北京市第十二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

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北京市第十二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

北京十二中2019-2020学年度第一学期高一年级数学月考试题 一、选择题 ‎1.下列说法正确的是( )‎ A. 我校爱好足球的同学组成一个集合 B. 是不大于3的自然数组成的集合 C. 集合和表示同一个集合 D. 由1,0,,,组成的集合有5个元素 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中的元素具有:确定性,互异性,无序性对选项逐一判断可得正确选项.‎ ‎【详解】对于选项A:不满足集合中的元素的确定性,所以A错误;‎ 对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是,所以B错误;‎ 对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合和表示同一个集合,所以C正确;; 对于选项D:因为,集合中的元素具有互异性,所以由1,0,,,组成的集合有4个元素, 所以D错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合中的元素的特征:确定性,无序性,互异性,属于基础题.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解不等式得集合B,再根据集合的交集的定义求.‎ ‎【详解】由得,所以,又,所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎3.命题“,使得”的否定形式是( )‎ A. ,都有 B. ,使得 C. ,使得 D. ,都有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题可得选项.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“,使得”的否定为: “,都有”,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.‎ ‎4.下列集合中表示同一集合的是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为有序数对与不相同,所以A错误;‎ 由于集合中的元素具有无序性,所以集合与集合是同一集合,故B正确;‎ 因为集合M表示的是当时,所得的有序实数对 所构成的集合,而集合N是当时所得的y值所构成的集合,所以C错误;‎ 因为,,所以D错误,‎ ‎【详解】对于A选项:有序数对与不相同,所以集合与集合不是同一集合,故A错误;‎ 对于C选项:由于,所以集合M表示是当时,所得的有序实数对所构成的集合, ‎ 而由得集合N是当时所得的y值所构成的集合,‎ 所以集合与集合不是同一集合,故C错误;‎ 对于D选项,,,所以集合与集合不是同一集合,故D错误;‎ 对于B选项:由于集合中的元素具有无序性,所以集合与集合是同一集合,故B正确;‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合所表示的元素的意义,在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集,理解元素的具体含义是什么,属于基础题.‎ ‎5.下列五个写法:①;②;③;④;⑤.其中正确写法的个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合与集合之间的包含关系的定义、空集是任何集合的子集、集合的元素具有无序性对写法逐一判断得选项.‎ ‎【详解】对于①表示的是集合与集合之间的关系,不能用元素属于集合的符号“”表示,故①写法错误;‎ 对于②表示的是集合与集合之间的关系,并且空集是任何集合的子集,故②写法正确;‎ 对于③集合中的元素具有无序性,所以写法正确;‎ 对于④空集不含有任何元素,所以④不正确;‎ 对于⑤空集不含有任何元素,所以⑤正确;‎ 所以共3个写法正确,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的包含关系、空集的含义和集合中的元素无序性,属于基础题.‎ ‎6.下列结论正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质逐一判断C,D选项,也可以用举反例的方法判断A,B选项,得出正确的选项.‎ ‎【详解】对于A:若,则A不成立, ‎ 对于B:例如时满足,但是,则B不成立, ‎ 对于C:若,则,则C不成立, ‎ 对于D:根据不等式的性质:不等式的两边同时乘以一个负数,不等号改变方向,即可判断成立, ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质,属于基础题.‎ ‎7.已知,,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:由不等式的性质,推导出‎2a-b的取值范围.‎ 详解:∵-1≤a≤3, ‎ ‎∴-2≤‎2a≤6, 又∵2≤b≤4,∴-4≤-b≤-2, ∴-6=-2-4≤‎2a-b≤6-2=4, 即-6≤‎2a-b≤4, ∴‎2a-b的取值范围是[-6,4]; 故选:A.‎ 点睛:本题考查了不等式的性质的应用问题,解题时应牢记不等式的性质,并会熟练地应用.也可以利用线性规划求解.‎ ‎8.集合的元素个数是( )‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给出的条件,分别从最小的自然数0开始给代值,求出相应的的值,直到得出的为止,求出的个数.‎ ‎【详解】因为, 所以:当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,且,所以. 综上,,元素个数是2个. ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合中元素的个数,关键根据用赋值法分析和解决问题,属于基础题.‎ ‎9.已知命题“,使得”,若命题是假命题,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得命题是假命题,则将问题转化为命题“,使得”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】若命题是假命题,,则“不存在,使得”成立, 即“,使得”成立, 所以,解得,‎ 所以实数的取值范围是,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题,对于一元二次不等式的恒成立问题,多从根的判别式着手可以得到解决,属于中档题.‎ ‎10.已知,则取最大值时的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知令,得出此二次函数的对称轴,且二次函数的图象开口向下,所以当时,函数取得最大值.‎ ‎【详解】令,则,对称轴,所以当时,取得最大值,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的最值问题,对于二次函数的最值注意验证自变题是否能取到二次函数的对称轴,属于基础题.‎ ‎11.《几何原本》中几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示的图形,在上取一点,使得,,过点作交圆周于,连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度,利用CD>DE即可得到答案.‎ ‎【详解】连接DB,因为AB是圆O 的直径,所以,所以在中,中线,由射影定理可得,所以.‎ 在中,由射影定理可得,即,‎ 由得,‎ 故选:A. ‎ ‎【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用,考查推理能力,属于中档题.‎ ‎12.对于集合、,定义,,设,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求得集合M、N,再根据定义求出集合和集合,再求这两个集合的并集可得,得解.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 又因为当时,,所以, ,,‎ 所以 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时注意理解集合和集合的含义,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.