数学理卷·2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中考试试题（解析版）

数学理卷·2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中考试试题（解析版）

北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（理科）‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.‎ ‎2. 设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.‎ 考点：命题的否定.‎ ‎3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（ ）‎ A. 6 B. 12 C. 15 D. 18‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.‎ ‎4. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.‎ 考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.‎ ‎5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期是 B. 图象C关于点对称 C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数在区间上是增函数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是 ，当时， ，∴函数在区间上是先增后减.‎ 考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.‎ ‎6. 若则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.‎ ‎7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（ ）‎ A. 1 B. 2‎ C. 0 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由作出平面区域D如图， 联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.‎ 点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.‎ ‎8. 已知函数，。若函数 ‎ 恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与1的关系，得到的解析式.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等比数列满足，，∴，解得，，∴前项和，故答案为.‎ ‎10. 若，且，则的最小值是___________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】∵，∴，即，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值是64，故答案为64.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量，不共线，由，则存在非零实数，使，即，解得：，故答案.‎ ‎12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，向量，，若∥，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与 的的夹角为，，，则有，又∵，∴，即与的夹角大小为，故答案为.‎ ‎13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为 ‎（1）若，则=_________；‎ ‎（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). ‎ ‎【解析】（1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，，故答案为6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，∴集合，∴集合中的元素个数，故答案为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. 设函数，其中向量，，，且 的图象经过点.‎ ‎（I）求实数m的值；‎ ‎（II）求函数的最小值及此时x值的集合.‎ ‎【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)的最小值为，x值的集合为.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时值的集合.‎ 试题解析：（I），‎ 由已知，得.‎ ‎（II）由（I）得，‎ ‎∴当时，的最小值为，‎ 由，得x值的集合为.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.‎ ‎16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到 ，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 由正弦定理可得，‎ 因为，所以，因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）因为，故为等腰三角形，且顶角， ‎ 故， ‎ 所以，在中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理可得，即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;‎ 第三步：求结果.‎ ‎17. 已知数列的前n项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)，.(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用当时，，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为为奇数和为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.‎ 试题解析：（1）由，‎ 当时，.‎ 当时，，而，‎ 所以数列的通项公式，.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，为偶数，.‎ 综上，‎ 点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18. 已知函数，，且.‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)对应的曲线只有1个交点，理由见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值0，故可得 单调递增，且，由以上可得交点个数.‎ 试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此 ‎（2）考虑 ‎，‎ 列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在处取得最小值0，‎ 即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点 ‎19. 设函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过①当时，利用，说明不满足题意．②当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.‎ 试题解析：（I）设切线的斜率为， ‎ 因为，切点为.‎ 切线方程为，化简得：.‎ ‎（II）要使：在区间恒成立，‎ 等价于：在恒成立，‎ 等价于：在（0，+∞）恒成立 因为 ‎①当时，，不满足题意 ‎②当时，令，则或（舍）.‎ 所以时，在上单调递减；‎ 时，在上单调递增；‎ 当时 当时，满足题意 所以，得到的最小值为 ‎20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，‎ ‎②记这m个实数的和为，‎ 即.‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；‎ ‎（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得，，，，…，计算得结论成立.‎ 试题解析：（1）证明：由题意知，，所以或.‎ 当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为 ‎.不合题意，舍去.‎ 当时，‎ ‎.‎ 所以，.‎ ‎（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.‎ ‎（3）证明：设使得，，，，…，则 ‎，所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