高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）

高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）‎ 数学（文）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. 且 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,选A.‎ ‎2. “”是“”成立的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】 ,但 ;所以“”是“”成立的充分不必要条件 ‎3. 椭圆的长轴长为，焦距为，则（ ）‎ A. B. 5 C. D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,选D.‎ - 16 - / 16‎ ‎4. 已知等比数列中，，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设数列的公比为，由，，得，解得，则 ，故选B.‎ 考点：等比数列.‎ ‎5. 在中，已知，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理得 ,选D.‎ ‎6. 已知，，且，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎7. 曲线 在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设P0点的坐标为（a，f（a）），‎ 由f（x）=x3+x-2，得到f′（x）=3x2+1，‎ 由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，‎ - 16 - / 16‎ 即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=-1，‎ 当a=1时，f（1）=0；当a=-1时，f（-1）=-4，‎ 则P0点的坐标为（1，0）或（-1，-4），故选C．‎ 考点：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题.‎ 点评：解决该试题的关键是利用导数研究曲线上某点切线方程，主要是明确两点：切点是谁，过该点的切线的斜率。‎ ‎8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著. 《算法统宗》对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，以“竹筒容米”就是其中一首：家有九节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三升九，上梢四节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升，要按每节依次盛容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出中间两节的容积为（ ）‎ A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 ‎【答案】A ‎【解析】由题意由上到下每节容积依次等差数列，且 ‎ - 16 - / 16‎ ‎ ，选A.‎ ‎9. 如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东，若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 所以离小岛的距离为 ‎ ‎，选C 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎10. 给出下列说法，其中正确的个数是（ ）‎ ‎①命题“若，则”的否命题是假命题；‎ ‎②命题：，使，则：，使；‎ - 16 - / 16‎ ‎③“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎④命题：“，使”，命题：“在中，若，则”，那么命题为真命题.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】“若，则”的否命题是若，则,为假命题；‎ 命题：，使，则：，使；‎ ‎“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件；‎ 因为“，” 命题为假，因为 “在中，若，则” 命题为真，因此命题为真命题.因此①②④为真，选C 点睛：1.命题的否定与否命题区别 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.‎ ‎11. 设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（ ）‎ - 16 - / 16‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为，对于A,由图可得，适合题意，对于B,由图可得，适合题意, 对于C,由图可得，适合题意，对于D,由图可得，不适合题意，故选D.‎ 考点：函数图象与导数在研究函数单调性中的应用.‎ ‎12. 设点为双曲线 上一点，分别是左、右焦点，是的内心（三角形中三个内角平分线的交点），若，，的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A - 16 - / 16‎ ‎【解析】‎ 如图,设圆I与的三边、、分别相切于点，连接，‎ 则，‎ 它们分别是,,的高，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其中r是的内切圆的半径。‎ ‎∵，‎ ‎∴− =，‎ 两边约去r得：，‎ 根据双曲线定义,得，‎ ‎∴离心率为.‎ 故选：A.‎ - 16 - / 16‎ 点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理，及双曲线的定义列式求解即可.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作可行域，则直线过点A（3,0）时取最大值3‎ ‎14. 在中，若，则边上的高等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 边上的高等于 ‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15. 