2020年中考专题练习---梯形的存在性问题

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020年中考专题练习---梯形的存在性问题

梯形的存在性问题 内容分析 梯形是相对限制较少的一类四边形,要使得一个四边形是梯形,只需要有其中一组对边平行,另一组对边不平行即可。所以,在此类问题中,要么对点有较高的限制(在某一直线上),要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。综合利用各个条件,才能求出最后的结果.‎ 知识结构 模块一:一般梯形的存在性问题 知识精讲 1、 知识内容:‎ 梯形的限制较少,所以可能出现的情况就会有很多,在处理时需要想清所有可能情况,再进行讨论处理。A B C M1‎ M2‎ 有一种比较常见的情况是:若已知三点ABC,另一点M在某固定直线上,形成的四边形ABCM为梯形,则会有两种情况:①AM//BC;②CM//AB,如图所示。‎ 1、 解题思路:‎ (1) 根据题目条件,求出已知3个点的坐标;‎ (2) 分情况进行讨论;‎ (3) 对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;‎ (4) 根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;‎ (5) 根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.‎ 注:若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等.‎ 例题解析 【例1】 在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点A(,0)和点B,与y轴交于点C(0,).‎ ‎(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;‎ ‎(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,四边形ACEF为梯形,‎ 求点F的坐标;‎ ‎(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t > 3,如果和的面积相 等,求t的值.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】(1)将A、C代入抛物线解析式,‎ ‎ 解得抛物线解析式为:.‎ 对称轴为:直线.‎ ‎ (2)E点为(1,0),分情况讨论:‎ ‎ ①AC // EF ‎ 直线AC的解析式为.‎ ‎ ∴直线EF的解析式为.‎ ‎ ∴与对称轴的交点为(1,0),与E点重合(舍).‎ ‎ ②AF // CE ‎ 直线CE的解析式为,‎ ‎ ∴直线AF的解析式为.‎ ‎ ∴与对称轴的交点为(1,4).‎ ‎∴F点为(1,4).‎ ‎ 综上,F点为(1,4).‎ ‎ (3)抛物线顶点D为,与x轴另一交点B为(3,0),‎ ‎ 当和的面积相等(t > 3)时,有BC // DP.‎ ‎ 直线BC的解析式为,‎ ‎ ∴直线DP的解析式为.‎ ‎ 解得:P点为(5,0),即t的值为5.‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结.‎ 【例1】 在平面直角坐标系中,抛物线过A(-1,0)、B(3,0)、C(2,3)三点,与y轴交于点D.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;‎ ‎(2)分别联结AD、DC、CB,直线y = 4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边 形ABCD的面积平分时,求m的值;‎ ‎(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,‎ 请直接写出所有满足条件的点F的坐标.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:(1)∵函数过点A(-1,0),B(3,0),‎ ‎ ∴ 可将函数设为.‎ ‎ 将C(2,3)代入,可得函数解析式为:,‎ ‎ 对称轴为x=1;‎ ‎ (2)函数与y轴交点D为(0,3).‎ ‎ ∵四边形ABCD为梯形,下底AB = 4,上底CD = 2,‎ ‎ 直线y = 4x + m要平分ABCD的面积,必与AB、CD均有交点,分别设为M、N.‎ ‎ ∴M的纵坐标为0,N的纵坐标为3.‎ ‎ ∴M为,N为.‎ ‎ 可得,‎ 解得:;‎ ‎ (3)分三种情况讨论 ‎ ①当CF//AB时,AB的解析式为y=0,所以F点纵坐标为3,F点为(1,3);‎ ‎ ②当AF//BC时,BC的解析式为,所以AF为,F点为(1,-6);‎ ‎ ③当BF//AC时,AC的解析式为,∴BF为,∴F点为(1,-2);‎ 综上,F点可能为(1,-6)或(1,3)或(1,-2).‎ ‎【总结】本题一方面考查有关面积的计算,另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结.‎ 模块二:特殊梯形的存在性问题 知识精讲 1、 知识内容:‎ ‎ 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种.对于这两种情况,只需在之前平行的基础上,增加考虑直角或腰相等的条件.‎ 2、 解题思路:‎ 直角梯形:‎ (1) 根据题目条件,求出已知3个点的坐标;‎ (2) 寻找已有的直角,进而判断可能的平行直线;‎ (3) 对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;‎ (4) 根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;‎ (5) 根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.‎ 等腰梯形:‎ (1) 根据题目条件,求出已知3个点的坐标;‎ (2) 分情况讨论;‎ (3) 对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;‎ (4) 根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;‎ (5) 验证所有形成的梯形是否等腰,并作答.‎ 例题解析 【例1】 如图,二次函数的图像与x轴交于点A和点B(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C,且.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,求点D的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得以P、A、D、O为顶点的四边 形是直角梯形,若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ G O y A x B C D N P M A B C O x y ‎【解析】解:(1)∵,‎ ‎ ∴AO = CO.