2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3

www.ks5u.com ‎3.1.2　‎椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)‎ ‎2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)‎ ‎1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养．‎ ‎2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.‎ 使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围，对称性，离心率等问题．‎ ‎1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 范围 ‎－a≤x≤a且－b≤y≤b ‎－b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)‎ F1(0，－c)，F2(0，c)‎ 焦距 ‎|F1F2|＝2c ‎2.离心率 ‎(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．‎ ‎(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．‎ 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？‎ ‎[提示]　不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. (　　)‎ ‎(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. (　　)‎ ‎(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1　　　 B．＋＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ A　[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.]‎ ‎3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________．‎ x2＋＝1　[依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2，‎ ‎∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋＝1.]‎ ‎4．设椭圆＋＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．‎ 　[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，‎ 又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.‎ ‎∴离心率e＝＝.]‎ 由椭圆方程研究几何性质 ‎【例1】　(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)‎ A．相同的焦点　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 ‎(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．‎ ‎(1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.]‎ ‎(2)[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，‎ 所以a＝4，b＝3，c＝＝，‎ 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；‎ 离心率e＝＝；‎ 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；‎ 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．‎ ‎1．本例(1)中把方程“＋＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＋＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？‎ A　[由于a＞b，∴方程＋＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2.‎ 焦点与＋＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同．‎ 而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确．]‎ ‎2．本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？‎ ‎[解]　把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得＋＝1.‎ 知椭圆的焦点在y轴上，‎ 这里a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7，‎ 所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6，‎ 离心率：e＝＝，焦点坐标：，‎ 顶点坐标：(0，－4)，(0,4)，(－3,0)，(3,0)．‎ 由标准方程研究性质时的两点注意 ‎(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．‎ ‎(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.‎ 由几何性质求椭圆的方程 ‎【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；‎ ‎(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；‎ ‎(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．‎ ‎[思路探究]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．‎ ‎(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．‎ ‎(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．‎ 法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．‎ ‎[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，‎ ‎∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ 若焦点在y轴上，则b＝3，‎ ‎∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，‎ OF为斜边A1A2的中线(高)，‎ 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，‎ ‎∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ 将点M(1,2)代入椭圆方程得 ＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ 法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 ‎(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：‎ ‎①确定焦点位置；‎ ‎②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；‎ ‎③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．‎ ‎(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．‎ 提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．‎ ‎[解]　法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.‎ 法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，‎ 则由题意得或 解得或 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.‎ 求椭圆的离心率 ‎[探究问题]‎ ‎1．椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？‎ ‎[提示]　离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁．‎ ‎2．已知的值能求出离心率吗？‎ ‎[提示]　可以．e＝＝＝.‎ ‎3．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？‎ ‎[提示]　如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．‎ ‎∵OP∥AB，‎ ‎∴△PFO∽△BOA，‎ ‎∴＝， ①‎ 又P(－c，m)在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1. ②‎ 将①代入②，得＝1，‎ 即e2＝，∴e＝.‎ ‎【例3】　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．‎ ‎[思路探究]　由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．‎ ‎[解]　由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．‎ 又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点．‎ 连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，‎ 所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.‎ 所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈.‎ ‎1．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率．‎ ‎[解]　当△PF1F2为等边三角形时，即|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，又|PF1|＝a，∴a ‎＝2c，故离心率e＝＝.‎ ‎2．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率．‎ ‎[解]　当△PF1F2为等腰直角三角形时，‎ ‎∠F1PF2＝90°，‎ 这时|F1F2|＝|PF1|，‎ 即2c＝a，‎ ‎∴离心率e＝＝.‎ ‎3．把本例中条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．‎ ‎[解]　由题意，知c＞b，∴c2＞b2.‎ 又b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.∴e2＝＞，‎ ‎∴e＞.故椭圆的离心率的取值范围为.‎ 求椭圆离心率及范围的两种方法 ‎(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．‎ ‎(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．‎ ‎1．对椭圆几何性质的几点解释 ‎(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点．若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．‎ ‎(2)如图所示，在△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或有关量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝＝＝cos∠OF2B2.‎ ‎(3)若椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别为最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.‎ ‎2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．‎ ‎1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)‎ A．＋＝1　　　　 B．＋y2＝1‎ C．＋＝1 D．x2＋＝1‎ A　[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.]‎ ‎2．已知实数1，m,9成等比数列，则椭圆＋y2＝1的离心率为(　　)‎ A． B． C．或 D．或 A　[∵1，m,9成等比数列，∴m2＝9.‎ 即m＝3或m＝－3(舍)，这时c2＝3－1＝2，即c＝.‎ ‎∴离心率e＝＝＝.故选A.‎ ‎⑤焦点坐标分别为(0,6)，(0，－6)．]‎ ‎3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．‎ 　[由题意知0

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