专题11-5 热点题型四 茎叶图与样本数据特征及概率-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

专题11-5 热点题型四 茎叶图与样本数据特征及概率-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

统计图与样本数字特征及概率是高考的必考点，题目难度中等。只要考生对常见的统计图如；频率分布直方图，茎叶图等能准确读取需要信息，能够计算数字特征（平均数，方差等）及事件的概率，进而做出相应推断。常见问题归纳如下；‎ 类型一 茎叶图与样本数据特征 类型二 茎叶图与概率 ‎【基础知识整合】‎ ‎1.茎叶图的画法； 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；‎ 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按从小到大次序排成一列，写在左(右)侧；‎ 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．‎ ‎2.样本的数字特征及意义 ‎(1)众数、中位数、 平均数 数字特征 定义与求法 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)‎ 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)‎ ‎(2)标准差、方差 ‎①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，‎ s＝.‎ ‎②方差：标准差的平方s2叫做方差;s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，‎ 其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．‎ 名师点睛：(1)平均数、方差公式的推广;若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.‎ ‎(2)方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(x＋x＋…＋x)－n2]．‎ 类型一 茎叶图与样本数据特征 ‎【典例1】【2015高考山东（文）6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )‎ A.①③ B. ①④ C . ②③ D. ②④‎ ‎【答案】 考点；1.茎叶图；2.平均数、方差、标准差.‎ ‎【思路点拨】本题考查茎叶图的概念以及平均数、方差、标准差的概念及其计算，解答本题的关键，‎ 是记清公式，细心计算.本题属于基础题，较全面地考查了统计的基础知识. ‎ ‎【典例2】【2015高考湖南（文）2】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151]上的运动员人数为( )‎ A、3 B、4 C、5 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间139，151]上的运动员应抽取 (人),故选B. ‎ 考点；茎叶图 ‎【思路点拨】系统抽样是指当总体中个数较多时，将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本的抽样方法，其实质为等距抽样. ‎ 茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小．‎ ‎【典例3】【2013课标全国Ⅰ（文）18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎【答案】(1)A药的疗效好 (2)详见解析；‎ ‎(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好． ‎ 考点；1.茎叶图； 2.平均数.‎ ‎【思路点拨】本题考查了茎叶图、平均数、用样本来估计总体的统计知识。‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2015高考重庆（文）4】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下 ‎0‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这组数据中的中位数是（ ）‎ (A) ‎ 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23‎ ‎【答案】B 考点；茎叶图与中位数.‎ ‎2.【2016兰州模拟】对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的 茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)‎ A．47,45,56 B．46, 45, 53‎ C．46,45,56 D．45, 47, 53‎ ‎【答案】　C 考点；茎叶图与样本数据特征.‎ ‎3.【2014高考广东（文）17】某车间名工人年龄数据如下表：‎ 年龄(岁)‎ 工人数(人)‎ 合计 ‎(1)求这名工人年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这名工人年龄的茎叶图；‎ ‎(3)求这名工人年龄的方差. ‎ ‎【答案】(1)众数为,极差为；(2)详见解析；(3).‎ ‎【解析】(1)这名工人年龄的众数为,极差为；‎ ‎(2)茎叶图如下：‎ ‎(3)年龄的平均数为,‎ 故这名工人年龄的方差为 ‎ .‎ 考点；茎叶图.样本的数字特征,考查茎叶图的绘制,以及样本的众数.极差.平均数以及方差的计算.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 根据茎叶图比较平均数、方差大小的方法 ‎1．平均数：根据茎叶图比较数据的大小，便可判断平均数的大小．‎ ‎2．方差：根据数据的集中程度判断，若数据集中在某一茎上，其他数据均匀对称分布在两边，‎ 此种情况方差较小，若两组数据均属此种情况，或均不属此种情况，应通过计算比较大小，‎ 有时也可以计算出平均数，然后通过数据与平均数的离散程度来估计大小．‎ 类型二 茎叶图与概率 ‎【典例1】【2014年高考新课标2文（19）】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．‎ 根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：‎ 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎59‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0448‎ ‎97‎ ‎5‎ ‎122456677789‎ ‎97665332110‎ ‎6‎ ‎011234688‎ ‎98877766555554443332100‎ ‎7‎ ‎00113449‎ ‎6655200‎ ‎8‎ ‎123345‎ ‎632220‎ ‎9‎ ‎011456‎ ‎10‎ ‎000‎ ‎(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．‎ ‎【答案】（1） 67 （2）0.1，0.16 （3）见解析 的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．‎ ‎ (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16.故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.‎ ‎（3‎ ‎）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．‎ 考点； 茎叶图 中位数 概率 标准差 ‎【思路点拨】茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具。用茎叶图表示数据的优点是从统计图上没有原始 数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；而从样本中获取中位数、众数等比较容易，但对平均数和方差的获取，需要对茎叶图中叶的分布综合观察。‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2017兰州模拟】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．‎ ‎①若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；‎ ‎②设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值．‎ ‎【答案】①. ② 0.5‎ 考点； 茎叶图 概率 平均数 样本估计总体 ‎2.【2013高考北京（文）18】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.‎ ‎（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。‎ ‎（注：方差其中为，，的平均数） ‎ ‎【答案】（I）平均数为 ‎ 方差为（II）‎ 考点； 茎叶图 平均数 方差 古典概型 ‎ ‎3.【2017银川一中模拟】 为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ ‎（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效 果更佳；‎ ‎（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为 ‎“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎【答案】（1），，“新课堂”的教学效果更佳；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎（2）‎ 甲班（方式）‎ 乙班（方式）‎ 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，得的观测值为， ‎ ‎∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ 考点：茎叶图，平均数，独立性检验. ‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎ 茎叶图与概率问题 ‎1. 需熟练掌握茎叶图的作图方法，能够根据需要准确读取数据信息。‎ ‎ 2. 理解古典概型，并能运用概念分析解决问题。‎