- 2021-06-03 发布 |
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文档介绍
湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学(文)试卷
文 科 数 学 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.欧拉公式(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当时,就有,根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.麒麟是中国传统瑞兽.古人认为,麒麟出没处,必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.如图是客家麒麟图腾,为了测量图案中黑色部分面积,用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长,宽的矩形,然后在图案中随机产生了500个点,恰有248个点落在黑色区域内,则黑色区域的面积的估计值为( ). A. B. C. D. (第3题) (第4题) 4.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的结果为22,则k可取的最小正整数为( ) A.41 B.6 C.7 D.42 5. 已知四边形ABCD为平行四边形,,,M为CD中点,,则( ) A. B. C.1 D. 6.已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( ) A. B. C. D. 7.若,则, , , 的大小关系为( ) A. B. C. D. 8.函数在的图像大致为( ) A. B. C. D. 9.已知函数,其图象相邻的最高点之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,且为奇函数,则( ) A.的图象关于点对称 B.的图象关于点对称 C.在上单调递增 D.在上单调递增 10.空间中,m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 11.已知为坐标原点,双曲线的右焦点为,点,分别在双曲线的两条渐近线上,轴,,四边形为梯形,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.对于函数,若存在区间,当时的值域为,则称为倍值函数.若是倍值函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 频率/组距 x 0.15 0.05 学习时长(h) 5 13 9 7 11 O 13.若曲线与曲线在公共点处有相同的切线,则实数的值为______. 14.2020年初,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得 全国学生无法在春季正常返校开学,不得不在家“停 课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时长,从 某校的调查问卷中,随机抽取个学生的调查问卷进 行分析,得到学生学习时长的频率分布直方图(如右图 所示)。已知学习时长在的学生人数为25,则的值______. 15. 已知球的内接正方体的棱长为1,点在线段上,过点垂直于的平面截球所得的截面圆的面积为,则线段的长为__________. 16.在平面直角坐标系xOy中,AB是圆O:x2+y2=1的直径,且点A在第一象限;圆O1:(x﹣a)2+y2=r2(a>0)与圆O外离,线段AO1与圆O1交于点M,线段BM与圆O交于点N,且,则a的取值范围为_______. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (1)若b=,C=120°,求△ABC的面积S (2)若b:c=2:3,求 18.(本小题满分12分)根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示. (1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合); (2)求关于的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少? 附:相关系数公式,回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: . 19. (本小题满分12分)如图,在四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,且点在底面上的投影H恰为CD的中点. (1)棱BC上存在一点N,使得AD⊥平面,试确定点N的位置,说明理由; (2)求三棱锥的体积 . 20.(本小题满分12分)已知抛物线:(),圆:(),抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. (1)求抛物线的方程及其准线方程; (2)点是抛物线在第一象限内一点,过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A,B(A,B异于点P),问是否存在圆使AB恰为其切线?若存在,求出r的值;若不存在,说明理由 . 21.(本小题满分12分)已知函数. (1)若,求的最小值; (2)若,且,证明:. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。 答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。 22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程; (2)设是曲线上一点,此时参数,将射线绕坐标原点逆时针旋转交曲线于点,记曲线的上顶点为,求的面积。 