B.y=cos C.y= D.y=(2x+3)4‎ A [A不是复合函数,B、C、D均是复合函数,其中B是由y=cos u,u=x+复合而成;C是由y=,u=ln x复合而成;D是由y=u4,u=2x+3复合而成.]‎ ‎2.函数y=xln(2x+5)的导数为(  )‎ ‎ 【导学号:31062032】‎ A.ln(2x+5)- B.ln(2x+5)+ C.2xln(2x+5) D. B [∵y=xln(2x+5),∴y′=ln(2x+5)+.]‎ ‎3.函数y=(ex+e-x)的导数是(  )‎ A.(ex-e-x) B.(ex+e-x)‎ C.ex-e-x D.ex+e-x A [y′=(ex+e-x)′=(ex-e-x).]‎ ‎4.当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0等于(  )‎ A.a B.±a C.-a D.a2‎ B [y′=′==,‎ 由x-a2=0得x0=±a.]‎ ‎5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.-1 D.-2‎ 5‎ B [设切点坐标是(x0,x0+1),‎ 依题意有 由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.]‎ 二、填空题 ‎6.f(x)=且f′(1)=2,则a的值为________. ‎ ‎【导学号:31062033】‎ ‎[解析] ∵f(x)=(ax2-1),‎ ‎∴f′(x)=(ax2-1) (ax2-1)′=.‎ 又f′(1)=2,∴=2,∴a=2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎7.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.‎ ‎(e,e) [设P(x0,y0).∵y=xln x,‎ ‎∴y′=ln x+x·=1+ln x.‎ ‎∴k=1+ln x0.又k=2,‎ ‎∴1+ln x0=2,∴x0=e.‎ ‎∴y0=eln e=e.‎ ‎∴点P的坐标是(e,e).]‎ ‎8.点P是f(x)=x2上任意一点,则点P到直线y=x-1的最短距离是__________.‎ ‎[解析] 与直线y=x-1平行的f(x)=x2的切线的切点到直线y=x-1的距离最小.设切点为(x0,y0),则f′(x0)=2x0=1,‎ ‎∴x0=,y0=.即P到直线y=x-1的距离最短.∴d==.‎ ‎[答案]  三、解答题 ‎9.求下列函数的导数.‎ ‎ 【导学号:31062034】‎ ‎(1)y=ln(ex+x2);‎ ‎(2)y=102x+3;‎ ‎(3)y=sin4x+cos4x.‎ ‎[解] (1)令u=ex+x2,则y=ln u.‎ 5‎ ‎∴y′x=y′u·u′x=·(ex+x2)′=·(ex+2x)=.‎ ‎(2)令u=2x+3,则y=10u,∴y′x=y′u·u′x=10u·ln 10·(2x+3)′=2×102x+3ln 10.‎ ‎(3)y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2 x·cos2 x=1-sin2 2x=1-(1-cos 4x)=+cos 4x.‎ ‎∴y′=-sin 4x.‎ ‎10.曲线y=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.‎ ‎[解] ∵y=esin x,∴y′=esin xcos x,‎ ‎∴y′|x=0=1.‎ ‎∴曲线y=esin x在(0,1)处的切线方程为 y-1=x,即x-y+1=0.‎ 又直线l与x-y+1=0平行,故可设为x-y+m=0.‎ 由=得m=-1或3.‎ ‎∴直线l的方程为:x-y-1=0或x-y+3=0. ‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(  )‎ A. B. C. D.1‎ A [依题意得y′=e-2x·(-2)=-2e-2x,y′|x=0=‎ ‎-2e-2×0=-2.‎ 曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×=.]‎ ‎2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  )‎ 5‎ A. B. C. D. D [因为y=,‎ 所以y′===.‎ 因为ex>0,所以ex+≥2,所以y′∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).‎ 又因为α∈[0,π),‎ 所以α∈.]‎ ‎3.函数y=ln 在x=0处的导数为________.‎ ‎ 【导学号:31062035】‎ ‎[解析] y=ln =ln ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),‎ 则y′=1-.当x=0时,y′=1-=.‎ ‎[答案]  ‎4.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.‎ ‎[解析] (1)设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,f′(x)=-3,f′(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.‎ ‎[答案] y=-2x-1‎ ‎5.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f′(x)及f′;‎ ‎(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.‎ ‎[解] (1)∵f(x)=eπxsin πx,‎ ‎∴f′(x)=πeπxsinπx+πeπxcos πx ‎=πeπx(sin πx+cos πx).‎ ‎∴f′=πe ‎=πe.‎ 5‎ ‎(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y′|x=x0=0.‎ 又y′=,‎ ‎∴y′|x=x0==0.‎ 解得x0=0,此时y0=1.‎ 即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.‎ 5‎
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