已知椭圆： 的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为4，则的方程为_______.‎ ‎【答案】‎ - 16 - / 16‎ ‎【解析】 的方程为 ‎16. 若，函数在处有极值，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】 ‎ 即的最大值为9‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知是等差数列，是等比数列，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ - 16 - / 16‎ ‎【解析】【解析】试题分析：（1）求特殊数列通项公式，一般方法为待定系数法，本题四个条件，四个未知数（两个首项，一个公差，一个公比），列出方程组可解得，最后根据公式写出通项公式，（2）可利用分组求和法求数列的前项和，即转化为等差数列前项和与等比数列前项和的和，再利用等差数列及等比数列求和公式可得结果.‎ 试题解析：（1）设数列的公差为，的公比为，‎ 由，，得，，‎ 即有，，‎ 则，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴……‎ ‎．‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，即通过拆项进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）　‎ ‎18. 已知命题：不等式恒成立；命题：不等式有解.若是假命题，也是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 先解不等式得命题为真时的取值范围，根据判别式大于零得命题为真时的取值范围，再根据是假命题，也是假命题，得命题是真命题，命题是假命题，最后求不等式交集得的取值范围 试题解析：∵是假命题，也是假命题，‎ - 16 - / 16‎ ‎∴命题是真命题，命题是假命题 不等式，可得或，‎ ‎∴当命题是真命题时，或，‎ 又命题：不等式有解，‎ ‎∴，∴或 又命题是假命题 ‎∴，‎ 综上所述：.‎ ‎19. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知. ‎ ‎（1）试求的值；‎ ‎（2）若的面积，为线段的中点，，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的応，利用两角和正弦公式以及诱导公式化简得，再根据正弦定理得的值；（2）先由面积公式求出a,b；再根据余弦定理列关于c的方程，解得.‎ 试题解析：（1）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 又，得，即.‎ - 16 - / 16‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 在中，‎ 在中，‎ 又，则 由，得 ‎20. 某单位建造一间地面面积为12的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度不得超过米，房屋正面的造价为400元/，房屋侧面的造价为150元/，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3，且不计房屋背面的费用.‎ ‎（1）把房屋总价表示成的函数，并写出该函数的定义域；‎ ‎（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎【答案】(1) (2) 当时，侧面长度为4时，总造价最低，最低总造价是13000,当时，侧面长度为时，总造价最低，最低总造价是 ‎..................‎ 试题解析：（1）由题意可得，‎ - 16 - / 16‎ ‎.‎ ‎（2）当时，，‎ 当且仅当即时，等号成立 ‎∴当时，有最小值 若，可由单调性的定义或导数判定函数可知 在上是减函数 ‎∴当时，有最小值 故当时，侧面长度为4时，总造价最低，最低总造价是13000‎ 当时，侧面长度为时，总造价最低，最低总造价是.‎ ‎21. 已知圆：，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于，两点，交此抛物线于两点，其中在第一象限，在第二象限.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】试题分析：（1）圆方程可化为可化为 圆心的坐标为， 抛物线的方程为；（2）由等差数列性质可得 ‎ ‎，再由，， 存在满足要求的直线，其方程为或.‎ - 16 - / 16‎ 试题解析：‎ ‎（1）可化为，‎ 根据已知抛物线的方程为（）.‎ ‎∵圆心的坐标为，∴，解得.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，∴.‎ ‎∴.‎ 由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，‎ 设，，‎ 由，得，，‎ 故，.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由，解得.‎ ‎∴存在满足要求的直线，其方程为或 ‎【点睛】‎ 本题解题关键有：‎ ‎1.利用数形结合思想求得，从而求得抛物线方程；‎ ‎2.利用转化化归思想求得，进而取得；‎ - 16 - / 16‎ ‎3.利用设而不求法及弦长公式将上述条件坐标化.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）若，试求函数的单调区间和最值； ‎ ‎（2）设，，证明：对任意的，恒有.‎ ‎【答案】(1) 的单调区间是，减函数是， 最小值是，无最大值(2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号变化规律，最后根据导数符号确定单调区间和最值（2）先将不等式恒成立转化为对应函数最值：,再利用导数研究函数单调性，确定最值取法，代入转化不等式：，最后利用导数研究函数单调性，根据最值证不等式 试题解析：由题意，得，得，‎ 的定义域为 ‎（1）∵，‎ ‎∴的单调区间是，减函数是 ‎∴的最小值是，无最大值.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴函数在上单调递减 - 16 - / 16‎ ‎∴‎ 欲证即证，‎ 即证，‎ 令，‎ 则 ‎∴函数在上是增函数，‎ ‎∴‎ 故对任意，恒有.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ - 16 - / 16‎