江西省南康中学、于都中学2019届高三下学期第二次联考 数学（文）

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HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 南康中学高三第二次大考（于都中学联考）‎ 数学（文科）试卷 ‎ 本试卷共4页，分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．第I卷共12小题，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。第II卷则用黑色的钢笔（或水笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。‎ 第I卷 （ 选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则复数虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（　　）‎ A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙 B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降 C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎4．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，‎ 则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．偶函数的图象在处的切线斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知等边内接于圆，为线段的中点，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ M N ‎8．如图，在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．设是等比数列的前项和，，则的值为（　　）‎ A． B． C．或－1 D．或－1‎ ‎10．在四面体中，,平面平面，则该四面体外接球的表面积为（　　）‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C. D． ‎ ‎12．已知定义在上的函数对于任意的都满足，当 时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题后横线上）‎ ‎13．已知函数，则的值为　 　．‎ ‎14. 若实数满足约束条件，则的最小值为　 　．‎ ‎15．已知数列的前项和为，数列满足,‎ 且成等差数列，则等于　 　．‎ ‎16．过曲线上的点向圆O：作两条切线，切点为,且，若这样的点有且只有两个，则实数的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若边上的高等于，求的值.‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在矩形中，分别为的中点，现将沿折起，得四棱锥 .‎ A B E D C A F D C B E ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若平面平面，求四面体的体积.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：‎ ‎(1)“梅实初黄暮雨深”.计算的值，并用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；‎ ‎(2) “江南梅雨无限愁”. 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅这10年的亩产量（kg/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你完善列联表，帮助老李排解忧愁，来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？并说明理由.‎ 亩产量降雨量 合计 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎<600‎ ‎2‎ ³600‎ ‎1‎ 合计 ‎10‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.703‎ ‎(参考公式：‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程；‎ ‎(2)设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数为的导函数.‎ ‎(1)令，试讨论函数的单调区间；‎ ‎(2)证明：．‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线.‎ ‎(1)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；‎ ‎(2)射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.‎ 南康中学2019届高三寒假数学（文科）测试卷参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．A【解析】∵集合，集合，∴集合，故选．‎ ‎2．C【解一】由得，所以选择C．‎ ‎【解二】设，由，‎ 则，解得，所以，所以选择C．‎ ‎3．D【解析】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．‎ ‎4．C【解析】依题意椭圆的离心率得，椭圆的长轴长与焦距之和为6，， 解得，则，所以椭圆的标准方程为：，故选C．‎ ‎5．C【解析】，则函数为奇函数，故排除AD，‎ 当时，故排除B，故选：C．‎ ‎6．A【解析】偶函数，可得，即 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎，可得，对恒成立，则，函数，，则．故选：A．‎ ‎7．B【解析】如图所示,．设中点为，‎ 则 ‎．故选：B．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ M N E ‎8．B【解析】取的中点，则,所以异面直线与 所成角为，‎ 不妨设正方体的棱长为2，则,‎ 在中，由余弦定理知：，‎ 故选：B ‎9．D【解析】设的首项，公比分别为由得，‎ ‎ ，解得或，因为，所以或，‎ 因为，所以选择D．‎ ‎10.D【解析】取中点 ，连接,‎ 为等腰直角三角形，‎ 则则为等边三角形，‎ 为的中点,‎ 取外心，连接,‎ 可知点即为四面体外接球球心 则有 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 则外接球的表面积为.