如图,若集合,,则图中阴影部分表示的集合为__________(用列举法表示).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦恩图得图象阴影部分对应的集合为,先求出,再求,可得解.‎ ‎【详解】图象阴影部分对应的集合为,‎ 因为,故,‎ 故填:‎ ‎【点睛】本题主要考查根据韦恩图进行集合的交、补运算,属于基础题.‎ ‎14.不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分式不等式移项,通分,再转化为一元二次不等式,可得解.‎ ‎【详解】由得,即等价于,解得,‎ 所以不等式的解集是,‎ 故填:.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法,注意在未判断分母的符号时,不可直接去分母,可以移项、通分等步骤对分式不等式化简,属于基础题.‎ ‎15.已知集合====,则集合的关系为 ‎__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,为偶数,为奇数,为奇数,,故答案为.‎ ‎16.含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成,则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中的元素的互异性和集合相等的条件得出关于a,b的方程组,求解后再代入,可求值得解.‎ ‎【详解】根据集合中的元素互不相同知且,所以,因为,则 ‎,解得 , ‎ 所以,‎ 所以,‎ 故填:1.‎ ‎【点睛】本题考查集合的元素的互异性和集合相等的条件,属于基础题.‎ ‎17.设,,若,则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得,从而有,展开后利用基本不等式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,因为满足,‎ 所以,且,‎ 则,‎ 当且仅当且,即时取得最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用,其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件,合理利用基本不等式求得最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ ‎18.若对,,使得成立,则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知分别求出和,要使不等式成立,则需,可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为,所以,又,所以,‎ 若对, ,使得成立,‎ 则需,即,解得,‎ 故填:.‎ ‎【点睛】本题考查对于“任意”和“存在”中的不等式的恒成立问题,属于中档题.此问题关键分清“任意”和“存在”的条件,分别利用不等式两边的最大值或最小值建立的不等式.‎ 常见的有以下的四种情况:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ 三、解答题 ‎19.已知全集,其中,.‎ ‎(1)求和;‎ ‎(2)写出集合所有子集.‎ ‎【答案】(1),;‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由集合的交集、并集和补集的定义可求出和;‎ ‎(2)根据集合的子集的定义得出集合B的子集,注意不要漏掉空集.‎ ‎【详解】(1)由已知得,,所以,‎ ‎(2)集合的所有子集为:.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补的运算和求出某集合的所有子集,注意在写子集时,不要漏掉空集.‎ ‎20.已知集合,,若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A,由得,再对集合B是空集和集合B不是空集两种情况讨论,当时,,‎ 当时,需和,从而求得的范围.‎ ‎【详解】由得,解得,所以,‎ 因为,所以,‎ ‎①当时,,;‎ ‎②当时,即时,要使,则需,.‎ 综上:.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算和集合间的包含关系,注意根据集合的包含关系求解参数的范围时,需考虑子集为空集和不为空集两种情况,属于基础题.‎ ‎21.党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为‎2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?‎ ‎【答案】当沼气池的底面是边长为‎4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9240元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设沼气池的底面长为米,沼气池的总造价为元,依题意有,利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】设沼气池的底面长为米,沼气池的总造价为元,‎ 因为沼气池的深为‎2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米,‎ 因为底面长为米,所以底面的宽为,‎ 依题意有,‎ 因为,由基本不等式和不等式的性质可得,‎ 即,‎ 所以,‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 所以当沼气池的底面是边长为‎4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9240元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问题中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式.‎ ‎22.已知关于的不等式,解集为.‎ ‎(1)若或,求的值.‎ ‎(2)解关于的不等式,.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为;‎ 当时,不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将已知不等式分解因式,由不等式的解集为或,得且该不等式对应方程的两个实数根为和,所以,可求a的值;‎ ‎(2)根据已知条件根据a的正负和两根的大小方面进行讨论,共分五种情况讨论a的范围:时、时、时、时、时分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可.‎ ‎【详解】(1)∵关于x的不等式可变形为 且该不等式的解集为或,‎ 所以 又因为不等式对应方程的两个实数根为和;∴,‎ 解得;‎ ‎(2)①时,不等式可化为,它的解集为;‎ ‎②时,不等式可化为,其对应的方程的两个实数根为和,‎ 当时,即,,∴不等式的解集为;‎ 当时,原不等式化为,,∴不等式的解集为;‎ 在时, ,不等式的解集为;‎ 在时,原不等式化为,,∴不等式的解集为;‎ 综上,时,不等式的解集为;‎ 时,不等式的解集为;‎ 时,不等式的解集为;‎ 时,不等式的解集为;‎ 时,不等式的解集为.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及一元二次方程的根与系数的关系,属于难题.分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一(四种思想:数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归),尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度,运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准分类讨论时的参数的分界点, 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答.‎
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