江苏省连云港市灌云县联盟校2020年中考数学一模试卷 解析版

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‎2020年江苏省连云港市灌云县联盟校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2020的相反数是（　　）‎ A．2020 B．﹣2020 C．± D．﹣‎ ‎2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x≠‎ ‎3．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）‎ A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6‎ ‎4．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 ‎ B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 ‎ C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 ‎ D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10‎ ‎6．（3分）下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（3分）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图，则使y＞0成立的x的取值范围为（　　）‎ A．x＞0 B．x＜0 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2‎ ‎8．（3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）16的平方根是　 　．‎ ‎10．（3分）分解因式：x3﹣9x＝　 　．‎ ‎11．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为　 　．‎ ‎12．（3分）一学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是　 　米．（结果保留π）‎ ‎13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于　 　．‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　 　．‎ ‎15．（3分）已知双曲线y＝，当x≥1时，y的取值范围是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是　 　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共102分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）计算：‎ ‎（1）+2sin30°；‎ ‎（2）﹣12020﹣|﹣|+．‎ ‎18．（8分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎19．（10分）解方程 ‎（1）x2﹣25＝0；‎ ‎（2）＝0．‎ ‎20．（10分）某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：‎ 组别 分数段/分 频数/人数 频率 ‎1‎ ‎50.5～60.5‎ ‎2‎ a ‎2‎ ‎60.5～70.5‎ ‎6‎ ‎0.15‎ ‎3‎ ‎70.5～80.5‎ b c ‎4‎ ‎80.5～90.5‎ ‎12‎ ‎0.30‎ ‎5‎ ‎90.5～100.5‎ ‎6‎ ‎0.15‎ 合计 ‎40‎ ‎1.00‎ ‎（1）表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；‎ ‎（2）请补全频数分布直方图；‎ ‎（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．‎ ‎21．（10分）中国的茶文化源远流长，根据制作方法和茶多酚氧化（发酵）程度的不同，可分为六大类：绿茶（不发酵）、白茶（轻微发酵）、黄茶（轻发酵）、青茶（半发酵）、黑茶（后发酵）、红茶（全发酵）．春节将至，为款待亲朋好友，小叶去茶庄选购茶叶．茶庄有碧螺春、龙井两种绿茶，一种青茶﹣﹣武夷岩茶及一种黄茶﹣﹣银针出售．‎ ‎（1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率为　 　；‎ ‎（2）随机购买两种茶叶，求一种是绿茶、一种是银针的概率．‎ ‎22．（10分）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．‎ ‎（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？‎ ‎（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？‎ ‎23．（10分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．‎ ‎24．（10分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：‎ ‎（1）∠ECB＝∠FCG；‎ ‎（2）△EBC≌△FGC．‎ ‎25．（12分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．‎ ‎（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；‎ ‎（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）‎ ‎（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）‎ ‎26．（12分）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；‎ ‎（3）在轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2020年江苏省连云港市灌云县联盟校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2020的相反数是（　　）‎ A．2020 B．﹣2020 C．± D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：﹣2020的相反数是2020；‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x≠‎ ‎【分析】要使分式有意义，分母不等于0．所以2x﹣1≠0，即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得2x﹣1≠0，‎ 解得x≠，‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）‎ A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6‎ ‎【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．‎ ‎【解答】解：（﹣a3）2＝a6．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．‎ ‎【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 ‎ B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 ‎ C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 ‎ D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10‎ ‎【分析】根据调查方式对A进行判断；根据中位数的定义对B进行判断；根据样本容量的定义对C进行判断；通过方差公式计算可对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A选项错误；‎ B、数据3，6，6，7，9的中位数为6，所以B选项正确；‎ C、从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C选项错误；‎ D、一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，‎ ‎，所以三边之比为1：2：；‎ A、三角形的三边分别为2、、3，三边之比为：：：3，故本选项错误；‎ B、三角形的三边分别为2、4、2，三边之比为：1：2：，故本选项正确；‎ C、三角形的三边分别为2、3、，三边之比为：2：3：，故本选项错误；‎ D、三角形的三边分别为、、4，三边之比为：：：4，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图，则使y＞0成立的x的取值范围为（　　）‎ A．