北京市第十二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

北京市第十二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

北京十二中2019-2020学年度第一学期高一年级数学月考试题 一、选择题 ‎1.下列说法正确的是( )‎ A. 我校爱好足球的同学组成一个集合 B. 是不大于3的自然数组成的集合 C. 集合和表示同一个集合 D. 由1，0，，，组成的集合有5个元素 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项.‎ ‎【详解】对于选项A:不满足集合中的元素的确定性，所以A错误；‎ 对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是,所以B错误；‎ 对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合和表示同一个集合，所以C正确；； 对于选项D：因为，集合中的元素具有互异性，所以由1，0，，，组成的集合有4个元素, 所以D错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解不等式得集合B，再根据集合的交集的定义求.‎ ‎【详解】由得，所以，又，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎3.命题“，使得”的否定形式是( )‎ A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，都有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题可得选项.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“，使得”的否定为: “，都有”，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.‎ ‎4.下列集合中表示同一集合的是( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为有序数对与不相同，所以A错误；‎ 由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；‎ 因为集合M表示的是当时，所得的有序实数对 所构成的集合，而集合N是当时所得的y值所构成的集合，所以C错误；‎ 因为，，所以D错误，‎ ‎【详解】对于A选项：有序数对与不相同，所以集合与集合不是同一集合，故A错误；‎ 对于C选项：由于，所以集合M表示是当时，所得的有序实数对所构成的集合， ‎ 而由得集合N是当时所得的y值所构成的集合，‎ 所以集合与集合不是同一集合，故C错误；‎ 对于D选项，，，所以集合与集合不是同一集合，故D错误；‎ 对于B选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.‎ ‎5.下列五个写法：①；②；③；④；⑤.其中正确写法的个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合与集合之间的包含关系的定义、空集是任何集合的子集、集合的元素具有无序性对写法逐一判断得选项.‎ ‎【详解】对于①表示的是集合与集合之间的关系，不能用元素属于集合的符号“”表示，故①写法错误；‎ 对于②表示的是集合与集合之间的关系，并且空集是任何集合的子集，故②写法正确；‎ 对于③集合中的元素具有无序性，所以写法正确；‎ 对于④空集不含有任何元素，所以④不正确；‎ 对于⑤空集不含有任何元素，所以⑤正确；‎ 所以共3个写法正确，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的包含关系、空集的含义和集合中的元素无序性，属于基础题.‎ ‎6.下列结论正确的是( )‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质逐一判断C,D选项，也可以用举反例的方法判断A，B选项，得出正确的选项.‎ ‎【详解】对于A:若,则A不成立, ‎ 对于B:例如时满足,但是,则B不成立, ‎ 对于C:若,则,则C不成立, ‎ 对于D:根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等号改变方向，即可判断成立, ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知，，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由不等式的性质，推导出‎2a-b的取值范围．‎ 详解：∵-1≤a≤3， ‎ ‎∴-2≤‎2a≤6， 又∵2≤b≤4，∴-4≤-b≤-2， ∴-6=-2-4≤‎2a-b≤6-2=4， 即-6≤‎2a-b≤4， ∴‎2a-b的取值范围是[-6，4]； 故选：A．‎ 点睛：本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应牢记不等式的性质，并会熟练地应用．也可以利用线性规划求解．‎ ‎8.集合的元素个数是( )‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给出的条件,分别从最小的自然数0开始给代值,求出相应的的值,直到得出的为止,求出的个数.‎ ‎【详解】因为, 所以：当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,且，所以. 综上,,元素个数是2个. ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合中元素的个数,关键根据用赋值法分析和解决问题,属于基础题.‎ ‎9.已知命题“，使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得命题是假命题，则将问题转化为命题“，使得”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】若命题是假命题，,则“不存在，使得”成立, 即“，使得”成立, 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.‎ ‎10.已知，则取最大值时的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知令，得出此二次函数的对称轴，且二次函数的图象开口向下，所以当时，函数取得最大值.‎ ‎【详解】令，则，对称轴，所以当时，取得最大值，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的最值问题，对于二次函数的最值注意验证自变题是否能取到二次函数的对称轴，属于基础题.‎ ‎11.《几何原本》中几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.‎ ‎【详解】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.‎ 在中，由射影定理可得，即，‎ 由得，‎ 故选：A. ‎ ‎【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.‎ ‎12.对于集合、，定义，，设，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求得集合M、N，再根据定义求出集合和集合，再求这两个集合的并集可得，得解.