天津市东丽区天津耀华滨海学校2020届高三年级上学期统练数学试卷

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天津市东丽区天津耀华滨海学校2019～2020学年度高三年级上学期 第二次统练数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解得不等式,即,再根据并集定义求解即可 ‎【详解】由题,,则,所以,‎ 则,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查集合间的并集运算,考查解一元二次不等式 ‎2.若，则“”是 “”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时 ‎，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.‎ ‎3.已知双曲线的离心率是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的离心率得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】由题意可知，该双曲线的离心率为，，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的离心率求参数的值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.‎ ‎【详解】因，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.‎ ‎5.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎6.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用中间量比较，运用中间量比较 ‎【详解】则．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式展开可得,即,再利用求解即可 ‎【详解】由题,,即,‎ 因,则,,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查由三角恒等关系式求三角函数值,考查倍角公式的应用 ‎8.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻与阴爻,则共有种情况；一重卦恰有2个阳爻,则由种情况,进而可求得概率 ‎【详解】由题,随机取一重卦有种取法,其中恰有2个阳爻有种取法,‎ 则,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查古典概型的应用,考查组合数的应用 ‎9.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．‎ ‎【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．‎ 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．‎ ‎【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10.已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是纯虚数,则,求解即可 ‎【详解】由题,因为是纯虚数,‎ 所以,则,‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查已知复数类型求参数,一个复数是纯虚数,则虚部不为0,实部为0‎ ‎11.设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程可知焦点,准线为,则,进而可得圆的方程 ‎【详解】由题,焦点为,准线为,则圆的半径,‎ 所以圆的方程为,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用,考查圆的标准方程 ‎12.如图，长方体的体积是60，为的中点，则三棱锥的体积是________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由长方体的体积为60,即,而三棱锥的体积为,代入求解即可 ‎【详解】由题,长方体的体积为,‎ 所以,‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 ‎13.设，，，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,,代入原式中,得,整理后利用均值定理求解即可 ‎【详解】由题,因为,所以,则,‎ 所以,当且仅当,即或时,等号成立,‎ 则原式的最小值为,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用均值定理求最值,需注意取等条件是否成立 ‎14.在的二项展开式中，常数项的值为__________‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.‎ ‎【详解】二项展开式通项为：‎ 当时，‎ 常数项为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.‎ ‎15. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．‎ ‎【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为．‎ 由得，，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．‎ 三、解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.在中，，，，点在线段上，若，求和.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中可得,则,,在中,利用正弦定理可求得,利用求得,则可得到,进而由求解即可 ‎【详解】在中,,,,‎ 由勾股定理得,,‎ ‎∴,,‎ 在中,,,,‎ ‎∴由正弦定理得,‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理求边长,考查和角公式的应用,考查运算能力 ‎17.设是等差数列，，且，，成等比数列.‎ ‎⑴求通项公式；‎ ‎⑵记，求.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比中项可得,将等差数列的通项公式代入可得,即可求得公差,进而得到通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得,利用错位相减法求和即可 ‎【详解】（1）由题,设等差数列的公差为,‎ ‎∵,,成等比数列,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 也即,解得,‎ ‎∴,‎ 即数列的通项公式为 ‎（2）由（1）可得 ‎∴‎ 两边同乘以4,得 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力 ‎ ‎