湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

衡阳市第一中学2020年上学期高一入学考试（数学）试题 ‎ ‎ 一、 选择题（以下各题只有一个答案正确，每题5分，共60分）.‎ ‎1．若全集，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．下列函数中，既在定义域上是增函数又是奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎4．已知直线与直线平行，则实数m的取值为（ ）‎ A. B. C.2 D.-2‎ ‎5. 已知向量，，，则（ ）‎ A． B． C.-2 D.2‎ ‎6．圆的圆心和半径分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．函数的部分图像大致为（ ）‎ ‎9．有以下四种变换方式：‎ ‎①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；‎ ‎③将横坐标变为原来的，在向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．‎ 其中，能将正弦函数的图象变为的图象的是（ ）‎ A． ‎①③ B．②④ C．②③ D．①②‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示．‎ 则函数的解析式为（ ）‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎11.已知三点都在以为球心的球面上，两两垂直，三棱锥 的体积为，则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知定义在上的函数满足：,当 时，有，‎ 则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 一、 填空题（每题5分，共20分）.‎ ‎13.若函数为偶函数，则= .‎ ‎14.已知，则的值为 .‎ ‎15.在函数① y=|cos2x|，②y=cos|x|，③，④中，最小正周期为的函数有 .‎ ‎16.在正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，若则实数 .‎ 三、解答题（17题10分，其余各题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知 ‎(1)若,求；‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎18.已知函数 ‎(1)求函数的单调区间，并指出其增减性；‎ ‎(2)求集合 19. 已知△ABC的三个顶点分别为A(2，1),B(-3，2),C(-2，3),求：‎ ‎(1)AC边所在直线的方程；‎ ‎(2)AC边所在直线关于点B对称的直线的方程.‎ ‎20.如图，已知四棱锥的底面是菱形,平面ABCD,‎ ‎，点为的中点．‎ （1） 证明：PA//平面BDF；‎ （2） 证明：平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎21．已知向量记函数 ‎（1）求函数的最大值及取的最大值时的取值范围；‎ ‎（2）求函数的单调减区间.‎ ‎22.以原点为圆心，半径为的圆与直线相切.‎ ‎（1）若直线过点且截圆所得弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线 交圆于两点，且，证明：直线恒过一个定点，并求出该定点坐标.‎ ‎ ‎ 参考答案 一．选择题：‎ 1. B; 2.C; 3.C; ‎4A; 5D; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.B; 11.D; 12.B.‎ 二． 填空题：‎ ‎13. 1 ; 14. 2 ;‎ ‎15. ①④ ; 16. ;‎ 三．解答题.‎ ‎17.解：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎．‎ ‎（2）①若即时，，满足．‎ ‎②若即时，‎ 只须或，‎ 解得或．‎ 综上所述:的取值范围为．‎ ‎18.解：‎ (1) 已知函数，可画出其图像（如右图所示），‎ 函数的增区间为 函数的减区间为 ‎(2)在同一坐标系中作出的图像，使两函数图像有两个交点，可得：‎ ‎19.解：‎ （1） 由直线方程的两点式可知，设直线AC上任一点(x,y),有 ‎ ‎ 化简可得直线AC的一般方程：‎ ‎（2）设为直线上的任意一点，则关于点B(-3,2)的对称点 在直线AC上，‎ 化简可得直线的方程：.‎ ‎20.解：‎ ‎(1)证：连接AC交BD于点O，连接OF，又F为PC的中点，‎ 线段OF为△PAC的中位线，‎ OF//PA.又 ‎ PA//平面BDF.‎ ‎(2)证:平面平面，，‎ 点为的中点，，，‎ 又ABCD是菱形，，‎ ‎，平面，‎ 平面，平面平面.‎ ‎(3)由(2)可知平面，，‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎ .‎ ‎21.解：‎ ‎（1）‎ 当且仅当时，‎ ‎，此时的取值集合为 ‎（2）由得：‎ 所以函数的单调减区间为 ‎22.解：‎ ‎(1)∵圆与直线相切，‎ 而圆心到直线的距离为，‎ ‎∴圆的方程为：‎ ‎①若直线的斜率不存在，直线为 ，‎ 此时直线截圆所得弦长为，符合题意；‎ ‎②若直线的斜率存在，设直线为 ，‎ 由题意知，圆心到直线的距离为，解得：，‎ 此时直线为，‎ 则所求的直线为或；‎ ‎（2）由题意知，设直线，‎ 与圆方程联立得:，‎ 消去得:，‎ ‎∴∴，,‎ 用换掉得到B点坐标，得:，，‎ ‎∴直线AB的方程为 整理得：，则直线AB恒过定点为.‎