2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题（创新班）（解析版）
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题（创新班）
一、单选题
1．已知集合，，，集合，若，且，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】B⊆A，可得：cosθ＝1，或cosθ，或cosθ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ
【详解】
∵B⊆A，
∴cosθ＝1，或cosθ，或cosθ＝3（舍去），
∵θ∈[0，2π），∴由cosθ＝1，可得θ＝0，
由cosθ1，无解．
综上可得：θ＝0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．
2．已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos
=．若n⊥（tm+n），则实数t的值为
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】试题分析：由，可设，又，所以
所以，故选B．
【考点】平面向量的数量积
3．下列说法正确的是( )
A．因为，所以是函数的一个周期；
B．因为，所以是函数的最小正周期；
C．因为时，等式成立，所以是函数的一个周期；
D．因为，所以不是函数的一个周期．
【答案】D
【解析】由周期函数的定义可判断A；由tan（x+π）＝tanx，结合周期函数的定义可判断B；
由x，等式不成立，结合周期函数的定义可判断C；由周期函数的定义，可判断D．
【详解】
由，不满足周期函数的定义，故A错误；
tan（2π+x）＝tanx，所以2π是函数y＝tanx的一个正周期，由tan（x+π）＝tanx，
可得π是函数y＝tanx的最小正周期，故B错误；
时，等式成立，但x，等式不成立，
所以不是函数y＝sinx的一个周期，故C错误；
由，由周期函数的定义，可得不是函数y＝cosx的一个周期，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题．
4．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
5．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：，
且，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
7．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．
详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，
根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，
∵x1+x2=x1x2，
∴2cosAcosB=1﹣cosC，
∵A+B+C=π，
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，
∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，
∴A﹣B=0，即A=B，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出，再利用二倍角的正切公式即可求出.
【详解】
再同时除以，整理得
故或，代入，得.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.
9．已知方程有解，则的取值范围是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】方程cos2x+cosx﹣a＝0有解⇔函数f（x）＝cos2x+cosx，与函数g（x）＝a的图象有交点,由f（x）＝cos2x+cosx利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
方程cos2x+cosx﹣a＝0有解⇔函数f（x）＝cos2x+cosx，与函数g（x）＝a的图象有交点．
f（x）＝cos2x+cosx∈，
则a∈，函数f（x）＝cos2x+cosx，与函数g（x）＝a的图象有交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得tanα，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tanα的齐次式即可求出原式的值．
【详解】
已知故tanα＝3，
又
故原式＝．
故选：B
【点睛】
此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题．
11．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用函数的对称中心，求出的表达式，然后确定| |的最小值．
【详解】
∵函数y＝3cos（2x+）的图象关于点中心对称，
∴，得，k∈Z，由此得．
故选A.
【点睛】
本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k的取值，确定| |的最小值，是基本方法．
12．在平面内，定点A，B，C，D满足==, = =
=–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
二、填空题
13．函数的定义域是______．
【答案】
【解析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可
【详解】
由题知：原式有意义则 且
即，故函数的定义域是
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力．
14．已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为_______________．
【答案】（﹣1，）或（﹣1，）
【解析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可．
【详解】
向量的方向与x轴的正向所成的角为120°，且||＝2，
如图所示，向量的终点为A或B，
由三角函数的定义，可得A（﹣1，），
B（﹣1，）；
所以的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）或（﹣1，）．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=___.
【答案】
【解析】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.
【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
16．设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 .
【答案】4
【解析】【详解】试题分析：
当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组.