‎ ‎【详解】因为,所以，‎ 又因为当时，，所以， ,,‎ 所以 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解集合和集合的含义，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.如图，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为__________(用列举法表示).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦恩图得图象阴影部分对应的集合为，先求出，再求，可得解.‎ ‎【详解】图象阴影部分对应的集合为，‎ 因为，故，‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题主要考查根据韦恩图进行集合的交、补运算，属于基础题.‎ ‎14.不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，可得解.‎ ‎【详解】由得，即等价于，解得，‎ 所以不等式的解集是，‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意在未判断分母的符号时，不可直接去分母，可以移项、通分等步骤对分式不等式化简，属于基础题.‎ ‎15.已知集合====，则集合的关系为 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，为偶数，为奇数，为奇数，，故答案为.‎ ‎16.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中的元素的互异性和集合相等的条件得出关于a,b的方程组，求解后再代入，可求值得解.‎ ‎【详解】根据集合中的元素互不相同知且，所以，因为，则 ‎，解得 ， ‎ 所以，‎ 所以，‎ 故填：1.‎ ‎【点睛】本题考查集合的元素的互异性和集合相等的条件，属于基础题.‎ ‎17.设，，若，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为满足，‎ 所以，且，‎ 则，‎ 当且仅当且，即时取得最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎18.若对，，使得成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知分别求出和，要使不等式成立，则需，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以，又，所以，‎ 若对， ，使得成立，‎ 则需，即，解得，‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查对于“任意”和“存在”中的不等式的恒成立问题，属于中档题.此问题关键分清“任意”和“存在”的条件,分别利用不等式两边的最大值或最小值建立的不等式.‎ 常见的有以下的四种情况：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ 三、解答题 ‎19.已知全集，其中，.‎ ‎(1)求和；‎ ‎(2)写出集合所有子集.‎ ‎【答案】（1），；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由集合的交集、并集和补集的定义可求出和；‎ ‎（2）根据集合的子集的定义得出集合B的子集，注意不要漏掉空集.‎ ‎【详解】（1）由已知得，，所以，‎ ‎（2）集合的所有子集为：.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补的运算和求出某集合的所有子集，注意在写子集时，不要漏掉空集.‎ ‎20.已知集合，,若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，由得，再对集合B是空集和集合B不是空集两种情况讨论，当时，，‎ 当时，需和，从而求得的范围.‎ ‎【详解】由得，解得，所以，‎ 因为，所以，‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，即时，要使，则需，.‎ 综上：.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算和集合间的包含关系，注意根据集合的包含关系求解参数的范围时，需考虑子集为空集和不为空集两种情况，属于基础题.‎ ‎21.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为‎2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？‎ ‎【答案】当沼气池的底面是边长为‎4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，依题意有，利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，‎ 因为沼气池的深为‎2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，‎ 因为底面长为米，所以底面的宽为，‎ 依题意有，‎ 因为，由基本不等式和不等式的性质可得，‎ 即，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以当沼气池的底面是边长为‎4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问题中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式．‎ ‎22.已知关于的不等式，解集为.‎ ‎(1)若或，求的值.‎ ‎(2)解关于的不等式，.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知不等式分解因式，由不等式的解集为或，得且该不等式对应方程的两个实数根为和，所以，可求a的值；‎ ‎（2）根据已知条件根据a的正负和两根的大小方面进行讨论，共分五种情况讨论a的范围：时、时、时、时、时分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可.‎ ‎【详解】（1）∵关于x的不等式可变形为 且该不等式的解集为或，‎ 所以 又因为不等式对应方程的两个实数根为和；∴，‎ 解得；‎ ‎（2）①时，不等式可化为，它的解集为；‎ ‎②时，不等式可化为，其对应的方程的两个实数根为和，‎ 当时，即，，∴不等式的解集为；‎ 当时，原不等式化为，，∴不等式的解集为；‎ 在时， ，不等式的解集为；‎ 在时，原不等式化为，，∴不等式的解集为；‎ 综上，时，不等式的解集为；‎ 时，不等式的解集为；‎ 时，不等式的解集为；‎ 时，不等式的解集为；‎ 时，不等式的解集为.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及一元二次方程的根与系数的关系，属于难题.分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一（四种思想：数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归），尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准分类讨论时的参数的分界点， 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答.‎