x＞0 B．x＜0 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2‎ ‎【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到y＞0时x的取值范围．‎ ‎【解答】解：由图象可得，‎ 当x＝﹣2时，y＝0，当x＜﹣2时，y＞0，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【分析】连接BD，根据矩形的性质求出BD，根据三角形中位线定理求出GF，证明△ADG∽△GCF，求出a、b的关系，根据勾股定理求出a，得到答案．‎ ‎【解答】解：连接BD，‎ 设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，‎ ‎∵CG＝DG，CF＝FB，‎ ‎∴GF＝BD＝，‎ ‎∵AG⊥FG，‎ ‎∴∠AGF＝90°，‎ ‎∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，‎ ‎∴∠DAG＝∠CGF，又∠ADG＝∠GCF＝90°，‎ ‎∴△ADG∽△GCF，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴b2＝2a2，‎ ‎∵a＞0．b＞0，‎ ‎∴b＝a，‎ 在Rt△GCF中，CG2+CF2＝GF2，即3a2＝，‎ 解得，a＝，‎ ‎∴b＝a＝1，‎ ‎∴AB＝2b＝2，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）16的平方根是　±4　．‎ ‎【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵（±4）2＝16，‎ ‎∴16的平方根是±4．‎ 故答案为：±4．‎ ‎10．（3分）分解因式：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．‎ ‎【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．‎ ‎【解答】解：原式＝x（x2﹣9）‎ ‎＝x（x+3）（x﹣3），‎ 故答案为：x（x+3）（x﹣3）．‎ ‎11．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为　4.39×105　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．‎ ‎【解答】解：439000用科学记数法表示为：4.39×105．‎ 故答案为：4.39×105．‎ ‎12．（3分）一学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是　π　米．（结果保留π）‎ ‎【分析】根据弧长公式求出即可．‎ ‎【解答】解：根据弧长公式得：弧长是＝π（米），‎ 故答案为：π．‎ ‎13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于　40°　．‎ ‎【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA，‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAC＝90°，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠B＝∠OAB＝25°，‎ ‎∴∠AOC＝50°，‎ ‎∴∠C＝40°．‎ 故答案为：40°．‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　0　．‎ ‎【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．‎ ‎【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，‎ 把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，‎ 解得，k1＝1，k2＝0‎ 当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，‎ 方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．‎ 所以k的值是0．‎ 故答案为：0‎ ‎15．（3分）已知双曲线y＝，当x≥1时，y的取值范围是　0＜y≤2　．‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵y＝，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∵x≥1，‎ ‎∴≥1，‎ 解得：y≤2，‎ ‎∴y的取值范围是0＜y≤2，‎ 故答案为：0＜y≤2．‎ ‎16．（3分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是　　．‎ ‎【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．‎ ‎【解答】解：如图，过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，‎ ‎∵AM＝AD，AD＝CD＝6，‎ ‎∴AM＝2，MD＝4，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠HDM＝∠A＝60°，‎ ‎∴HD＝MD＝2，HM＝HD＝，‎ ‎∴CH＝8，‎ ‎∴MC＝＝，‎ ‎∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，‎ ‎∴AM＝A'M＝2，‎ ‎∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，‎ ‎∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值，‎ ‎∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共102分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）计算：‎ ‎（1）+2sin30°；‎ ‎（2）﹣12020﹣|﹣|+．‎ ‎【分析】（1）先计算算术平方根和负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；‎ ‎（2）先计算乘方、去绝对值符号、化简二次根式、计算零指数幂，再计算加减可得．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝‎ ‎＝3﹣4+1‎ ‎＝0；‎ ‎（2）原式＝‎ ‎＝．‎ ‎18．（8分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤4，‎ 故不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ ‎19．（10分）解方程 ‎（1）x2﹣25＝0；‎ ‎（2）＝0．‎ ‎【分析】（1）先移项得到x2＝25，然后利用直接开平方法解方程；‎ ‎（2）先去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．‎ ‎【解答】解：（1）x2＝25，‎ x＝±5，‎ 所以x1＝5，x2＝﹣5；‎ ‎（2）两边同乘以x（1+x）得2（1+x）﹣x＝0，解得x＝﹣2，‎ 检验：当x＝﹣2时，x（1+x）≠0，‎ 所以x＝﹣2是原方程的解．‎ ‎20．（10分）某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：‎ 组别 分数段/分 频数/人数 频率 ‎1‎ ‎50.5～60.5‎ ‎2‎ a ‎2‎ ‎60.5～70.5‎ ‎6‎ ‎0.15‎ ‎3‎ ‎70.5～80.5‎ b c ‎4‎ ‎80.5～90.5‎ ‎12‎ ‎0.30‎ ‎5‎ ‎90.5～100.5‎ ‎6‎ ‎0.15‎ 合计 ‎40‎ ‎1.00‎ ‎（1）表中a＝　0.05　，b＝　14　，c＝　0.35　；‎ ‎（2）请补全频数分布直方图；‎ ‎（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．‎ ‎【分析】（1）根据频率的计算公式：频率＝即可求解；‎ ‎（2）利用总数40减去其它各组的频数求得b，即可作出直方图；‎ ‎（3）利用总数3000乘以最后两组的频率的和即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）a＝＝0.05，‎ 第三组的频数b＝40﹣2﹣6﹣12﹣6＝14，‎ 频率c＝＝0.35；‎ ‎（2）补全频数分布直方图如下：‎ ‎；‎ ‎（3）3000×（0.30+0.15）＝1350（人）．‎ 答：该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数1350人．‎ ‎21．