【考点】
三角函数
【名师点睛】
本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)求证：≥．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和的正弦公式结合正弦定理即可证明
（2）利用余弦定理结合基本不等式证明
【详解】
（1）则，即
由正弦定理得
（2）由余弦定理得
当且仅当等号成立，则≥成立
【点睛】
本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力．
18．已知为第三象限角，且f(α)＝ ．
（1）化简f(α)；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）f（α）＝﹣cosα；（2）f（α）；（3）f（α）＝
【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f（α）的解析式．
（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．
（3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可
【详解】
（1）f（α）=
cosα
（2）∵cos（a），∴sinα，
∵a是第三象限角，
∴cosα，
∴f（α）＝﹣cosα
（3）f（α）＝﹣cos
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．
19．已知，且，向量，，，， ．
（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；
（2）当，时，的最大值为5，求的值；
（3）当时，若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝2asin（2x），单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；（2）a＝﹣5或a．（3）（0，1）．
【解析】（1）化简f（x）＝2asin（2x），再利用三角函数性质求单调区间；
（2）讨论a的正负，确定最大值，求得a；
（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．
【详解】
（1）f（x）•2acos2xasin2x﹣a
＝2asin（2x），
∵a＞0，
∴2kπ2x2kπ（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）
（2）f（x）＝2asin（2x），
当x∈[0，]时，2x∈[，]；
若a＞0，2a＝5，则a；
若a＜0，﹣a＝5，则a＝﹣5；
综上所述，a＝﹣5或a．
（3）∵|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，]上恒成立，
∴f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[0，]上恒成立，
∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，x∈[0，]
∵f（x）＝2sin（2x）在[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．
∴0＜m＜1．
即实数m的取值范围为（0，1）．
【点睛】
本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题．
20．已知在中，为中点，，．
(1)求的值；
(2)若，求面积．
【答案】（1）∠BAC（2）．
【解析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果．
（2）在△ABC和△ABD，利用正弦定理得以，求得AC＝4，AB＝2，再利用三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】
（1）在△ABC中，D为BC中点，，．
所以tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD），
由于0＜∠BAC＜π，故∠BAC．
（2）如图
由，，所以，．
在△ABC和△ABD，利用正弦定理，得，又BC＝2BD，
所以，由于，所以AC＝4，
同理可得AB＝2．
所以．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC＝a，∠ABC＝，设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2．
(1)用a，表示S1和S2；
(2)当a固定，变化时，求取最小值时的角．
【答案】（1）S1a2sinθcosθ；S2＝；（2）当θ时，的值最小，最小值为．
【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1；
设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC＝a列出方程求出x，算出S2；
（2）化简比值，设t＝sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，AB＝acosθ，AC＝asinθ，
所以S1AB•ACa2sinθcosθ；
设正方形的边长为x则BP，AP＝xcosθ，
由BP+AP＝AB，得xcosθ＝acosθ，
解得x；
所以S2＝x2；
（2）
sin2θ+1，
令t＝sin2θ，因为 0＜θ，
所以0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，
所以t+1；
设g（t）t+1，
则g′（t），t∈（0，1]；
所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t＝1时g（t）有最小值g（t）min＝g（1）1+1，
此时sin2θ＝1，解得θ；所以当θ时，的值最小，最小值为．
【点睛】
本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．
22．设为坐标原点，定义非零向量，的“相伴函数”为，
向量，称为函数的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设函数，求证：；
(2)记，的“相伴函数”为，若函数，，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)已知点，满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点运动时，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）（3）
【解析】（1）依题意，将可化为h（x）于是结论可证；
（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围
（3）由f（x）sin（x+φ）可求得x0＝2kπφ，k∈Z时f（x）取得最大值，其中tanx0，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范围．
【详解】
（1）∵
∴函数h（x）的相伴向量（，），
∴h（x）∈S
（2）∵则 ，，
则在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，又 ；函数，，与直线有且仅有四个不同的交点，实数的取值范围为
（3）的相伴函数f（x）＝asinx+bcosxsin（x+φ），
其中cosφ，sinφ
当x+φ＝2kπ，k∈Z即x0＝2kπφ，k∈Z时f（x）取得最大值，
∴tanx0＝tan（2kπφ）＝cotφ，
∴tan2x0．
令m，则 解得 （m=1不成立）
则tan2x0，（）
∵单调递增，故m∈
∴tan
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．
