专题23+三角函数++三角恒等变换-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题23+三角函数++三角恒等变换-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎23 三角函数 三角恒等变换 ‎ 【考点讲解】1.两角和与差的三角函数公式 （1） 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；‎ （2） 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；‎ （3） 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，‎ 了解它们的内在联系；‎ ‎2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）‎ 一、具本目标：1. 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.‎ ‎2. 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.‎ ‎3. 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. ‎ ‎4. 逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.‎ ‎5. 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.‎ 二、知识概述：‎ 知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎ 两角和与差的正弦公式：， ‎ ‎.‎ 两角和与差的余弦公式：，‎ ‎ .‎ 两角和与差的正切公式：，‎ ‎.‎ ‎【特别提醒】公式的条件：‎ 1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.‎ 2. 两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：‎ 知识点二 公式的变用 1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：‎ ‎（其中φ角所在的象限由a,b的符号确定，φ的值由确定），在求最值、化简时起着重要的作用.‎ ‎2.变形为，‎ 变形为.‎ 变形为，‎ 变形为来使用.‎ 条件为： ‎ 知识点三 二倍角公式：‎ ‎1. ‎ 2. 常见变形：（1）， ‎ （2） ‎，； ‎ （3） ‎，.‎ 1. 半角公式：，，‎ ‎，.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎2．【17新课标III文】已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将两边平方，‎ 化简后可得即.‎ ‎【答案】A ‎3．（17新课标III文）函数的最大值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ 由 ‎，‎ 因为，所以函数的最大值为.‎ ‎【答案】A ‎4.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.‎ 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． ‎ ‎＝‎ ‎==‎ ‎.‎ ‎【答案】C ‎5．【2016年渭南期中】已知向量=（，），=（1，），且⊥，则sin 2θ+cos2θ的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎6.【2017吉林二模】已知cos θ=－，θ∈（－π，0），则sin+cos=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵cos θ=－，θ∈（－π，0），‎ ‎∴cos2－sin2=（cos+sin）（cos－sin）＜0，∈（，0），‎ ‎∴sin+cos＜0，cos－sin＞0，∵（sin+cos）2=1+sin θ=1－=，∴sin+cos=．故选D．‎ ‎【答案】D ‎7.【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解.‎ 法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎【答案】. ‎ ‎8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ ‎9.【2018江苏卷16】已知为锐角，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎10.【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.‎ 试题解析：由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得. ‎ 由知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.‎ ‎【模拟考场】1．sin15°sin105°的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2.已知sin2α=，则cos2（）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.‎ ‎∵sin2α=，∴cos2（）=．故选B．‎ ‎【答案】B ‎3.已知sin α=，α∈（π，），则tan等于（　　）‎ A．－2 B． C．或2 D．－2或 ‎【解析】∵sin α=，α∈（π，），∴cos α=，∴tan α=.∵α∈（π，），‎ ‎∴∈（，），∴tan＜0. tan α= =，即2tan2+‎ ‎3tan－2=0，解得tan=－2，或tan=（舍去），故选A． ‎ ‎【答案】D ‎6.设为锐角，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】因为为锐角，所以，因为，所以，故.故选A.‎ ‎【答案】A ‎7.若，则（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎8.下列各式中，值为的是（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】，，， ，故选C．‎ ‎【答案】C ‎9.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【解析】本题的考点二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，‎ 函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，‎ 所以函数有2个零点.‎ ‎【答案】2‎ ‎10.已知函数，‎ ‎(I)求最小正周期；‎ ‎(II)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎(I) 由已知，有 ‎.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ ‎，所以在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【答案】(I); (II),.‎