山东省青岛市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省青岛市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

青岛二中2018-2019学年第二学期第三学段高二模块考试数学试题 一、选择题 ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由解得，故，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 则复数z对应的点为，位于第四象限.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.命题“，使得”的否定是（ ）‎ A ，都有 B. ，都有 C. ，都有 D. ，都有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定，即可求得答案.‎ ‎【详解】根据特称命题的否定 命题“，使得”‎ 其否定是：，都有 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，解题关键是掌握特称命题的否定的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎4.若函数 则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，由此确定函数的值域.‎ ‎【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5.如果随机变量，则等于（ ）（注：）‎ A. 0.210 B. ‎0.0228 ‎C. 0.0456 D. 0.0215‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布列的对称性可得：，进而得出．‎ ‎【详解】8．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.二中“时光胶囊”社团计划做种与海军节有关的精美卡片，分别是“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该礼品袋，获奖的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 购买该礼品袋，购买卡片编号的所有可能结果为：，获奖时至多有张卡片相同，且“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，三种卡片齐全，即可求得答案.‎ ‎【详解】购买该礼品袋，购买卡片编号的所有可能结果为：，‎ 获奖时至多有张卡片相同，且“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，‎ 相同的张为，在个位置中选个位置，有种选法，‎ 其余个卡片有种选法，‎ 获奖包含的基本事件个数，‎ 购买该礼品袋，获奖的概率为 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是求出能获奖的抽取卡片种数，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数的大致图象是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由题意，函数满足，则或，‎ ‎ 当时，为单调递增函数，‎ ‎ 当时，，故选A.‎ ‎8.满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数在上单调递减的充要条件，再结合所给的选项进行判断、选择即可．‎ ‎【详解】结合复合函数的单调性，函数在上单调递减的充要条件是，解得．‎ 选项A中，是函数在上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；‎ 选项B中，是函数在上单调递减的充要条件，所以B不正确；‎ 选项C中，是函数在上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；‎ 选项D中，是函数在上单调递减的充分不必要条件，所以D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答本题时注意两点：（1）根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易忽视函数的定义域；（2）由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围是区间的真子集的问题．考查转化和计算能力，属于基础题．‎ ‎9.若，，，则对一切满足条件的恒成立的有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ E. ‎ ‎【答案】ACE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式知识，逐项判断，即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A，由，则，故A正确；‎ 对于B，令时，，故不成立，故B错误；‎ 对于C，因为，故C正确；‎ 对于D，因为，由A知，故，故D错误；‎ 对于E，‎ 当且仅当，取等号.故E正确.‎ 综上所述，正确的为：ACE.‎ 故选：ACE.‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基础知识和均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎10.给出下列命题，其中正确的命题有（ ）‎ A. 若，则是纯虚数 B. 随机变量，若，则 C. 公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种 D. 回归方程为中，变量与具有正的线性相关关系 E. ，，，则 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数和概率等知识，逐项判断，即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A，当时，是实数，故A错；‎ 对于B，‎ 可得 又 ‎，故B正确；‎ 对于C，公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种，故C错误；‎ 对于D，回归方程为，由，可得变量与具有正的线性相关关系，故D正确；‎ 对于E，，‎ 由条件概率公式可得：，故E错误；‎ 综上所述正确的是：BD 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握复数和概率等知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11.