湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学(文)试卷

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湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学(文)试卷

文 科 数 学 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欧拉公式(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当时,就有,根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.麒麟是中国传统瑞兽.古人认为,麒麟出没处,必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.如图是客家麒麟图腾,为了测量图案中黑色部分面积,用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长,宽的矩形,然后在图案中随机产生了500个点,恰有248个点落在黑色区域内,则黑色区域的面积的估计值为( ).‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎(第3题) (第4题)‎ ‎4.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的结果为22,则k可取的最小正整数为( )‎ A.41 B.6 C.7 D.42‎ 5. 已知四边形ABCD为平行四边形,,,M为CD中点,,则( ) ‎ ‎ A. B. C.1 D.‎ ‎6.已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若,则, , , 的大小关系为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.函数在的图像大致为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知函数,其图象相邻的最高点之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,且为奇函数,则( )‎ A.的图象关于点对称 B.的图象关于点对称 C.在上单调递增 D.在上单调递增 ‎10.空间中,m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎11.已知为坐标原点,双曲线的右焦点为,点,分别在双曲线的两条渐近线上,轴,,四边形为梯形,则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.对于函数,若存在区间,当时的值域为,则称为倍值函数.若是倍值函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 频率/组距 x ‎0.15‎ ‎0.05‎ 学习时长(h)‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎11‎ O ‎13.若曲线与曲线在公共点处有相同的切线,则实数的值为______.‎ ‎14.2020年初,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得 全国学生无法在春季正常返校开学,不得不在家“停 课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时长,从 某校的调查问卷中,随机抽取个学生的调查问卷进 行分析,得到学生学习时长的频率分布直方图(如右图 所示)。已知学习时长在的学生人数为25,则的值______.‎ 15. 已知球的内接正方体的棱长为1,点在线段上,过点垂直于的平面截球所得的截面圆的面积为,则线段的长为__________.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,AB是圆O:x2+y2=1的直径,且点A在第一象限;圆O1:(x﹣a)2+y2=r2(a>0)与圆O外离,线段AO1与圆O1交于点M,线段BM与圆O交于点N,且,则a的取值范围为_______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 ‎(1)若b=,C=120°,求△ABC的面积S ‎(2)若b:c=2:3,求 ‎18.(本小题满分12分)根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.‎ ‎(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);‎ ‎(2)求关于的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?‎ 附:相关系数公式,回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: . ‎ 19. ‎(本小题满分12分)如图,在四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,且点在底面上的投影H恰为CD的中点. ‎ ‎(1)棱BC上存在一点N,使得AD⊥平面,试确定点N的位置,说明理由;‎ ‎(2)求三棱锥的体积 .‎ ‎20.(本小题满分12分)已知抛物线:(),圆:(),抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. ‎ ‎(1)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(2)点是抛物线在第一象限内一点,过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A,B(A,B异于点P),问是否存在圆使AB恰为其切线?若存在,求出r的值;若不存在,说明理由 . ‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)若,求的最小值;‎ ‎(2)若,且,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。‎ 答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).‎ 以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设是曲线上一点,此时参数,将射线绕坐标原点逆时针旋转交曲线于点,记曲线的上顶点为,求的面积。‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,A为不等式的解集.‎ ‎(1)求集合A;‎ ‎(2)已知,若、、为正实数,且,求证:.‎ 答案 ‎1.