人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的平行四边形问题

人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的平行四边形问题

‎5.因动点产生的平行四边形问题 ‎1.如图，抛物线与轴交于、两点，过点作直线轴，交直线于点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点关于直线的对称点的坐标，判定点是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）点是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交线段于点，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线与轴交于、两点 ‎∴解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）‎ 过点作轴于，与交于点 ‎∵点在直线上，‎ ‎∵点和关于直线对称，，‎ ‎，‎ 在和中 ‎，‎ 又，‎ ‎，即 点的坐标为 当时，‎ ‎∴点在该抛物线上 ‎（3）存在 理由：设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 设，则 ‎∴要使四边形是平行四边形，只需 又点在点的上方，‎ 解得（不合题意，舍去）‎ 当时，‎ ‎∴当点运动到时，四边形是平行四边形 ‎2.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）平行于的动直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．‎ 解析：（1）由抛物线经过点可得 ①‎ ‎∵对称轴 ②‎ 又抛物线过点，③‎ 由①②③解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）‎ 假设存在满足条件的点，连接、、，作轴于，轴于 设点的坐标为，其中 则，‎ 令，即 则，方程无解 故不存在满足条件的点 ‎（3）‎ 设直线的解析式为，又过点 ‎，‎ 解得 ‎∴直线的解析式为 由，得 又点在直线上，则点 于是 由于，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只需 设点，则 ‎①当时，‎ 由，解得或 当时，线段与重合，舍去 ‎，此时 ‎②当或时，‎ 由，解得，经检验符合题意 此时，‎ 综上所述，满足条件的点P有三个，‎ 分别是，.‎ ‎3.如图，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，且对称轴与轴交于点．‎ ‎（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）为中点，直线交轴于，若点的坐标为，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点在直线上，且使得的周长最小，在抛物线上，在直线上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的 坐标．‎ 解析：（1）‎ ‎∴抛物线的顶点的坐标为 ‎（2）令，解得，‎ ‎∵抛物线与轴负半轴交于点 且.‎ 过点作轴于 由为中点，，可得 由抛物线的对称性得 ‎，，‎ 由，，得 ‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎（3）依题意，得，，‎ 可得直线的解析式为，直线为 作点关于直线的对称点，连接交于，则即为所求 由，，可得直线的解析式为 由解得 ‎∴点的坐标为 由点在抛物线上，设 ‎①当为平行四边形的一边时 如图，过作轴于，过作于 则 可证，得 ‎，‎ 如图，同理可 ‎②当为平行四边形的对角线时 如右图，过作于，过作轴于 则 可证，得 综上，点的坐标为，，‎ ‎4.已知正方形的边、分别在、轴的正半轴上，点坐标为，点是轴上一动点，过点作于点，直线交直线于点，连接．‎ ‎（1）如图1，当点在线段上时，求证：；‎ ‎（2）在点运动过程中，与以、、为顶点的三角形相似时，求的值；‎ ‎（3）如图2，抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）证明：正方形，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）解：当点在线段上时 若，， ‎ 当点在延长线上时，如图1‎ 若，则 可证，，‎ ‎，解得（舍去）或 当点在延长线上时，如图2‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 若，则 可证，,‎ ‎，解得（舍去）或 ‎∴当与以、、为顶点的三角形相似时，或或 ‎（3）①若为平行四边形的对角线 则 ‎（i）当点在线段上时，‎ 如图3‎ ‎，代入，得 ‎，解得或（舍去）‎ ‎（ii）当点在延长线上时，如图 ‎，，‎ ‎，代入，得 ‎，解得（舍去）或（舍去）‎ ‎②若为平行四边形的边 则 ‎（i）当点在延长线上时，如图5‎ ‎，代入，得 ‎，解得（舍去）或 ‎（ii）当点在延长线上时，如图6、图7‎ ‎，‎ 或 把代入，得 ‎，解得或（舍去）‎ 把代入，得 ‎，解得或（舍去）‎ 综上所述，抛物上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，‎ 的值为：，，，‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，，将沿翻折得．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）若抛物线经过、两点，试判断点是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）设（2）中的抛物线与矩形的边交于点，与轴交于另一点，点在轴上运动，在轴上运动，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求点、的坐标．‎ 解析：（1）在中，，，‎ 过作于，如图1⑦‎ 在中，‎ ‎，，‎ ‎（2）将、两点坐标代入抛物线的解析式中，得：‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 当时，，∴点在该抛物线上 ‎（3）①若是平行四边形的对角线，如图2‎ 点在轴上，轴，‎ ‎∴过点作交轴于，则四边形为平行四边形 把代入抛物线解析式，得点的坐标为 把代入抛物线解析式，得点的坐标为 ‎，点即为点，坐标是 ‎②若是平行四边形的边，如图3、图4‎ ‎ ‎ 过点作交轴于，四边形是平行四边形 ‎，‎ 同理过点作交轴于，四边形是平行四边形 ‎6.