【数学】重庆市垫江中学校2020届高三下学期入学考试试卷（文）

【数学】重庆市垫江中学校2020届高三下学期入学考试试卷（文）

重庆市垫江中学校2020届高三下学期入学考试 数学试卷（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足（其中为虚数单位)，则复数的虛部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于20分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设等比数列的前n项和为，若则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知直线与抛物线相交于、两点，且，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知圆是边长为的等边的外接圆，是所在平面内的动点，且,则的最大值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎13．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.‎ ‎14．已知函数在单调递减，且为奇函数．若，则的取值范围是_________.‎ ‎15．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________.‎ ‎16．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组制作了频率分布直方图，‎ ‎（1）从频率分布直方图中估计该40位居民月均用水量的众数，中位数；‎ ‎（2）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低 于0.5吨的概率是多少？‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知分别是内角的对边，且满足 (1) 求；‎ (2) 若的面积为，，求的周长.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，与相交于点，点在线段 上，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若，求点到平面的距离.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，‎ 求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以为直径的圆都必过点，并求出点的坐标.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎(1)若函数在点处的切线与直线平行，求实数 的值；‎ ‎(2)设，且有两个极值点，其中，求的最小值（注：其中为自然对数的底数）.‎ 四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为,求.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知函数，不等式的解集为.‎ (1) 求；‎ (2) 若为中的最大元素，正数满足,证明.‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1-12 CBADC DBBAC DB ‎13. 14. 15.8 16.‎ ‎17.解：(1)该40位居民月均用水量的众数2.25，中位数2；‎ ‎(2)由直方图可知：月均用水量在的人数为：，‎ 月均用水量在的人数为： ……8分 从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：‎ ‎ 共15种，其中月均用水量都在的情况有：共6种，两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是.‎ ‎18. 解：(1)∵，‎ ‎∴根据正弦定理，知，即.‎ ‎∴由余弦定理，得.‎ 又，所以.‎ ‎(2) ‎ 由余弦定理得：‎ ‎，解得：‎ 的周长 ‎19. 解：(1), ，‎ ‎,又,平面;‎ ‎(2) (2) 因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且， ‎ 所以且，又因为，所以 ‎ 因为平面，所以平面平面．‎ 作于，因为平面平面，所以平面． ‎ 又因为平面，所以即为到平面的距离． ‎ 在△中，设边上的高为，则，‎ 因为，所以，即到平面的距离为． ‎ 解法二、（1）同解法一． ‎ ‎（2）因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且，‎ 所以且，又因为，所以平面 ．‎ 设点到平面的距离为，由得，‎ 所以， ‎ 即． ‎ 因为，，，‎ 所以，解得，即到平面的距离为．‎ ‎20.解：（1）依题意椭圆方程为；‎ ‎（2）假设存在这样的点P，设，，，则，‎ 联立，消去y，得，解得，， 因为，所以所在直线方程为， ‎ 可得，同理可得，‎ 所以，，‎ 则，解得或，所以存在点P且坐标为或，使得无论非零实数怎么变化，以为直径的圆都必过点P.‎ ‎21.解：(1) 依题意;‎ ‎(2) ， ‎ 由题意得方程的两根分别为，且 所以，‎ 则 ‎ 设，则 当时，恒成立，所以在上单调递减，‎ 所以，即的最小值为.‎ ‎22.解： 因为曲线的方程， ‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ 化简得,曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）把直线代入曲线得，‎ 整理得，.‎ ‎∵，所以方程有两个不等实根，‎ 设为方程的两个实数根，由韦达定理可得,‎ ‎，，∴为异号，‎ 又∵点（3，1）在直线上，由参数方程中参数的几何意义可得,‎ ‎..‎ ‎ (2) 为中的最大元素，‎ ‎，‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 即.‎