【答案】C ‎【解析】由,‎ 则,‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】欧拉公式,‎ 在中,,‎ 所以 ‎,‎ 对应点的坐标为,所以在第四象限,‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】依题意,矩形面积,设黑色部分的面积为,‎ 由几何概型的概率计算公式可得,,解得.‎ ‎4【答案】C ‎【解析】第一次进入循环后:,,第二次进入循环后:,,‎ 第三次进入循环后:,,因为该程序运行后输出的结果为22,‎ 所以,满足条件,,不满足,‎ 所以正整数k的最小值为7‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.【答案】D ‎6【解析】在等差数列中,由,得,,,‎ 在等比数列中,由,得,,,‎ 则.‎ ‎7【答案】D ‎【解析】因为,所以,‎ 因为,,所以,.‎ 综上;故选D.‎ ‎8【答案】D ‎【解析】因为,所以为奇函数,关于原点对称,故排除,又因为,,,,故排除、,‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为,‎ 所以其最小正周期为,则.‎ 所以.‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后,‎ 可得的图象,‎ 又因为是奇函数,令,‎ 所以.又,‎ 所以.‎ 故.‎ 当时,,故的图象不关于点对称,故A错误;‎ 当时,,故的图象关于直线对称,不关于点对称,故B错误;‎ 在上,,单调递增,故C正确;‎ 在上,,单调递减,故D错误.‎ ‎10.【解析】 选项 A错误,同时和一个平面平行的两条直线不一定平行,可能相交,可能异面;选项B错误,两平面平行,两平面内的直线不一定平行,可能异面; 选项C错误,一个平面内垂直于两平面交线的直线,只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直;选项D正确,由得又故选D.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】设,所以,直线的方程为,‎ 直线的方程为,解得,‎ ‎,又直线的方程为,‎ 则,,又因为,‎ 所以,,‎ ‎,.‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】在定义域内单调递增,,‎ 即,即是方程的两个不同根,∴, 设, ∴时,;时,, ∴是的极小值点,‎ 的极小值为:, 又趋向0时,趋向;趋向时,趋向, 时,和的图象有两个交点,方程有两个解, ∴实数的取值范围是.‎ ‎13.【解析】依题可得,,设两曲线的公共点为,则,‎ 解得.‎ ‎ 14.【解析】由频率分布直方图的性质,可得,解得,‎ 所以学习时长在的频率,解得.‎ ‎15【答案】或 ‎【解析】由题意,球O的半径为,截面圆的半径为,‎ 则球心O到截面的距离,‎ 线段的长为或 ‎ ‎16【解析】四边形ONO1M为平行四边形,即ON=MO1=r=1,‎ 所以圆的方程为,‎ 且ON为△ABM的中位线AM=2ON=2AO1=3,‎ 故点A在以O1为圆心,3为半径的圆上,该圆的方程为:,‎ 故与x2+y2=1在第一象限有交点,即2<a<4,‎ 由,解得,‎ 故a的取值范围为(,4).‎ 故答案为:‎ ‎17【解析】(1)由,得,∴. ‎ ‎∵,∴,∴. ‎ ‎(2)∵,,∴,‎ 故可设,, , ‎ 则, ‎ ‎∴‎ ‎18【解析】(1)因为,.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∴可用线性回归模型拟合与的关系;‎ ‎(2),.‎ ‎∴.‎ 当时,.‎ ‎∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克.‎ ‎19【解析】(1)当点N为棱BC的中点时,符合题目要求,下面给出证明.‎ 分别连结NH,,BH,‎ ‎∵在底面上的投影H恰为CD的中点,∴⊥平面ABCD,‎ 又BC⊂平面ABCD,∴⊥BC,‎ 在△HBC中,,故△HBC为等边三角形,‎ 又点N为棱BC的中点,∴NH⊥BC,‎ 又⊥BC,∩NH=H,,NH⊂平面,‎ ‎∴BC⊥平面,‎ 又由平行四边形ABCD得AD//BC,‎ ‎∴AD⊥平面,点N即为所求.‎ ‎(2)∵平面//平面,‎ ‎∴到平面的距离即为A到平面的距离,‎ 过A作AM⊥CD于点M,‎ 又⊥平面ABCD,∴⊥AM,‎ 又,∴AM⊥平面,‎ ‎,,‎ 又,‎ 所以 ‎20【解析】(1)由题意得,解得, ‎ 所以抛物线的方程为,准线方程为.‎ ‎(2)由(1)知,. ‎ 假设存在圆使得AB恰为其切线,设,,‎ 则直线PA的的方程为,即. ‎ 由点到PA的距离为r,得,‎ 化简,得,‎ 同理,得.‎ 所以,是方程的两个不等实根,‎ 故,.‎ 易得直线AB的方程为,‎ 由点到直线AB的距离为r,得,‎ 所以,‎ 于是,,‎ 化简,得,即.‎ 经分析知,,因此.‎ ‎21.【解析】(1)解:当时,,‎ 所以,‎ 设,则,所以在上单调递增,‎ 即在上单调递增,‎ 因为,‎ 所以当时,;当时,,‎ 因此在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以.‎ ‎(2)证明:,则,所以在上单调递增,因为,‎ 所以当时,;当时,,‎ 因此,在上单调递减,在上单调递增,‎ 由,不妨设,则,,‎ 令 ‎,‎ 则 ‎,‎ 当时,,‎ 故,所以在上单调递增;‎ 所以当时,即时,,‎ 因此, ‎ 又,所以,‎ 因为,,在上单调递增,‎ 所以,即,故.‎ ‎22【解析】(1)由,--------------------------------------------1分 所以的普通方程为,---------------------------2分 由-----------------------------------------------------3分 可得--------------------4分 ‎(2)设点的横坐标为,则由已知可得,‎ 且直角坐标,极坐标,-----------------------------------------------------6分 其中,极坐标,-------------------------------------8分 ‎,----------------------------------------------------------------9分 所以---------------------------------------------------10分 ‎23【解析】(1)‎ 当时,,‎ 由,解得,∴;‎ 当时,,‎ 由,解得,∴;‎ 当时,,‎ 由,解得,∴.‎ 综上,的解集.‎ ‎(2)由(1)知:,‎ 所以,,‎ 故,又、、为正实数,‎ 故,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当,即,,等号成立,‎ ‎∴,即.‎
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