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,A为不等式的解集. (1)求集合A; (2)已知,若、、为正实数,且,求证:. 答案 1.【答案】C 【解析】由, 则, 2.【答案】D 【解析】欧拉公式, 在中,, 所以 , 对应点的坐标为,所以在第四象限, 3.【答案】A 【解析】依题意,矩形面积,设黑色部分的面积为, 由几何概型的概率计算公式可得,,解得. 4【答案】C 【解析】第一次进入循环后:,,第二次进入循环后:,, 第三次进入循环后:,,因为该程序运行后输出的结果为22, 所以,满足条件,,不满足, 所以正整数k的最小值为7 5.【答案】A 【解析】 .【答案】D 6【解析】在等差数列中,由,得,,, 在等比数列中,由,得,,, 则. 7【答案】D 【解析】因为,所以, 因为,,所以,. 综上;故选D. 8【答案】D 【解析】因为,所以为奇函数,关于原点对称,故排除,又因为,,,,故排除、, 9.【答案】C 【解析】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为, 所以其最小正周期为,则. 所以. 将函数的图象向左平移个单位长度后, 可得的图象, 又因为是奇函数,令, 所以.又, 所以. 故. 当时,,故的图象不关于点对称,故A错误; 当时,,故的图象关于直线对称,不关于点对称,故B错误; 在上,,单调递增,故C正确; 在上,,单调递减,故D错误. 10.【解析】 选项 A错误,同时和一个平面平行的两条直线不一定平行,可能相交,可能异面;选项B错误,两平面平行,两平面内的直线不一定平行,可能异面; 选项C错误,一个平面内垂直于两平面交线的直线,只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直;选项D正确,由得又故选D. 11.【答案】A 【解析】设,所以,直线的方程为, 直线的方程为,解得, ,又直线的方程为, 则,,又因为, 所以,, ,. 12.【答案】B 【解析】在定义域内单调递增,, 即,即是方程的两个不同根,∴, 设, ∴时,;时,, ∴是的极小值点, 的极小值为:, 又趋向0时,趋向;趋向时,趋向, 时,和的图象有两个交点,方程有两个解, ∴实数的取值范围是. 13.【解析】依题可得,,设两曲线的公共点为,则, 解得. 14.【解析】由频率分布直方图的性质,可得,解得, 所以学习时长在的频率,解得. 15【答案】或 【解析】由题意,球O的半径为,截面圆的半径为, 则球心O到截面的距离, 线段的长为或 16【解析】四边形ONO1M为平行四边形,即ON=MO1=r=1, 所以圆的方程为, 且ON为△ABM的中位线AM=2ON=2AO1=3, 故点A在以O1为圆心,3为半径的圆上,该圆的方程为:, 故与x2+y2=1在第一象限有交点,即2<a<4, 由,解得, 故a的取值范围为(,4). 故答案为: 17【解析】(1)由,得,∴. ∵,∴,∴. (2)∵,,∴, 故可设,, , 则, ∴ 18【解析】(1)因为,. , , . . ∴可用线性回归模型拟合与的关系; (2),. ∴. 当时,. ∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克. 19【解析】(1)当点N为棱BC的中点时,符合题目要求,下面给出证明. 分别连结NH,,BH, ∵在底面上的投影H恰为CD的中点,∴⊥平面ABCD, 又BC⊂平面ABCD,∴⊥BC, 在△HBC中,,故△HBC为等边三角形, 又点N为棱BC的中点,∴NH⊥BC, 又⊥BC,∩NH=H,,NH⊂平面, ∴BC⊥平面, 又由平行四边形ABCD得AD//BC, ∴AD⊥平面,点N即为所求. (2)∵平面//平面, ∴到平面的距离即为A到平面的距离, 过A作AM⊥CD于点M, 又⊥平面ABCD,∴⊥AM, 又,∴AM⊥平面, ,, 又, 所以 20【解析】(1)由题意得,解得, 所以抛物线的方程为,准线方程为. (2)由(1)知,. 假设存在圆使得AB恰为其切线,设,, 则直线PA的的方程为,即. 由点到PA的距离为r,得, 化简,得, 同理,得. 所以,是方程的两个不等实根, 故,. 易得直线AB的方程为, 由点到直线AB的距离为r,得, 所以, 于是,, 化简,得,即. 经分析知,,因此. 21.【解析】(1)解:当时,, 所以, 设,则,所以在上单调递增, 即在上单调递增, 因为, 所以当时,;当时,, 因此在上单调递减,在上单调递增, 所以. (2)证明:,则,所以在上单调递增,因为, 所以当时,;当时,, 因此,在上单调递减,在上单调递增, 由,不妨设,则,, 令 , 则 , 当时,, 故,所以在上单调递增; 所以当时,即时,, 因此, 又,所以, 因为,,在上单调递增, 所以,即,故. 22【解析】(1)由,--------------------------------------------1分 所以的普通方程为,---------------------------2分 由-----------------------------------------------------3分 可得--------------------4分 (2)设点的横坐标为,则由已知可得, 且直角坐标,极坐标,-----------------------------------------------------6分 其中,极坐标,-------------------------------------8分 ,----------------------------------------------------------------9分 所以---------------------------------------------------10分 23【解析】(1) 当时,, 由,解得,∴; 当时,, 由,解得,∴; 当时,, 由,解得,∴. 综上,的解集. (2)由(1)知:, 所以,, 故,又、、为正实数, 故, , , 当且仅当,即,,等号成立, ∴,即.查看更多