数学（理）卷·2017届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）（2017

数学（理）卷·2017届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）（2017

汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试 数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。‎ ‎2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1、已知全集，， ，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2、已知复数，则z在复平面上对应的点在第（ ）象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎ ‎3、汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（ ）种。A．120 B．625 C． 240 D．1024 ‎ ‎4、设向量，，则“”是“”的( )条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎5、平面直角坐标系中，在直线x=1，y=1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线下方区域的概率为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎6、如图所示，三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：）等于( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎7、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.‎ 如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）（参考数据：,）．‎ A．12 B．4 C．36 D．24‎ 第7题图 ‎ ‎第9题图 ‎8、在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为( ) A．4 B． C． D．2 ‎ ‎9、如图，F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B. 4 C. D. ‎10、已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点x1，x2，则tan的值为 (　)．A． B． C． D． ‎11、已知实数x，y满足，则的的最小值为（ ）．‎ A． 1 B． C． D． 4‎ ‎12、已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）．‎ ‎13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为. 由以上信息,得到下表中c的值为 ．‎ 天数x（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数y（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ c ‎14、的展开式中整理后的常数项为 ．‎ ‎15、已知直线l：y＝k(x－2) 与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为 ．‎ ‎16、已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的的取值范围为　　　　　　．‎ 三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．‎ ‎17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．‎ ‎（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；‎ ‎（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎18、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有 成立．记． （1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：．‎ ‎19、（本小题满分12分）已知直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∠BAC＝90°，且，D、E、F分别为 、 、的中点．（1）求证：直线DE∥平面ABC；（2）求锐二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其右焦点为F（1,0）。（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆上，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．‎ ‎21、（本小题满分12分） 已知函数． (1) 设函数，求的单调区间；(2) 若存在常数k，m使得对任意恒成立，且对任意 恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上所选题目对应的题号涂黑。‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （I）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）点P、Q分别在直线l和圆C上运动，求 ‎∣PQ∣的最小值。‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，（1）若，解不等式；‎ ‎（2）如果，，求a的取值范围．‎ 汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C B A B D C A B C D 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡中的横线上）‎ ‎13、6 ； 14、252 ； 15、 或 ； 16、（-1, 0）∪（0,1）‎ 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17、解析：（1）由直方图知，（0.15+0.125+0.1+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375………2分 因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人。………3分 所以甲班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.0375×2=3（人）………5分 ‎（2）乙班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.05×2=4（人）………6分 由（1）知甲班学习时间在区间[10,12]的人数为3人，在两班中每天平均学习时间大于10小时的学生共7人。的所有可能取值为0,1,2,3.则： , ,,.………8分 所以随机变量的分布列为 ‎ 所以. ………12分 ‎18、【解析】（1）在中，令得.……2分 因为对任意正整数，都有成立，时，，‎ 得，，所以，………4分 又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，即，所以.………7分 ‎（2）由题意及（1）知，………9分 所以.‎ 由于为单调增函数 ，则故 ………12分 ‎19、【解析】（1）方法一：设AB的中点为G，连接DG,CG，则,四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又, ∴DE∥平面ABC．………6分 方法二：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2）. ……2分，平面ABC的法向量为.‎ ‎∵，∴，又∵，∴DE∥平面ABC．………6分 ‎（2）∵,,,∴ , ∴ , ∵ ∴B1F⊥平面AEF. ‎ ‎∴平面AEF的一个法向量为. ………8分 ‎ 设平面 B1AE的法向量为，则由 ，即.‎ 令x＝2，则z=-2,y=1. ………12分 ‎ ‎20、 【解析】（1），故椭圆方程为 ………4分 ‎（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1,0)，且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k(x-1)将此式代入椭圆方程得 ，于是 ‎ ，………7分 同理： ． ‎ 则………10分 当时，四边形PMQN的面积取最小值．‎ 当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．‎ 综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．………12分 ‎21、【解析】(1)由于函数，，‎ 因此 ‎ 则＝＝. ………3分 当时，＜0，所以在（0，）上是减函数；‎ 当时，＞0，所以在（，＋）上是增函数. ……… 5分 因此，函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）.‎ ‎ (2)由(Ⅰ)可知，当时，取得最小值（）＝0，‎ 则与的图象在处有公共点（，）.‎ 假设与存在“分界线”，则其必过点（，） ………6分 故设其方程为：，即，‎ 由对恒成立，得对恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 因此，“分界线”的方程为：. ………9分 下面证明对恒成立.‎ 设，则，‎ 所以当时，，当时，＜0，‎ 当时，取得最大值0，则对恒成立.‎ 故所求“分界线”的方程为：. ………12分 ‎22、【解析】(I)直线l的普通方程为x-y+1=0, 圆C的直角坐标方程易求得：………5分 ‎ (Ⅱ) 由平面几何知识知：最小值为圆心C到l的距离减半径，∵ ‎ ‎∴∣PQ∣的最小值为。 ………10分 ‎23、【解析】（1）当时，，由得：，‎ ‎（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。………5分 ‎（法二）不等式可化为或或，‎ ‎∴不等式的解集为。 ………5分 ‎（2）若，，不满足题设条件；‎ 若，，的最小值为；‎ 若，，的最小值为。‎ 所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。………10分