考点15 平面向量的数量积-2018届高考数学（文）30个黄金考点精析精训

考点15 平面向量的数量积-2018届高考数学（文）30个黄金考点精析精训

‎2018届高三数学30个黄金考点精析精训 考点15 平面向量的数量积 ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎2.命题方向预测：‎ 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．‎ ‎3.课本结论总结：‎ ‎（1）两个向量的夹角 ‎①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．‎ ‎②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.‎ ‎③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎（2）平面向量数量积 ‎①已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．‎ 规定0·a＝0.‎ 向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.‎ ‎②a·b的几何意义：‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎（3）向量数量积的性质 ‎①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.‎ ‎②a⊥ba·b＝0.‎ ‎③a·a＝|a|2，.‎ ‎④cos θ＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎⑤|a·b|≤|a||b|.‎ ‎（4）数量积的运算律 ‎①交换律：a·b＝b·a.‎ ‎②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．‎ ‎（5）数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：‎ ‎①a·b＝a1b1＋a2b2.‎ ‎②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.‎ ‎③|a|＝.‎ ‎④cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎4.名师二级结论：‎ ‎(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos θ=.‎ ‎（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎(1)新课标A版第108 页，习题2.4A组第3题 已知||=2，||=5，·=-3，求|+|,|-|.‎ ‎【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.‎ ‎(2) 新课标A版第108 页，习题2.4A组第7题 已知||=4，||=3，(2-3)·(2+)=61，求与的夹角.‎ ‎【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)与平面几何交汇 ‎【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（‎ ‎），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ,则 ‎. ‎ ‎ (2)与不等式交汇 ‎1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎2.【2016高考浙江】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即最大值为.‎ ‎（3）与三角函数交汇 ‎【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，不妨取，，设，则 ‎，取等号时与同号．‎ 所以 ‎，（其中，取为锐角）．‎ 显然 易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为．‎ ‎【考点分类】‎ 热点1 平面向量数量积及其几何意义 ‎1.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎2. 【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,‎ 因此，．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.平面向量数量积的计算方法 ‎①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；‎ ‎②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；‎ ‎③用平面向量数量积的几何意义计算.‎ ‎2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． ‎ ‎【解题技巧】‎ 1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.‎ 2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.‎ 3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.向量的数量积不满足消去率和结合律.‎ ‎2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.‎ ‎3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.‎ 例 已知平面向量a,b,c，下列说法中：‎ ‎①若a·b=a·c,则a=c； ②a(b·c)=(a·b)c;‎ ‎③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 .‎ ‎【错解】①②③④‎ ‎【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.‎ ‎【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.‎ ‎【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④‎ 热点2 平面向量垂直、平面向量夹角 ‎1.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎2.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 .‎ ‎【答案】3 ‎ ‎3.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，‎ ‎，‎ ‎，‎ · ‎，解得：．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.对平面向量夹角问题 ‎(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.‎ ‎(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.‎ ‎2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.非零向量垂直a,b的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎2．a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.‎ ‎2.若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定 ‎3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．‎ ‎4.a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.‎ 例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；‎ ‎【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.‎ ‎【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．‎ ‎【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.‎ ‎【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.‎ 当=时，与同向，故的范围为.‎ 热点3 平面向量模 ‎1.【2017课标II，文4】设非零向量，满足则 A.⊥ B. C. ∥ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由平方得，即，则，故选A.‎ ‎2.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 所以.‎ 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.‎ ‎【方法规律】‎ 对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.‎ ‎2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.‎ ‎【易错点睛】‎ 在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|.‎ 例 已知||=1，||=2，向量与夹角为120o,求||.‎ ‎【错解】||===5.‎ ‎【错因分析】错用a·b＝|a||b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.‎ ‎【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|.‎ ‎【正解】||===.‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，所以，故选A．‎ ‎2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量a‎,‎b满足a‎+‎b‎=‎a‎-‎b，则a与b‎-‎a的夹角是( )‎ A. π‎6‎ B. π‎3‎ C. π‎4‎ D. ‎‎3π‎4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎∵|a+b|=|a-b|‎ ‎∴‎ a‎+‎b‎2‎‎=‎a‎-‎b‎2‎，‎∴‎ a‎⋅b=0‎ 即a‎⊥‎b如图 OA‎ =a‎=‎1,0‎,OB=b=‎0,1‎,OC=b-a=‎‎-1,1‎即是第二象限的角平分线，所以由图可见a 与b‎-‎a 的夹角是‎3π‎4‎，故选D.‎ ‎3．【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足 ‎，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，则，‎ ‎ ‎ ‎.选C.‎ ‎4．【2018届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ，所以，即，设的夹角为， ，又，所以的夹角为，故选A.‎ ‎5．【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a‎=b=c=2‎，且a‎⋅b=0‎，a‎-‎c‎⋅b‎-‎c≤0‎，则a‎+b-‎c的取值范围是（ ）‎ A. ‎0,2‎2‎+2‎ B. ‎‎0,2‎ C. ‎2‎2‎-2,2‎2‎+2‎ D. ‎‎2‎2‎-2,2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示：OA‎=‎a，OB‎=‎b，OC‎=‎c，‎OD‎=a+‎b ‎∵a‎-‎c‎⋅b‎-‎c≤0‎，∴点C在劣弧AB上运动，‎ a‎+b-‎c表示C、D两点间的距离CD。‎ CD的最大值是BD‎＝２‎，CD最小值为OD‎-2=2‎2‎-2‎.‎ 故选：D.‎ ‎7．【2018届河北省武邑中学高三上第二次调研】设为单位向量且相互垂直，若向量满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合可设，‎ 则由,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|，‎ 据此可得：(x−1)2+(y−1)2=2，‎ 即对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，‎ ‎∵圆过圆心，‎ ‎∴的最大值为圆的直径，‎ 故选：A.‎ ‎8．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB分别于半径为‎1‎的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2λPA+(1-λ)PB.‎，若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )‎ A. ‎(-1,1)‎ B. ‎(0,‎2‎‎3‎)‎ C. ‎(‎1‎‎3‎,1)‎ D. ‎‎(0,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为PO=2‎，由切线长定理知PA=PB=‎‎3‎，又 OM‎=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)‎PB‎ ，因此OM‎2‎‎=9λ‎2‎-6λ+1<1‎，解得‎0<λ<‎‎2‎‎3‎．‎ 点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量OM‎=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB=OB+2λPA-λPB，再根据向量的平方运算，求出‎|OM|‎‎2‎‎=9λ‎2‎-6λ+1‎，令其小于半径即可求出．‎ ‎9．【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中， 为边上一点，且，向量与向量共线，若， ， ，则（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎10．【2018届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时， ‎ ‎，应选答案D.‎ ‎11．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足，则最大值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设， 与所成夹角为，则：‎ ‎，则向量的夹角为60°，‎ 设，则，故：‎ ‎，设O到BC的距离为，‎ 则，‎ 由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，‎ ‎12．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎，选C.‎ ‎13.【2017届云南省红河州高三统一检测】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知 设 在上的投影为，则 当时， ‎ 当 故当时， 取得最小值为，即 当时， ，即 综上所述 故答案选.‎ ‎14.已知、为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量、的夹角为___________.‎ ‎【答案】‎