（10分）中国的茶文化源远流长，根据制作方法和茶多酚氧化（发酵）程度的不同，可分为六大类：绿茶（不发酵）、白茶（轻微发酵）、黄茶（轻发酵）、青茶（半发酵）、黑茶（后发酵）、红茶（全发酵）．春节将至，为款待亲朋好友，小叶去茶庄选购茶叶．茶庄有碧螺春、龙井两种绿茶，一种青茶﹣﹣武夷岩茶及一种黄茶﹣﹣银针出售．‎ ‎（1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率为　　；‎ ‎（2）随机购买两种茶叶，求一种是绿茶、一种是银针的概率．‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式计算；‎ ‎（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出满足“一种是绿茶、一种是银针”的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率＝＝；‎ 故答案为；‎ ‎（2）画树状图为：（分别用A、B、C、D表示碧螺春、龙井、武夷岩、﹣银针）‎ 共有12种等可能的结果数，其中满足“一种是绿茶、一种是银针”的结果数为4，‎ 所以一种是绿茶、一种是银针的概率＝＝．‎ ‎22．（10分）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．‎ ‎（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？‎ ‎（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？‎ ‎【分析】（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据“两类节目的总数为20个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个”列方程组求解可得；‎ ‎（2）设参与的小品类节目有a个，根据“三类节目的总时间+交接用时＜150”列不等式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；‎ ‎（2）设参与的小品类节目有a个，‎ 根据题意，得：12×5+8×6+8a+15＜150，‎ 解得：a＜，‎ 由于a为整数，‎ ‎∴a的最大值为3，‎ 答：参与的小品类节目最多能有3个．‎ ‎23．（10分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．‎ ‎【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH＝55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB＝55°﹣35°＝20°．‎ ‎【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，‎ ‎∴∠FGH＝55°，‎ ‎∵GE平分∠FGD，AB∥CD，‎ ‎∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，‎ ‎∵∠FHG是△EFH的外角，‎ ‎∴∠EFB＝55°﹣35°＝20°．‎ ‎24．（10分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：‎ ‎（1）∠ECB＝∠FCG；‎ ‎（2）△EBC≌△FGC．‎ ‎【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝∠FCG；‎ ‎（2）依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得到∠B＝∠G，BC＝CG，进而得出△EBC≌△FGC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠BCD，‎ 由折叠可得，∠A＝∠ECG，‎ ‎∴∠BCD＝∠ECG，‎ ‎∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，‎ ‎∴∠ECB＝∠FCG；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠D＝∠B，AD＝BC，‎ 由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，‎ ‎∴∠B＝∠G，BC＝CG，‎ 又∵∠ECB＝∠FCG，‎ ‎∴△EBC≌△FGC（ASA）．‎ ‎25．（12分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．‎ ‎（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；‎ ‎（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）‎ ‎（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）‎ ‎【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；‎ ‎（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出 CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．‎ 在Rt△ABC中，sinB＝，‎ ‎∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．‎ 答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；‎ ‎（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．‎ 在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，‎ AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．‎ 在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，‎ ‎∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，‎ ‎∴AD＝＝＝9，‎ CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．‎ 设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，‎ 解得x＝6．‎ 经检验，x＝6是原方程的解．‎ 答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．‎ ‎26．（12分）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；‎ ‎（3）在轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；‎ ‎（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AP的解析式，联立直线AP和BC的解析式可求得点P的坐标；‎ ‎（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出，，得出∠BDC＝∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得：y＝6，‎ ‎∴C（0，6），‎ 把y＝0代入y＝﹣x+6得：x＝6，‎ ‎∴B（6，0），‎ 将C（0，6）、B（6，0）代入y＝﹣+bx+c得：‎ ‎，‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣+2x+6；‎ ‎（2）如图1所示：作点O关于BC的对称点O'，则O'（6，6），‎ ‎∵O'与O关于BC对称，‎ ‎∴PO＝PO'．‎ ‎∴PO+AP＝PO'+AP．‎ ‎∴当A、P、O'在一条直线上时，OP+AP有最小值．‎ ‎∵y＝﹣+2x+6，‎ 当y＝0时，﹣+2x+6＝0，‎ 解得：x1＝﹣2，x2＝6，‎ ‎∴A（﹣2，0），‎ 设AP的解析式为y＝mx+n，‎ 把A（﹣2，0）、O'（6，6）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴AP的解析式为y＝‎ 将y＝与y＝﹣x+6联立，‎ 解得：，‎ ‎∴点P的坐标为；‎ ‎（3）如图2，‎ ‎∵y＝﹣+8，‎ ‎∴D（2，8），‎ 又∵C（0，6）、B（6，0），‎ ‎∴CD＝2，BC＝6，BD＝4．‎ ‎∴CD2+BC2＝BD2，‎ ‎∴△BCD是直角三角形，‎ ‎∴tan∠BDC＝＝3，‎ ‎∵A（﹣2，0），C（0，6），‎ ‎∴OA＝2，OC＝6，AC＝2‎ ‎∴tan∠CAO＝＝3，‎ ‎∴∠BDC＝∠CAO．‎ 当△ACQ∽△DCB时，有，‎ 即，解得AQ＝20，‎ ‎∴Q（18，0）；‎ 当△ACQ∽△DBC时，有，‎ 即，解得AQ＝2，‎ ‎∴Q（0，0）；‎ 综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．‎