专题06+确定抽象函数单调性解函数不等式-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题06+确定抽象函数单调性解函数不等式-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。‎ ‎【方法点评】‎ 确定抽象函数单调性解函数不等式 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 （定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；‎ ‎ 第二步 （转化）将函数不等式转化为的形式；‎ ‎ 第三步 （去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组；‎ 第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；‎ 第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.‎ 例1 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】.‎ 第二步，（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性：‎ 又是定义在上的奇函数，所以，‎ 第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：‎ 当时， ，所以，联立解得，当时， ‎ ‎，所以，无解，综上应填.‎ ‎【变式演练1】‎ ‎【安徽省六安市舒城中学2018届高三仿真（三）数学（文）试题】已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。‎ ‎【变式演练2】【江西省新干县第二中学等四校2018届高三第一次联考数学（文）试题】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【点睛】本题考查函数的单调性与导数的关系，关键是构造函数g（x）=x2f（x），并利用导数分析g（x）的单调性．‎ ‎【变式演练3】定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）解不等式．‎ ‎【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用赋值法可求,；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．‎ 试题解析：解：（1）令，则，∴，令，则，∴‎ ‎（2）令，则，∴‎ ‎（3）据题意可知，函数图象大致如下：‎ ‎，∴或，∴或.‎ 考点：抽象函数及应用．‎ ‎【变式演练4】定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有，求证：‎ ‎（1）是奇函数；‎ ‎（2）是单调递减函数；‎ ‎（3），其中．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．‎ 试题解析：证明：（1）令代入，得到．‎ 令，得，即．∴在上是奇函数．‎ ‎（3）‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故．‎ 考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国卷一理】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎3. 【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）‎ ‎（A）0 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点： 函数图象的性质 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.‎ ‎4. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试】函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.‎ ‎5. 【2018年普通高等学校招生（江西卷）】已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0g(0),所以x>0.‎ 故选A.‎ 点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.‎ ‎7．【2018届江西省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 故选D.‎ ‎8. 【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知函数（，且），若，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎9. 【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知是定义在区间上的奇函数，当时， ．则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，则，即，所以，结合图像可知：函数在单调递减，所以不等式可化为，解之得，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是求出函数的解析式，在时， ；关键求时， 的过程值得注意，这里充分运用时， ‎ ‎)及奇函数的定义，运用转化的数学思想求出当，则，进而借助奇函数得到，从而求出。‎