2020高中数学 第一章 三角函数

2020高中数学 第一章 三角函数

正弦型函数的图象及三角函数的应用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念及其图象变换 ‎1. 了解函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的实际意义。‎ ‎2. 能画出y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象，并借助图象能观察出A，ω，φ对函数图象变化的影响。 ‎ 选择 填空 正弦型函数的图象及三角函数的应用是高考的热点，应当引起重视，在高考中往往以中低档题形式出现。‎ 二、重难点提示 重点：由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象。‎ 难点：对图象变换过程的理解。‎ 一、有关函数的几个概念 当函数表示一个振动量时，A为振幅，是周期，f＝＝是频率，ωx＋φ为相位，φ为初相。‎ ‎【重要提示】‎ 上述概念是在这一前提下的定义，否则，当，则就不能称为初相。‎ 二、函数的图象与的关系 ‎1. 振幅变换 ‎2. 周期变换 ‎3. 相位变换 ‎4. 上下平移变换 6‎ ‎【难点剖析】由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。‎ ‎①y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。‎ ‎②y＝sin xy＝sin ωxy＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。‎ 注意：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现。无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。‎ 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）。‎ 先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得y＝sin（ωx＋）的图象。‎ 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。‎ 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0）平移个单位，便得y＝sin（ωx＋）的图象。‎ 三、“五点法”作的简图 ‎“五点法”即找五个关键点，分别为使能取得最小值、最大值和曲线与轴的交点，其步骤如下：‎ ‎（1）先确定周期，在一个周期内作图象。‎ ‎（2）令，则将分别取来求出对应的值，列表如下：‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎0‎ ‎（3）描点画图，再利用函数的周期性，可把所得简图向左、右分别扩展，从而得到的简图。‎ 四、由函数或部分图象确定解析式 ‎【规律总结】‎ 解决的关键在于确定参数，在观察图象的基础上可以按以下规律来确定：‎ ‎（1）A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定。‎ 6‎ ‎（2）：因为，所以往往通过求周期T来确定。可通过已知曲线与轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点在轴上的投影之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T。‎ ‎（3）：采用五点法或代入最值点求得。‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（－，0）作为突破口。“五点”的ωx＋φ的值具体如下：‎ ‎“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；‎ ‎“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；‎ ‎“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；‎ ‎“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；‎ ‎“第五点”为ωx＋φ＝2π。‎ 示例：函数的初相是 。‎ 思路分析：根据初相的定义求解。‎ 答案：‎ 故初相为。‎ 技巧点拨：本题如果填“”，则是错误的答案，其原因在于没有注意到定义中的条件：。因此当时，应先对解析式进行恒等变形，使之满足上述条件。‎ 例题1 作出函数y＝2sin（＋）在长度为一个周期的闭区间上的图象。‎ 思路分析：将看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑的曲线连接各点即可。‎ 答案：列表 ‎0‎ π ‎2π x ‎－‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 描点作图如下：‎ 6‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 用五点法作y＝Asin（ωx＋φ）的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象。‎ ‎2. 若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点。‎ 例题2 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin（2x－）的图象？‎ 思路分析：‎ 方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换。‎ 方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换。‎ 答案：‎ ‎【解】方法一 y＝sinx。‎ 方法二 y＝sin x ‎。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 由函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的变换通常需要三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序。当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了。‎ ‎2. 由y＝Asin ωx的图象变换成y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，可将y＝Asin（ωx＋φ）化为y＝Asin[ω（x＋）]，由x＋与x的关系确定左右平移的单位，此时时，向左平移个单位，时，向右平移||个单位。‎ 例题3 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在一个周期内的图象如下图所示，求函数的解析式。‎ 6‎ 思路分析：由最值求A，由过点（0，1）求φ，由点（，0）求ω。‎ 答案：显然A＝2，又图象过（0，1）点，∴f（0）＝1，‎ ‎∴sin φ＝，又∵|φ|＜，∴φ＝。‎ 由图象结合“五点法”可知，（，0）对应五点中的点（2π，0），‎ ‎∴·ω＋＝2π，∴ω＝2，‎ 所以所求函数解析式为f（x）＝2sin（2x＋）。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|。‎ ‎2. 因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω。‎ ‎3. 从寻找“五点法”中的第一个“零点”（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ。‎ 数形结合思想在三角函数问题中的应用 ‎【满分训练】‎ 设函数f（x）＝4sin（2x＋1）－x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是________。‎ ‎①[－4，－2]；②[－2，0]；③[0，2]；④[2，4]‎ 思路分析：将f（x）的零点问题转化为函数g（x）＝4sin（2x＋1）与h（x）＝x图象的交点问题。由数形结合的思想，画出g（x）与h（x）的图象解决。‎ 答案：①　‎ 在同一坐标系中画出函数g（x）＝4sin（2x＋1）与h（x）＝x的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点。‎ 技巧点拨：‎ 6‎ 解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题。‎ 6‎