如图，已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，抛物线与抛物线关于轴对称，点、的对称点分别是、，连接、，设．‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若点是抛物线上的一个动点（不与点、重合），试判断点关于原点的对称点是否在抛物线上，请说明理由；‎ ‎（3）将沿直线折叠，点的对应点为．是否存在实数，使得四边形 为平行四边形，且点恰好落在抛物线上，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与抛物线关于轴对称 ‎∴抛物线的对称轴为直线 ‎（2）∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称 ‎∴抛物线 设是抛物线上任意一点 则点关于原点的对称点，且 将点的横坐标代入抛物线的解析式 得 ‎∴点不在抛物线上 ‎（3）存在 ‎、关于轴对称，点在轴上，‎ 由折叠知 ‎∵四边形是平行四边形，‎ ‎，是等边三角形 是等边三角形 假设点恰好落在抛物线上 由抛物线和等边三角形的对称性可知点一定在抛物线的对称轴上 为等边三角形，‎ 对于抛物线，根据根与系数的关系，有 ‎∴存在实数，使得四边形为平行四边形，且点恰好落在抛物线上 ‎7.已知抛物线经过点，顶点为，点是轴上位于点上方的一个动点，连接并延长，交抛物线于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接、．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（1）当、、三点构成直角三角形时，求点的坐标；‎ ‎（2）当、、、四条线段构成平行四边形时，求点的坐标．‎ 解析：（1）∵抛物线经过点 ‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2），‎ ‎①若 过点作轴，分别交、于、‎ 则 易证， ‎ 设，代入抛物线解析式，得 可得直线的解析式为 ‎②若 过点作轴，交于 易证，，‎ ‎③若 过点、分别作轴的平行线，交于、‎ 设，则 ‎，‎ 可证，‎ ‎，即 ‎，得（舍去）‎ 或，方程无实数解 ‎∴当为直角三角形时，点的坐标为或 ‎（3）①若，，此时点与点关于轴对称 ‎②若，设，则 解得或 当时，则 此时直线解析式为 与抛物线的交点为 此时、、、四条线段能构成平行四边形 符合题意 当时，则 此时直线解析式为 与抛物线的交点为 过作于，则，‎ ‎，即 此时、、、四条线段不能构成平行四边形 不符合题意 ‎③若，则点必在点上方，‎ 此时、、、四条线段不能构成平行四边形 ‎∴满足条件的点的坐标为或 ‎8.如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点的坐标为．点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．‎ ‎（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标．‎ 解析：（1）在直线解析式中，令，得，‎ ‎．‎ ‎∵点、在抛物线上，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：．‎ ‎（2），且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎∴将直线沿轴向上、下平移个单位之后得到的直线，与抛物线轴右侧的交点，即为所求之交点．‎ 由答图1可以直观地看出，这样的交点有个．‎ 将直线沿 轴向上平移个单位，得到直线，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎；‎ 将直线沿轴向下平移个单位，得到直线，‎ 联立，‎ 解得（在轴左侧，不合题意，舍去），‎ ‎．‎ ‎∴当为值为或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎（3）存在．‎ 理由：设点的横坐标为，则．‎ 由答图2所示，过点作于点，则，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，由勾股定理得：．‎ 过点作于点，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ 在中，由勾股定理得：．‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 解得（舍去）或，‎ ‎；‎ 同理求得，另一点为．‎ ‎∴符合条件的点的坐标为或．‎ ‎9.如图，抛物线的顶点在直线上．‎ ‎（1）求抛物线顶点的坐标；‎ ‎（2）设抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），试判断的形状；‎ ‎（3）在直线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵顶点的横坐标为，且顶点在上 ‎∴当时，‎ ‎（2）是直角三角形 将代入，得，‎ ‎，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即是直角三角形 ‎（3）存在．‎ 由题意知：直线交轴于点，‎ 交轴于点 ‎，又 与都是等腰直角三角形 ‎，即 则构成平行四边形只能是或，‎ 如图,过点作轴的垂线，过点作轴的垂线并交于点 设，则 则，‎ 由勾股定理得：‎ ‎，或 或 ‎∴存在点或使以点、、、为顶点的四边形 是平行四边形 ‎10.抛物线与轴交于、两点，与轴负半轴交于点，且．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；‎ ‎（3）如图2，过点作交抛物线于点，交轴于点，直线与抛物线交于点，与直线交于点．问是否存在这样的，使、、、四点构成平行四边形？若存在，求出的值，若不存在；说明理由．‎ ‎ ‎ 解析：（1）、‎ ‎，‎ ‎∵点在轴负半轴上，‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）易知为锐角三角形 ‎∴若以、、为顶点的三角形与相似，点只能在线段上 过作于，设 当时，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ 过作于，则 ‎，，‎ ‎（3）‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，当时，、、、四点构成平行四边形 解得 或 解得（舍去）或 ‎∴当或时，、、、四点构成平行四边形