故选D ‎11. B【解析】易知点M的横坐标为，代入得，因为点M在圆 外，所以有，解得，所以选择B.‎ ‎12．A【解析】由得，‎ 因此，即函数是周期为2的周期函数．‎ 函数至少有6个零点可转化成 与 两函数图象交点至少有6个，‎ 需对底数a进行分类讨论．‎ 若，则，即.‎ 若，则，即.‎ 所以的取值范围是．故选A.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. ‎ ‎13．【解析】‎ ‎14. 【解析】不等式组．表示的可行域如图：‎ 由解得：， 取得最小值为：.‎ ‎15．【解析】由成等差数列，可得：，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎．‎ ‎∴数列的奇数项与偶函项分别成等差数列，公差为1，首项分别为1，2．‎ ‎．‎ ‎16．【解析】过点作圆的两条切线，设切点分别为，且，‎ 则，则有，则P的轨迹为，‎ 当时，曲线为，‎ 当时，曲线为，‎ 当时，若这样的点P有且只有两个，必有，‎ 即，解可得，‎ 当时，曲线为，符合题意，‎ 当时，若这样的点P有且只有两个，必有，解可得，‎ 则；故答案为：．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．【解析】（1）因为，‎ 由正弦定理得.………………2分 因为，所以.‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 即. ………………………………4分 因为，所以. ………………………………………………………5分 因为，所以. 因为，所以 .………………………6分 ‎（2）设边上的高线为，则.…………………………………………7分 因为，则，.……………………………………9分 所以，.………………………………10分 由余弦定理得.所以的值为.……12分 ‎18．【解析】(1)取线段的中点，连接， ………………………………1分 因为为的中点，所以，且，‎ 在折叠前，四边形为矩形，为的中点，‎ 所以，且.…………………………………………………………2分 所以，且,…………………………………………………………3分 所以四边形为平行四边形，故， …………………………………4分 又平面平面，‎ 所以// 平面.…………………………………………………………………5分 ‎(2) 在折叠前，四边形为矩形，为的中点，‎ 所以都是等腰直角三角形，且，‎ 所以，且.‎ 又，………………………………7分 又平面平面，平面平面平面，‎ 所以平面，即为三棱锥的高. ……………………………9分 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 因为为的中点，所以，………………………10分 所以四面体的体积.……………12分 ‎19．【解析】(1)频率分布直方图中第四组的频率为 所以 …………………………………………………………………………2分 所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为 ‎……………5分 ‎(2)根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为 ‎……………………………………………………………6分 进而完善列联表如图.‎ 亩产量降雨量 ‎200～400之间 ‎200～400之外 合计 ‎<600‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ³600‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎6‎ 合计 ‎7‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎………………………………………………………………………………………………8分 ‎………………………………………10分 故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.……………………………11分 而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅。. …………12分 ‎20．【解析】（1）设圆的半径为，‎ 因为动圆与圆外切，……………………………………………1分 所以，①……………………………………………………………2分 又动圆与直线相切，‎ 所以，②……………………………………………………………………………3分 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 由①②消去得，‎ 所以曲线C的轨迹方程为．………………………………………………………5分 ‎（2）假设存在曲线上的点满足题设条件，不妨设 则，，， ‎ ‎，，………………6分 所以，③ ………………7分 显然动直线的斜率存在且非零，设，‎ 联立方程组，消去得，‎ 由Δ＞0得t＞1或t＜－1，所以，且…………………8分 代入③式得，令（m为常数），‎ 整理得，④…………………………………9分 因为④式对任意恒成立，‎ 所以，…………………………………………………………10分 所以或，即或 即存在曲线上的点或满足题意．………………………………12分 ‎21．【解析】（Ⅰ） ‎ ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎………………………………………………………1分 当时， 单调递增，‎ 的单调增区间为，无单调减区间；………………………………………2分 当时， 得，…………………………………………………3分 当；所以的单调递增区间为，……………4分 当，单调递减区间为……………………5分 ‎（Ⅱ）即证： ，即证： ……………………………………6分 令，………7分 当时， 单调递减；‎ 当时， 单调递增；‎ 所以的最小值为，………………………………………………………8分 令，则，…………………………………………………9分 当时， 单调递增；‎ 当时， 单调递减；‎ 所以的最大值为，……………………………………………………10分 因为，……………………………………………………………………………11分 所以，即.…………………………………………………12分 ‎·14·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎22. 【解析】（1）曲线:（为参数）化为普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，………………………………………………2分 曲线的极坐标方程为.……………………………………………4分 ‎（2）射线与曲线的交点的极径为，………………6分 射线与曲线的交点的极径满足，‎ 解得，…………………………………………………………………………8分 所以 …………………………………………………………10分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ‎·14·‎