高中数学选修2-3课件1_3_1二项式定理（一）

高中数学选修2-3课件1_3_1二项式定理（一）

1.3.1 二项式定理 ( 一 ) ( a + b ) 2 = 思考 :(a+b) 4 的展开式是什么 ? ( a + b ) 3 = 复 习： 次数 : 各项的次数等于二项式的次数 项数 : 次数 +1 ( a + b ) 2 = ( a + b ) 3 = 复 习： (a+b) 2 ＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为： a 2 ， ab ， b 2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑 b 恰有 1 个取 b 的情况有 C 2 1 种，则 ab 前的系数为 C 2 1 恰有 2 个取 b 的情况有 C 2 2 种，则 b 2 前的系数为 C 2 2 每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C 2 0 , 则 a 2 前的系数为 C 2 0 (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 ＝ C 2 0 a 2 + C 2 1 ab+ C 2 2 b 2 (a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b+ C 3 2 ab 2 + C 3 3 b 3 对 (a+b) 2 展开式的分析 (a+b) 4 ＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) ＝？ 问题： 1) ． (a+b) 4 展开后各项形式分别是什么？ 2) ．各项前的系数代表着什么？ 3) ．你能分析说明各项前的系数吗？ a 4 a 3 b a 2 b 2 ab 3 b 4 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数 每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C 4 0 , 则 a 4 前的系数为 C 4 0 恰有 1 个取 b 的情况有 C 4 1 种，则 a 3 b 前的系数为 C 4 1 恰有 2 个取 b 的情况有 C 4 2 种，则 a 2 b 2 前的系数为 C 4 2 恰有 3 个取 b 的情况有 C 4 3 种，则 ab 3 前的系数为 C 4 3 恰有 4 个取 b 的情况有 C 4 4 种，则 b 4 前的系数为 C 4 4 则 (a+b) 4 ＝ C 4 0 a 4 ＋ C 4 1 a 3 b ＋ C 4 2 a 2 b 2 ＋ C 4 3 ab 3 ＋ C 4 4 b 4 3) ．你能分析说明各项前的系数吗？ a 4 a 3 b a 2 b 2 ab 3 b 4 ( a + b ) n = (a+b) n 的展开式是： 一般地，对于 n N* 有 二项定理 (a+b) n 是 n 个 (a+b) 相乘， 每个（ a+b ）在相乘时有两种选择，选 a 或 b. 而且每个 (a+b) 中的 a 或 b 选定后才能得到展开式的一项。 对于每一项 a k b n-k ，它是由 k 个 (a+b) 选了 a ， n-k 个 (a+b) 选了 b 得到的，它出现的次数相当于从 n 个 (a+b) 中取 k 个 a 的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。 由分步计数原理可知展开式共有 2 n 项 （包括同类项）， 其中每一项都是 a k b n-k 的形式， k=0 ， 1 ， … ， n ； 定理的证明 二项式定理： n ∈ N * 注 :(1) 上式右边为 二项展开式 , 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的项数为 n+1 项； (3) 字母 a 按降幂排列 , 次数由 n 递减到 0 字母 b 按升幂排列 , 次数由 0 递增到 n (4) 二项式系数可写成组合数的形式 , 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由 0 递增到 n (5) 展开式中的第 r + 1 项， 即通项 T r+1 =__________ ； 二项式定理： n ∈ N * (6) 二项式系数为 ______ ； 项的系数为 二项式系数与数字系数的积 在二项式定理中，令 a=1 ， b=x ，则有： 在上式中，令 x = 1 ，则有： 例 1 、展开 2 、展开 3 、求 (x+a) 12 的展开式中的倒数第 4 项。 4 、 (1) 求 (1+2x) 7 的展开式中第 4 项的系数。 (2) 求 (x － ) 9 的展开式中 x 3 的系数。 例 2(1) 求 的展开式常数项； (2) 求 的展开式的中间两项 . 练习 1. 求（ 2a+3b ） 6 的展开式的第 3 项 .     2. 求（ 3b+2a ） 6 的展开式的第 3 项 .   3. 写出 的展开式的第 r+1 项 .   4. 用二项式定理展开： （ 1 ） ； （ 2 ） . 5. 化简： （ 1 ） ；   （ 2 ） Thank you ！