2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1. 已知向量a→=(4, 2),向量b→=(x, 3),且a→ // b→,则x=( )
A.9 B.6 C.5 D.3
2. 已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=( )
A.⌀ B.{x|0
0),则f(x)的反函数为( )
A. y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C. y=ex+1(x>1) D. y=ex-1(x>1)
9. 已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则双曲线的离心率为( )
A.53 B.43 C.54 D.32
10. 若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于( )
A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x
11. 过点(-1, 0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为( )
A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
12. 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有( )
A.150种 B.180种 C.200种 D.280种
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13. 在(x4+1x)10的展开式中常数项为________(用数字作答).
14. 圆O1是以R为半径的球O的小圆,若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1:S=2:9,则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1:R=________.
15. 过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________.
16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500, 3000)(元)月收入段应抽出________人.
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三、解答题(共6小题,满分74分)
17. 在△ABC中,∠B=45∘,AC=10,cosC=255,
(1)求BC的长;
(2)记AB的中点为D,求中线CD的长.
18. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.
19. 某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.
(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.
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20. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.
(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;
(2)设AA1=AC=2AB,求二面角A1-AD-C1的大小.
21. 设a∈R,二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为A,B={x|10).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明FM→.AB→为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.
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参考答案与试题解析
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.B
2.D
3.D
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.A
10.D
11.D
12.A
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.45
14.1:3
15.22
16.25
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.解:(1)由cosC=255得sinC=55
sinA=sin(180∘-45∘-C)=22(cosC+sinC)=31010
由正弦定理知BC=ACsinB⋅sinA=1022⋅31010=32
(2)AB=ACsinB⋅sinC=1022⋅55=2
BD=12AB=1
由余弦定理知
CD=BD2+BC2-2BD⋅BCcosB
=1+18-2⋅1⋅32⋅22=13
18.解:设{an}的公比为q,由S4=1,S8=17知q≠1,
∴ 得a1(q4-1)q-1=1①
a1(q8-1)q-1=17②
由 ①和②式
整理得q8-1q4-1=17
解得q4=16
所以q=2或q=-2
将q=2代入 ①式得a1=115,
∴ a=2n-115
将q=-2代入 ①式得a1=-15,
∴ an=(-1)n×2n-15,
综上所述an=2n-115或an=(-1)n×2n-15
19.由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0,1,2,3
P(ξ=0)=C42C52⋅C32C52=18100=950P(ξ=1)=C41C52⋅C32C52+C42C52⋅C31⋅C21C52=2450=1225P(ξ=2)=C41C52⋅C31⋅C21C52+C42C52⋅C22C52=1550P(ξ=3)=C41C52⋅C22C52=250=125,
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∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
950
2450
1550
250
∴ ξ的数学期望E(ξ)=0×950+1×2450+2×1550+3×250=1.2
∵ P(ξ=2)=1550,P(ξ=3)=250,这两个事件是互斥的
∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=1550+250=1750
20.解:(1)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO= // 12C1C,又C1C= // B1B,所以EO= // DB,EOBD为平行四边形,ED // OB.
∵ AB=BC,
∴ BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BOÌ面ABC,
故BO⊥平面ACC1A1,
∴ ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.
(2)连接A1E,由AA1=AC=2AB可知,A1ACC1为正方形,
∴ A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,
∴ A1E⊥平面ADC1.
作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
不妨设AA1=2,则AC=2,AB=2,ED=OB=1,EF=AE×EDAD=23,
tan∠A1FE=3,
∴ ∠A1FE=60∘.
所以二面角A1-AD-C1为60∘.
21.解:由题意可知二次函数a≠0,
令f(x)=0解得其两根为x1=1a-2+1a2,x2=1a+2+1a2
由此可知x1<0,x2>0
(I)当a>0时,A={x|xx2},则A∩B≠ϕ的充要条件是x2<3,
即1a+2+1a2<3解得a>67
(II)当a<0时,A={x|x11,
即1a+2+1a2>1
解得a<-2
综上,使A∩B=ϕ成立的a的取值范围为(-∞,-2)∪(67,+∞)
22.(1)设A(x1, y1),B(x2, y2),M(xo, yo),焦点F(0, 1),准线方程为y=-1,
显然AB斜率存在且过F(0, 1)
设其直线方程为y=kx+1,联立4y=x2消去y得:x2-4kx-4=0,
判别式△=16(k2+1)>0.
x1+x2=4k,x1x2=-4
于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=x2,则易得切线AM,BM方程分别为y=(12)x1(x-x1)+y1,y=(12)x2(x-x2)+y2,其中4y1=x12,4y2=x22,联立方程易解得交点M坐标,xo=x1+x22=2k,yo=x1x24=-1,即M(x1+x22, -1)
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从而,FM→=(x1+x22, -2),AB→(x2-x1, y2-y1)
FM→⋅AB→=12(x1+x2)(x2-x1)-2(y2-y1)=12(x22-x12)-2[14(x22-x12)]=0,(定值)命题得证.
这就说明AB⊥FM.
(2)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=12|AB||FM|.
∵ AF→=λFB→(λ>0),
∴ (-x1, 1-y1)=λ(x2, y2-1),即-x1=λx21-y1=λ(y2-1) ,
而4y1=x12,4y2=x22,
则x22=4λ,x12=4λ,
|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ.
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=14x12+14x22+2=λ+1λ+2=(λ+1λ)2.
于是S=12|AB||FM|=12(λ+1λ)3,
由λ+1λ≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
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