2020九年级数学下册 第一章角的三角函数值

2020九年级数学下册 第一章角的三角函数值

课时作业(六)‎ ‎[第一章　5　三角函数的应用]‎ 一、选择题 ‎1．如图K－6－1，为测量某物体AB的高度，在点D处测得点A的仰角为30°，朝物体AB方向前进‎20米到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为(　　)‎ 图K－6－1‎ A．‎10 ‎米 B．‎10米 ‎ C．‎20 ‎米 D.米 ‎2．2017·泰安期中如图K－6－2，港口A在观测站O的正东方向，OA＝‎4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　　)‎ 图K－6－2‎ A．‎2 km B．‎2 km C．‎4 km D．(＋1)km ‎3．如图K－6－3所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高‎20 cm、宽‎30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，若将坡角∠BCA 8‎ 设计为30°，则AC的长度应为(　　)‎ ‎　　　　‎ 图K－6－3‎ A．‎60 cm B．60(－1)cm C．‎60 cm D．60(＋1)cm ‎4．2017·迁安一模某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图K－6－4所示，点A是栏杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝‎1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)(　　)‎ 图K－6－4‎ 图K－6－5‎ 二、填空题 ‎5．2017·宁波如图K－6－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝‎500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)‎ 图K－6－6‎ ‎6．如图K－6－7，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达点B，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中距灯塔S的最近距离是________海里(结果不作近似计算).‎ ‎　　　‎ 图K－6－7‎ ‎7．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图K－6－8‎ 8‎ ‎，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝‎10米，则此塑像的高AB约为________米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．‎ 图K－6－8‎ ‎8．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图K－6－9，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后他爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房AB的高约是‎45 m，根据以上观测数据可求得观光塔的高CD约是________m.‎ 图K－6－9‎ 三、解答题 ‎9．2018·菏泽‎2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图K－6－10，在直升机的镜头C下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为‎200米，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为多少米？(结果保留根号)‎ 图K－6－10‎ ‎10．2018·内江如图K－6－11是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为‎11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为‎18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝.求灯杆AB的长度. 8‎ 图K－6－11‎ 阅读理解题阅读材料：‎ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.利用上述结论可以求解如下题目：‎ 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.‎ 解：在△ABC中，∵＝，‎ ‎∴b＝＝＝＝3 .‎ 理解应用：‎ 如图K－6－12，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．‎ ‎(1)连接A1B2，判断△A‎1A2B2的形状，并给出证明；‎ ‎(2)求乙船每小时航行多少海里．‎ 图K－6－12‎ 8‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] A　∵在Rt△ADB中，∠D＝30°，‎ ‎∴＝tan30°，∴BD＝＝AB.‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，‎ ‎∴BC＝＝AB.‎ ‎∵CD＝20米，‎ ‎∴CD＝BD－BC＝AB－AB＝20，‎ 解得AB＝10 (米)．故选A.‎ ‎2．[解析] A　如图，过点A作AD⊥OB于点D.‎ 在Rt△AOD中，‎ ‎∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4 km，‎ ‎∴AD＝OA＝2 km.‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，‎ ‎∴BD＝AD＝2 km，‎ ‎∴AB＝AD＝2 km，‎ ‎∴该船航行的距离(即AB的长)为2 km.‎ 故选A.‎ ‎3．[解析] B　如图，过点B作BD⊥AC于点D，‎ 根据题意，得AD＝2×30＝60(cm)，BD＝20×3＝60(cm)．‎ ‎∵坡角∠BCA＝30°，‎ ‎∴BD∶CD＝1∶，‎ ‎∴CD＝BD＝×60＝60 (cm)，‎ ‎∴AC＝CD－AD＝60 －60＝60(－1)cm.‎ 故选B.‎ ‎4．[解析] A　如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于点H，‎ 8‎ 则∠EHG＝∠HEF＝90°.‎ ‎∵∠AEF＝143°，‎ ‎∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°.‎ 在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，‎ ‎∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72(米)．‎ ‎∵AB＝1.2米，∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9(米)．故选A.‎ ‎5．[答案] 280　‎ ‎[解析] 在Rt△ABC中，‎ AC＝AB·sin34°≈500×0.56≈280(米)，‎ ‎∴这名滑雪运动员的高度下降了280米．‎ 故答案为280.‎ ‎6．[答案] 6 ‎7．[答案] 58　‎ ‎[解析] 如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，‎ ‎∵∠CDB＝90°，∠EBD＝90°，∴四边形EBDC是矩形，‎ ‎∴BE＝CD＝10米．‎ ‎∵∠ECB＝11°48′，‎ ‎∴∠EBC＝78°12′，‎ 则tan78°12′＝＝≈4.8，‎ 解得EC≈48(米)．‎ 在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，‎ ‎∴AE＝EC≈48米，‎ ‎∴此塑像的高AB为AE＋BE≈48＋10＝58(米)．‎ 故答案为58.‎ ‎8．[答案] 135‎ ‎[解析] ∵在点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°.‎ 在Rt△ABD中，tan30°＝，即＝，‎ ‎∴AD＝45 m.‎ ‎∵在楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，‎ ‎∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝45 ×＝135(m)．‎ 故答案为135.‎ ‎9．解：∵EC∥AD，‎ ‎∴∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝200米．‎ ‎∵CD⊥AB于点D，‎ ‎∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，‎ 8‎ ‎∴AD＝＝200 (米)．‎ 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，‎ ‎∴BD＝CD＝200米，‎ ‎∴AB＝AD－BD＝(200 －200)米．‎ 答：A，B两点间的距离为(200 －200)米．‎ ‎10．解：如图，过点B作BH⊥DE，垂足为H，过点A作AG⊥BH，垂足为G.‎ ‎∵BH⊥DE，‎ ‎∴∠BHD＝∠BHE＝90°.‎ 在Rt△BHD中，tanα＝＝6，在Rt△BHE中，tanβ＝＝，‎ ‎∴BH＝6DH，BH＝EH，‎ ‎∴8DH＝EH.‎ ‎∵DE＝18，DE＝DH＋EH，‎ ‎∴9DH＝18，‎ ‎∴DH＝2，则BH＝12.‎ ‎∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°，‎ ‎∴四边形ACHG为矩形，‎ ‎∴AC＝GH＝11，∠CAG＝90°，BG＝BH－GH＝12－11＝1.‎ ‎∵∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°，‎ ‎∴在Rt△AGB中，AB＝2BG＝2.‎ 答：灯杆AB的长度为2米．‎ 素养提升 解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明如下：‎ 如图，∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2处，‎ ‎∴A1A2＝30 ×＝10 (海里)．‎ 又∵A2B2＝10 海里，∠A1A2B2＝60°，‎ ‎∴△A1A2B2是等边三角形．‎ ‎(2)过点B1作B1N∥A‎1A2，如图．‎ ‎∵B1N∥A1A2，‎ 8‎ ‎∴∠A1B1N＝75°，‎ ‎∴∠A1B1B2＝75°－15°＝60°.‎ ‎∵△A1A2B2是等边三角形，‎ ‎∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10 海里，‎ ‎∴∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°.‎ 在△B1A1B2中，‎ ‎∵A1B2＝10 海里，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，且由阅读材料可知＝，‎ 即＝，‎ 解得B1B2＝＝(海里)．‎ ‎∴乙船每小时航行÷＝20 (海里)．‎ 8‎