专题02+“构造函数”，巧求参数范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

专题02+“构造函数”，巧求参数范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

专题二 “构造函数”，巧求参数范围 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数 的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间—— 零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数 的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问 题，构造函数，例题说法，高效训练. 【典型例题】 第一招 参变分离，构造函数 例 1.【2019 届高三第一次全国大联考】若函数 恰有三个零点，则 的取值范围为( ) A． B．（ ） C． D．（ ） 【答案】D 【解析】 当 时， 为减函数，令 易得 ，所以只需 有两个零 点，令 则问题可转化为函数 的图象与 的图象有两个交点.求导可得 ，令 ，即 ，可解得 ；令 ，即 ，可解得 ， 所以当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增，由此可知当 时，函数 取得 最小值，即 ．在同一坐标系中作出函数 与 的简图如图所示， 根据图可得 故选 D. 第二招 根据方程做差，构造函数 例 2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】已知 函数 （ 为自然对数的底数）， . （1）当 时，求函数 的极小值； （2）若当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求 的取值范围. 【答案】（1）0（2） 【解析】 （1）当 时， ， ， 令 则 列表如下： 1 单调递减 极小值 单调递增 所以 . （2）设 ， ， 设 ， ， 由 得， ， ， 在 单调递增， 即 在 单调递增， ， ①当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增, 又 ，故当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，符合题意. ②当 ，即 时，由（1）可知 ， 所以 ，又 故 ，当 时， ， 单调递减，又 ， 故当 时， ， 在 内，关于 的方程 有一个实数解 1. 又 时， ， 单调递增， 且 ，令 ， , ,故 在 单调递增，又 在 单调递增，故 ，故 ， 又 ，由零点存在定理可知， ， 故在 内，关于 的方程 有一个实数解 . 又在 内，关于 的方程 有一个实数解 1，不合题意. 综上， . 第三招 求导转化，构造函数 例 3.【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】已知函数 . （1）设 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 在其定义域内有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为 ，无单调递减区间.（2） 【解析】 （1） 函数 的定义域为 ， 令 ，则 令 ，得 ；令 ，得 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 所以 所以 对任意 恒成立， 所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. （2）（法一）： 的定义域为 ， 所以“函数 在其定义域内有两个零点”等价于“方程 在区间 内有两个不同的实数根” 即方程 在区间 内有两个不同的实数根 故上述问题可以转化为函数 与函数 的图像在 上有两个不同的交点，如图 若令过原点且与函数 图像相切的直线斜率为 ，由图可得 令切点 由 ，得 ，所以 又 ，所以 ，解得： 于是 ，所以 故实数 的取值范围是 （法二） 的定义域为 ， ， 当 时， ， 所以 在 单调递增，所以 在 不会有两个零点，不合题意， 当 时，令 ，得 ， 在 上， ， 在 上单调递增， 在 上， ， 在 上单调递减， 所以 ， 又 时， ， 时， ， 要使 有两个零点，则有 即 所以 所以 ，即实数 的取值范围为 . 第四招 换元转化，构造函数 例 4．【四川省高中 2019 届高三二诊】已知 ． 求 的极值； 若 有两个不同解，求实数 的取值范围． 【答案】（1）有极小值，为 ；无极大值；（2） 【解析】 的定义域是 ， ， 令 ，解得： ， 令 ，解得： ， 故 在 递减，在 递增， 故 时， ； 记 ， ，则 ， 故 可转化成 ，即： ， 令 ， ， 令 ，解得： ， 令 ，解得： ， 故 在 递增，在 递减， 且 时， ， 时， 故 ， 由 ， ， 的性质有： ， 和 有两个不同交点 ， ，且 ， ， 各有一解，即 有 2 个不同解， ， 和 仅有 1 个交点 ，且 ， 有 2 个不同的解，即 有两个不同解， 取其它值时， 最多 1 个解， 综上， 的范围是 【规律与方法】 构造函数的几种常用的构造技巧： 1.通过作差构造函数：作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合用这个方法 解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负． 2.利用“换元法”构造函数，换元的目的是简化函数的形式． 3.先分离参数再构造函数，将方程变形为 m=h(x)，构造函数 h(x)，研究 h(x)的性质来确定实数 m 的取值范 围． 4.根据导函数的结构，构造函数. 【提升训练】 1．【福建省 2019 届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数 ， ，若关于 的方程 在区间 内有两个实数解，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 易知当 ≤0 时，方程只有一个解， 所以 >0．令 ， ， 令 得 ， 为函数的极小值点， 又关于 的方程 = 在区间 内有两个实数解， 所以 ，解得 ， 故选 A. 2．【河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟】设函数 ， 有且仅有一个零点， 则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵函数 ，有且只有一个零点， ∴方程 ， ，有且只有一个实数根， 令 g（x）= ， 则 g′（x）= ，当 时，g′（x） 0，当 时，g′（x） 0， ∴g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，当 x= 时，g（x）取得极大值 g（ ）= ， 又 g（0）= g（ ）=0，∴若方程 ， ，有且只有一个实数根，则 a= 故选 B. 3. 【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知当 时，关于 的方程 有 唯一实数解，则 所在的区间是( ) A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7) 【答案】C 【解析】 由 xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得 ， 令 f（x） （x＞1），则 f′（x） ． 令 g（x）＝x﹣lnx﹣4，则 g′（x）＝1 0， ∴g（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一 x0∈（5，6），使得 g（x0）＝0， ∴当 x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0． 则 f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． ∴f（x）min＝f（x0） ． ∵ ﹣4＝0，∴ ， 则 ∈（5，6）． ∴a 所在的区间是（5，6）． 