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文档介绍
2020九年级数学下册 第二十八章解直角三角形及其应用
课时作业(十九) [28.2.1 解直角三角形] 一、选择题 1.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( ) A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b 2.如图K-19-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=,则BC的长是( ) 图K-19-1 A.2 B.3 C.4 D.8 3.如图K-19-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( ) 图K-19-2 A. B.4 C.8 D.4 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则∠A的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 5.如图K-19-3,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是( ) 8 图K-19-3 A. B.12 C.14 D.21 6.如图K-19-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若BD是△ABC的角平分线,BD=8,则△ABC的三边长分别是( ) 图K-19-4 A.6,6,12 B.2,6,4 C.4,4,8 D.4,12,8 7.如图K-19-5,⊙O的直径AB=4,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为( ) 图K-19-5 A. B. C. D. 二、填空题 8.如图K-19-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=,则AB=________. 图K-19-6 9.如图K-19-7,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2 ,则AB的长为________. 图K-19-7 8 10.如图K-19-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,tan∠ACD=,AB=5,那么CD的长是________. 图K-19-8 三、解答题 11.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件解直角三角形. (1)b=10,∠A=60°; (2)a=2,b=2 . 12.如图K-19-9,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=. 求:(1)BC的长; (2)sin∠ADC的值. 图K-19-9 13.如图K-19-10,在△ABC中,D是BC上的一点,且∠DAC=30°,过点D作DE⊥AD交AC于点E,AE=4,EC=2. (1)求证:AD=CD; (2)若tanB=3,求线段AB的长. 图K-19-10 14.如图K-19-11,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=. 8 (1)求BC的长; (2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2). 图K-19-11 阅读理解我们知道,直角三角形的边角关系可用三角函数来描述,那么在任意三角形中,边角之间是否也存在某种关系呢?如图K-19-12,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠ACB所对的边分别为a,b,c,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中,CD=bsinA,AD=bcosA,∴BD=c-bcosA. 在Rt△BDC中,由勾股定理,得CD2+BD2=BC2, 即(bsinA)2+(c-bcosA)2=a2, 整理,得a2=b2+c2-2bccosA. 同理可得b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. (注:上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立,推理过程同上) 利用上述结论解答下列问题: (1)在△ABC中,∠A=45°,b=2 ,c=2,求a的长和∠C的度数; (2)在△ABC中,a=,b=,∠B=45°,c>a>b,求c的长. 图K-19-12 8 详解详析 [课堂达标] 1.A 2.A 3.[解析] D ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,cosB=, 即cos30°=, ∴BC=8×=4 . 4.D 5.[解析] A 如图,过点A作AD⊥BC, ∵在△ABC中,cosB=, ∴∠B=45°,BD=AD. ∵sinC=,AC=5, ∴sinC===, ∴AD=3, ∴CD=4,BD=3, 则△ABC的面积是·AD·BC=×3×(3+4)=. 6.[解析] D ∵∠A=30°, ∴∠ABC=60°. ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠CBD=30°. 解Rt△BCD,Rt△ABC,即可得△ABC的三边长. 7.[解析] B 如图,连接BD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵OC∥AD, ∴∠A=∠BOC, ∴cosA=cos∠BOC. ∵BC切⊙O于点B, ∴OB⊥BC, ∴cos∠BOC==, ∴cosA=cos∠BOC=. 8 又∵cosA=,AB=4,∴AD=. 故选B. 8.[答案] 17 [解析] ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=15,∴=,解得AC=8,根据勾股定理,得AB===17.故答案为17. 9.[答案] 3+ [解析] 过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中,AC=2 ,∠A=30°,∴CD=AC·sinA=,AD==3. 在Rt△BCD中,CD=,∠B=45°, ∴BD=CD=, ∴AB=AD+BD=3+. 10.[答案] [解析] ∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°, ∴∠B=∠ACD. ∵tan∠ACD=,∴tanB==. 设AC=3x,BC=4x. ∵AC2+BC2=AB2, ∴(3x)2+(4x)2=52,解得x=1, ∴AC=3,BC=4. ∵S△ABC=AB·CD=AC·BC, ∴CD==. 11.解: (1)∠B=90°-∠A=90°-60°=30°. ∵cosA=,∴c====20, ∴a===10 . (2)c===4 . ∵tanA===, ∴∠A=30°, ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 12.[解析] (1)过点A作AE⊥BC于点E,根据cosC=,求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根据tanB=,求出BE的长; (2)根据AD是△ABC的中线,求出BD的长,得到DE的长,进而求得sin ∠ADC的值. 解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E. ∵cosC=, ∴∠C=45°. 在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=×=1, 8 ∴AE=CE=1. 在Rt△ABE中,tanB=,即=, ∴BE=3AE=3, ∴BC=BE+CE=4. (2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD=2, ∴DE=CD-CE=1. ∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°, ∴sin∠ADC=. 13.解:(1)证明:∵DE⊥AD,∴∠ADE=90°. 在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AE=4, ∴∠DEA=60°,DE=AE=2. 又∵EC=2, ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C. 又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°, ∴∠C=30°=∠DAE, ∴AD=CD. (2)如图,过点A作AF⊥BC于点F, 则∠AFC=∠AFB=90°. ∵AE=4,EC=2, ∴AC=6. 在Rt△AFC中,∠AFC=90°,∠C=30°, ∴AF=AC=3. 在Rt△AFB中,∠AFB=90°,tanB=3, ∴BF==1, ∴AB==. 14.解:(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图①所示. 8 在Rt△ADC中,AC=4. ∵∠ACB=150°,∴∠ACD=30°, ∴AD=AC=2, CD=AC·cos30°=4×=2 . 在Rt△ABD中,tanB===, ∴BD=16, ∴BC=BD-CD=16-2 . (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图②所示. ∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°, tan15°=tan∠AMD===≈≈0.3. [素养提升] [解析] (1)根据给出的公式,把已知条件代入计算,求出a的长,根据勾股定理的逆定理证明直角三角形,根据等腰直角三角形的性质即可得到答案; (2)把数据代入相应的公式,得到关于c的一元二次方程,解方程即可得到答案. 解:(1)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA=(2 )2+22-2×2 ×2×=4,解得a=2. ∵22+22=(2 )2,即a2+c2=b2, ∴△ABC为直角三角形. 又∵a=c=2,∴∠C=45°. (2)∵b2=a2+c2-2accosB,a=,b=,cosB=cos45°=, ∴c2-c+1=0, 解得c=. ∵c>a>b,∴c=. 8查看更多