已知函数的定义域为，则函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数定义域之间的关系，即可求得答案.‎ ‎【详解】的定义域为，‎ 又 解得：，即 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求复合函数定义域，解题关键是掌握复合函数定义的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.‎ ‎【详解】令得：，‎ 令得：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.‎ ‎13.若正数满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 正数，满足，可得，故，即可求得答案.‎ ‎【详解】正数，满足 ‎，，‎ 当且仅当时取等号，结合 解得：，‎ 的最小值为 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求表达式的最小值，解题关键是灵活使用均值不等式，在使用均值不等式时，要注意要验证等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎14.若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．‎ ‎【答案】1620‎ ‎【解析】‎ 随机变量，均值是2，且，∴； ∴； 又展开式的通项公式为， 令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为 ‎；令，解得，不合题意，舍去；∴展开式中项的系数是，故答案为1620.‎ 点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出的值，再化；利用(展开式的通项公式求出含的系数，即可求出对应项的系数.‎ ‎15.设，若函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设结合导数可得函数的值域为，最大值与最小值之差为，从而得到函数的值域为，最大值与最小值之差也为．然后根据题意可得或，即可求得答案.‎ ‎【详解】设，‎ 则，‎ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎， ， ，‎ 函数的值域为，最大值与最小值之差为，‎ 函数的值域，最大值与最小值之差也为．‎ 在上的最大值与最小值之差为，‎ 或，‎ 解得. 或. .‎ 实数的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化，考查了分析能力和计算能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎16.甲、乙两名同学参加投篮比赛，甲投中的概率为，乙投中的概率为，求：‎ ‎（1）人都投中的概率；‎ ‎（2）人至少有人投中的概率？‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）甲投中事件为，乙投中事件为，与为相互独立事件，可得两人都投中的概率为:，即可求得答案.‎ ‎（2）因为“两人中至少有一人投中”与“两人都未投中”为对立事件，由于“两人都未投中”的概率为，即可求得答案．‎ ‎【详解】（1）甲投中事件为，乙投中事件为，与为相互独立事件 两人都投中的概率为:‎ ‎（2）“两人中至少有一人投中”与“两人都未投中”为对立事件，‎ 由于“两人都未投中”的概率为 ‎“两人中至少有一人投中”的概率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了求事件的概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎17.已知，.‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）若对任意都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，根据的取值范围求得函数的值域，即可求得答案；‎ ‎（2）根据恒成立条件，由对任意都成立，可得，将其转化为，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）令 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的值域为.‎ ‎（2）对任意都成立 即 故 由，‎ 可转化为：‎ 可得 当且仅当取等号 ‎【点睛】本题主要考查了求函数的值域问题和根据不等式恒成立求参数范围问题，解题关键是掌握换元法求值域的方法和均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎18.月份的二中迎来了国内外的众多宾客，其中很多人喜欢询问团队模式，为了了解“询问团队模式”是否与性别有关，在月期间，随机抽取了人，得到如下所示的列联表：‎ 关心“团队”‎ 不关心“团队”‎ 合计 男性 ‎12‎ 女性 ‎36‎ 合计 ‎80‎ ‎（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，男性应抽人，请将上面的列联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为关心“团队”与性别有关系？‎ ‎（2）若以抽取样本的频率为概率，从月来宾中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中关心“团队”人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）在犯错误的概率不超过前提下，不能认认为关心“团队”与性别有关系.（2）分布见解析，期望为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可求得答案；‎ ‎（2）的所有可能取值为：，求出相应的概率，即可得到的分布列､数学期望．‎ ‎【详解】（1）设人中，男性人数为 在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，男性应抽人，‎ ‎ ‎ 解得 填写列联表：‎ 关心“团队”‎ 不关心“团队”‎ 合计 男性 ‎24‎ ‎12‎ ‎36‎ 女性 ‎36‎ ‎8‎ ‎44‎ 合计 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 将列联表中的数据代入计算，‎ 在犯错误的概率不超过前提下，不能认认为关心“团队”与性别有关系 ‎（2）根据题意可得服从二项分布:‎ 则 故的分布列为：‎ 则 ‎【点睛】本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎19.