故选：C 4．【天津市和平区 2019 届高三下学期第一次调查】已知函数 ， 若 关于 的方程 恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 关于 的方程 恰有三个不相等的实数解， 即方程 恰有三个不相等的实数解， 即 与 有三个不同的交点. 令 ， 当 时， ，函数单调递减； 当 时， ，函数单调递增； 且当 时， ， 当 时， ， ， 当 时， ， 据此绘制函数 的图像如图所示， 结合函数图像可知，满足题意时 的取值范围是 . 本题选择 C 选项. 5．【安徽省合肥市 2019 届高三第二次检测】设函数 ，若函数 有三个 零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设 ， 则 ， 在 上递减，在 上递增， ，且 时， ， 有三个零点等价于 与 的图象有三个交点， 画出 的图象，如图， 由图可得， 时， 与 的图象有三个交点， 此时，函数 有三个零点， 实数 的取值范围是 ，故选 D. 6.【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】已知函数 （ 为自然对数的底数）， ，直线 是曲线 在 处的切线. （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）是否存在 ，使得 在 上有唯一零点？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理 由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在 k=0 或 2. 【解析】 （Ⅰ） ， 由已知，有 ，即 ，解得 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，则 令 ，则 恒成立， 所以 在 上单调递减，又因为 ， ， 所以存在唯一的 ，使得 ，且当 时， ，即 ， 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 又因为当 时， ， ， ， ， 所以存在 或 ，使得 在 上有唯一零点. 7．【山东省青岛市 2019 届高三 3 月一模】已知函数 ， ， 为自然对 数的底数. （1）当 时，证明：函数 只有一个零点； （2）若函数 存在两个不同的极值点 ， ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 （1）由题知： ， 令 ， ， 当 ， ，所以 在 上单调递减. 因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，故 只有一个零点. （2）由（1）知： 不合题意， 当 时，因为 ， ； ， ； 又因为 ，所以 ； 又因为 ， 因为函数 ， ， ， 所以 ，即 ， 所以存在 ，满足 ， 所以 ， ； ， ； ， ； 此时 存在两个极值点 ，0，符合题意. 当 时，因为 ， ； ， ；所以 ； 所以 ，即 在 上单调递减， 所以 无极值点，不合题意. 综上可得： . 8.【陕西省咸阳市 2019 年高考模拟检测（二)】已知函数 . （1）当 ，求证 ； （2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 （1）证明：当 时， ， 得 ， 知 在 递减，在 递增， ， 综上知，当 时， . （2）法 1：， ，即 ， 令 ，则 ， 知 在 递增，在 递减，注意到 ， 当 时， ；当 时， ， 且 ， 由函数 有 个零点， 即直线 与函数 图像有两个交点，得 . 法 2：由 得， ， 当 时， ，知 在 上递减，不满足题意； 当 时， ，知 在 递减，在 递增. ， 的零点个数为 ，即 ， 综上，若函数有两个零点，则 . 9．【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】设函数 . （1）若 是 的极大值点，求 的取值范围； （2）当 ， 时，方程 （其中 ）有唯一实数解，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）由题意，函数 的定义域为 ，则导数为 由 ，得 ，∴ ①若 ，由 ，得 . 当 时， ，此时 单调递增； 当 时， ，此时 单调递减. 所以 是 的极大值点 ②若 ，由 ，得 ，或 . 因为 是 的极大值点，所以 ，解得 综合①②： 的取值范围是 （2）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解 设 ，则 ， 令 ，即 . 因为 ， ，所以 （舍去）， 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 单调递增 当 时， ， 取最小值 则 ，即 ， 所以 ，因为 ，所以 （*） 设函数 ， 因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解 因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得 10．【普通高中 2019 届高三质量监测（二)】已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若方程 有两个实数根，求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 （1）由题可得 ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， ， 在 上单调递增； ， ， 在 上单调递减. （2）令 ， ，易知 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设 为 ， ，即 ， ， 故若有 有两个零点，需满足 ， 即 ， 令 ， ，所以 在 上单调递减. ，所以 的解集为 ， 由 ，所以 . 当 时， ， 有 ， 令 ， 由于 ，所以 ， ， 故 ，所以 ， 故 ， 在 上有唯一零点，另一方面，在 上， 当 时，由 增长速度大，所以有 ， 综上， . 11．【广东省汕头市 2019 年普通高考第一次模拟】已知 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 存在 3 个零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 （1） 因为 ，由 ，得 或 ．（i）当 时， ， 在 和 上， ， 单调递增； 在 上， ， 单调递减， （ii）当 时， ，在 上， ， 单调递增， （iii）当 时， ， 在 和 上， ， 单调递增； 在 上， ， 单调递减， （2） ， 所以 有一个零点 ．要使得 有 3 个零点，即方程 有 2 个实数根， 又方程 ，令 ，即函数 与 图像有两个交点， 令 ，得 的单调性如表： 1 － － 0 ＋ ＋ ↘ ↘ 极小值 ↗ ↗ 当 时， ，又 ， 的大致图像如图， 所以，要使得 有 3 个零点，则实数 的取值范围为 12．【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】已知函数 . （1）若 是 的极大值点，求 的值； （2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 (1) ， 因为 是 的极大值点，所以 ，解得 ， 当 时， ， ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 在 上单调递减，又 ， 所以当 时， ；当 时， ， 故 是 的极大值点； (2)令 ， ， 在 上只有一个零点即 在 上只有一个零点, 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 . （Ⅰ）当 ，即 时， 时， 在 上只有一个零点，即 在 上只 有一个零点. （Ⅱ）当 ，即 时，取 ， ， ①若 ，即 时， 在 和 上各有一个零点，即 在 上有 2 个零点， 不符合题意； ②当 即 时， 只有在 上有一个零点，即 在 上只有一个零点， 综上得，当 时， 在 上只有一个零 点.