数学文卷·2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（2017

数学文卷·2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（2017

高三年级第二学期期中练习 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则集合等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）‎ A． B．C．D． ‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎4.若实数，满足，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）‎ A． B． C． D．3 ‎ ‎6.在上，点满足，则（ ）‎ A．点不在直线上 B．点在的延长线上 C．点在线段上 D．点在的延长线上 ‎ ‎7.若函数 的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.如图，在公路 两侧分别有，，…，七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）‎ ‎①车站的位置设在点好于点；②车站的位置设在点与点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．‎ A．① B．② C．①③ D．②③ ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知复数为纯虚数，则实数 ．‎ ‎10.已知等比数列中，，，则公比 ，其前4项和 ．‎ ‎11.若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则实数 ．‎ ‎12.若，满足则的最大值是 ．‎ ‎13.已知函数（），若函数（）的部分图象如图所示，则 ，的最小值是 ．‎ ‎14.阅读下列材料，回答后面问题：‎ ‎ 在2014年12月30日播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”‎ ‎ 对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知等差数列满足，．　‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有，两种“共享单车”‎ ‎（以下简称型车，型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．‎ ‎（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到型车，3人租到型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租型车的用户中，在第4个月有的用户仍租型车．　‎ 第3个月 第4个月 租用型车 租用型车 租用型车 租用型车 若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用，两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．　‎ ‎17.在中，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎18.在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别是，的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求证：平面平面．　‎ ‎19.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且 ‎，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若点在直线上，直线与椭圆交于另一点.判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎20.已知函数，曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在，当时， ．　‎ 高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-8: ‎ 二、填空题 ‎9.2 10.2,15 11.4 12. 13.2， ‎ ‎14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；‎ 选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；‎ 不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．‎ 三、解答题 ‎15.解：（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 因为，，所以，‎ 所以，．‎ 又，所以，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）记，所以，‎ 又，‎ 所以是首项为6，公差为4的等差数列，‎ 其前项和．‎ ‎16.解：（Ⅰ）依题意租到型车的4人为，，，；租到型车的3人为，，；‎ 设事件为“7人中抽到2人，至少有一人租到型车”，‎ 则事件为“7人中抽到2人都租到型车”．‎ 如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，‎ 所以事件概率．‎ ‎（Ⅱ）依题意，市场4月份租用型车的比例为，‎ 租用型车的比例为，‎ 所以市场4月租用，型车的用户比例为．‎ ‎17.解：（Ⅰ）因为，‎ 所以由正弦定理，得，‎ 得，所以．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：连接，与交于点，连接，‎ 在中，，分别是，的中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：因为平面，所以为棱锥的高．‎ 因为，底面是正方形，‎ 所以，‎ 因为为中点，所以，‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）证明：因为平面，平面，‎ 所以，‎ 在等腰直角中，，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面．　‎ ‎19.解：（Ⅰ）由，得.‎ 又因为，所以，所以，‎ 所以椭圆的方程为．　‎ ‎（Ⅱ）假设存在点，使得四边形为梯形. ‎ 由题意知，显然，不平行，所以，‎ 所以，所以．‎ 设点，，‎ 过点作于，则有，‎ 所以，所以，所以，‎ 代入椭圆方程，求得，‎ 所以．‎ ‎20.解：（Ⅰ），‎ 由已知可得，所以，得．‎ ‎（Ⅱ），令，得，‎ 所以，，的变化情况如表所示：‎ 极小值 所以的最小值为．‎ ‎（Ⅲ）证明：显然，且，‎ 由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，‎ 由零点存在性定理，存在唯一实数，满足，‎ 即，，‎ 综上，存在两个零点，分别为，．‎ 所以时，，即，在上单调递增；‎ 时，，即，在上单调递减；‎ 时，，即，在上单调递增，‎ 所以是极大值，是极小值，‎ ‎，‎ 因为，，‎ 所以，所以，‎ 因此时，．　‎ 因为且在上单调递增，‎ 所以一定存在满足，‎ 所以存在，当时，.‎