青岛二中学生民议会在周五下午高峰时段，对公交路甲站和线乙站各随机抽取了位乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从等车到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：‎ 假设乘客乘车等待时间相互独立.‎ ‎（1）此时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为事件；从乙站的乘客中随机抽取人，记为事件.若用频率估计概率，求“两人乘车等待时间都小于分钟”的概率；‎ ‎（2）此时段，从乙站的乘客中随机抽取人（不重复抽取），抽得在的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）.（2）分布列见解析，期望为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由设表示事件“乘客乘车等待时间都小于分钟”，表示“乘客乘车等待时间都小于分钟”，表示“乘客乘车等待时间都小于分钟”，求得，‎ ‎，结合题意，即可求得答案.‎ ‎（2）的所有可能取值为：，求出相应的概率，即可得到的分布列､数学期望．即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间都小于分钟”，表示“乘客乘车等待时间都小于分钟”，‎ 表示“乘客乘车等待时间都小于分钟”，‎ 由题意得：‎ ‎“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率：‎ ‎ ‎ ‎（2）从乙站的乘客中和人数比例为：‎ 随机抽取人（不重复抽取），‎ 抽得在的人X的可能取值为，且 ‎ 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎【点睛】本题考查求事件的概率，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，解题关键是掌握概率的基础知识和二项式分布列的求法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎20.某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了次试验，得到数据如下：‎ 零件数/个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 加工时间/min ‎64‎ ‎70‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎90‎ ‎97‎ ‎（1）试对上述变量与的关系进行相关性检验，如果与具有线性相关关系，求出对的回归直线方程；‎ ‎（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？‎ 附：相关性检验的临界值表 小概率 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3‎ ‎0.878‎ ‎0.959‎ ‎4‎ ‎0.811‎ ‎0.917‎ ‎5‎ ‎0.754‎ ‎0.874‎ ‎6‎ ‎0.707‎ ‎0.834‎ ‎，‎ 参考数据：；‎ ‎17950‎ ‎9100‎ ‎39158‎ ‎1750‎ ‎758‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据表中所给数据，计算出，即可求得答案.‎ ‎（2）每小时加工零件的数量，即，将代入，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）由表中数据得：，，，‎ 从而有95%的把握认为与之间具有线性相关关系，‎ 此求回归直线方程是有意义的． 计算得：‎ ‎（2）每小时加工零件的数量，即 将代入 故每小时加工零件的数量额定为比较合理 ‎【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，函数在区间的最小值为，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为，，可得，分别讨论，和函数的单调性，即可求得答案；‎ ‎（2）求得函数在区间的最小值，构造函数（），求其最值，即可求得答案.‎ ‎【详解】，.‎ ‎①当 当，即，‎ 此时在是单调递增 当，即，‎ 此时在是单调递减 ‎②当 ⅰ.当时，即，不符题意；‎ ⅱ.当时，即，不符题意；‎ ⅲ. 当时，即，故 由，解得，‎ 则当或，，此时是单调递增；‎ 当，，此时是单调递减.‎ ‎③当 ⅰ.当时，即 则在恒成立，此时是单调递减 ⅱ.当时，即，‎ 则在恒成立，当且仅当等号成立 此时此时在是单调递减 ⅲ. 当时，即 故 由，解得，‎ 则当或，，此时是单调递减；‎ 当，，此时是单调递增.‎ ‎（2）当时，‎ 则当或，，此时是单调递增；‎ 当，，此时是单调递减.‎ 函数在区间上，‎ 当，单调递减.‎ 当，单调递增.‎ 当，取得最小值，‎ 令，（）‎ 即 可得：（）‎ 当，，可得单调递减；‎ 当，，可得单调递增；‎ 当时，取的最小值，‎ 故 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求含有参数函数的单调性和根据导数求函数的最值，解题关键是掌握根据导数求单调性的方法和构造函数求最值的解法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.‎ ‎22.已知，，，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，，，由，即可求得答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 当且仅当和共线其方向相反是等号成立 如 是方程的两个根 故等号可以取得 综上所述，的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎23.一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，就将成对的牌放到一边．当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三张牌就全部取完）时，若取到三张牌中两两互不成对，游戏就结束；否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止．则书包空的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设为开始时书包有n对互不相同牌，且按题意规则取牌而使书包空的概率．‎ 则．‎ 设书包中有对互不相同的牌．则前三张牌中有两张成对的概率为．‎ 由此，．‎ 反复利用此递推公式得．‎ 从而，．‎