‎ ‎ 根据与图像,可得C点坐标为(0,4),‎ ‎ ∴A点坐标为(-4,0),代入解析式,‎ ‎ ∴二次函数解析式为;‎ ‎ (2)连接OD,可得OD⊥AC,过D作DH⊥AO于H.‎ ‎ 可得:.‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴D点坐标为(-2,2);‎ ‎ (3)要四点成直角梯形,不可能DP//AO,分两种情况讨论:‎ ‎ ①当OP//AD时,∵AD解析式为,∴OP解析式为.‎ ‎ ∴,解得:(不为直角梯形,舍)或.‎ ‎ ②当AP//OD时,∵OD解析式为,∴AP解析式为.‎ ‎ ∴,解得或(与A重合,舍).‎ ‎ 综上,P点坐标为或(8,-12).‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合,注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.‎ 【例1】 如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在轴和轴的正半轴上,‎ OM = 6,ON = 3,反比例函数的图像与PN交于C,与PM交于D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥y轴于点B,AC与BD交于点G.‎ ‎(1)求证:AB // CD ;‎ ‎(2)在直角坐标平面内是否若存在点E,使以B、C、D、E为顶点,BC为腰的梯形是等腰梯形?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】(1)∵矩形OMPN,OM = 6,ON = 3,‎ ‎ ∴点P(6,3).‎ ‎∵点C、D都在反比例函数图像上,‎ 且点C在PN上,点D在PM上,‎ ‎∴点C(2,3),点D(6,1),‎ ‎ 又DB⊥y轴,CA⊥x轴,‎ ‎∴A(2,0),B(0,1).‎ O y A x B C D N P M G E1‎ E2‎ H O y A x B C D N P G E1‎ E2‎ ‎∵BG = 2,GD = 4,CG = 2,AG = 1‎ ‎∴,,∴,∴AB // CD;‎ ‎ (2)①∵PN // DB,∴当DE1 = BC时,‎ ‎ 四边形BCE1D是等腰梯形,‎ ‎ 此时≌,∴PE1 = CN = 2,‎ ‎ ∴点E1(4,3);‎ ‎ ②∵CD// AB,当E2在直线AB上,‎ ‎ DE2 = BC =,‎ ‎ 四边形BCDE2为等腰梯形,‎ ‎ 直线AB的解析式为 ‎ ∴设点E2(x,),DE2 = BC =,‎ ‎∴,解得:,(舍去),‎ ‎∴E2(,).‎ ‎ 综上所述,点E的坐标为(4,3)或(,).‎ ‎【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题,第(1)小问中也可利用解析式来判定平行,第(2)小问注意看清题意,已经已知腰,所以分两种情况讨论.‎ 【例1】 在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与y轴交于点A,与双曲线有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l // x轴,与该二次函数图像交于另一点C,直线AC的截距是.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求直线AC的表达式;‎ ‎(3)平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标,如果不存在,说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】(1)把代入,得.∴点B的坐标为(4,2). ‎ ‎∵直线AC的截距是,∴点A的坐标为(,0). ‎ ‎∵二次函数的的图像经过点A、B,‎ ‎∴可得:,解得:.‎ ‎∴二次函数的解析式是.‎ ‎(2)∵BC // x轴,∴点C的纵坐标为2.‎ 把代入,‎ 解得:,. ‎ ‎∵(4,2)是点B的坐标,∴点C的坐标为(,2). ‎ 设直线AC的表达式是,‎ ‎∵点C在直线AC上,∴.‎ ‎∴直线AC的表达式是. ‎ ‎(3)①当BC // AD1时,设点的坐标是(m,),‎ 由,可得:,‎ 解得:,(舍).‎ ‎∴点的坐标是(,).‎ ‎②当AC // BD2时,可得:直线BD2的表达式是.‎ 设点D2的坐标是(n,),由,‎ 可得:,解得:,(舍).‎ ‎∴点D2的坐标是(,).‎ ‎③∵AC = BC,∴// AB不存在.‎ 综上所述,点D的坐标是(,)或(,).‎ ‎【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式,从而求出点坐标.‎ 随堂检测 【习题1】 如图,已知A、B是双曲线上的两个点,A、B的横坐标分别为2和-1,BC⊥x 轴,垂足为C.在双曲线上是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形?如果存在,求点D的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:由题意,可得A点坐标为(2,1),B点坐标为(-1,-2),C点坐标为(-1,0).‎ ‎ 若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形,可分情况讨论:‎ x y A B C O ‎①当AD//BC时,已知此情况下,D点不存在;‎ ‎ ②当CD//AB时,‎ ‎ ∵AB解析式为,‎ ‎ ∴CD解析式为.‎ ‎ ∵D在双曲线上,‎ ‎ ∴, 解得:或.‎ ‎ ③当BD//AC时,‎ ‎ ∵AC解析式为,‎ ‎ ∴BD解析式为.‎ ‎ ∵D在双曲线上,‎ ‎ ∴, 解得:(与B重合,舍)或.‎ 综上,D点坐标可以为(1,2)或(-2,-1)或.‎ ‎【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性,注意利用平行求出函数解析式,从而联立解析式求出点的坐标.‎ 【习题1】 如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),D为抛物线的顶点,直线AC与抛物线交于点C(5,6).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E在x轴上,且和相似,求点E的坐标;‎ ‎(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形,且面积为16,试求点F的坐标.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】A B C D O x y (1)∵抛物线过点A(-1,0)与点B(3,0),‎ ‎ ∴设抛物线为,将点C(5,6)代入,‎ ‎ 得抛物线解析式为:.‎ ‎ ∴顶点D坐标为(1,-2);‎ ‎ (2)分别过C、D作CM、DN⊥x轴于M、N,‎ ‎ 计算可得,AN = DN = 2,AM = CM = 6.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又因为AE公共边,‎ ‎ ∴此两角为相似三角形对应角.‎ ‎ ∵, ∴.‎ ‎ ∴. ∴.‎ ‎ ∴E点坐标为或;‎ ‎ (3)可得,,,,‎ ‎ 分情况讨论:‎ ① 当DP//AC时,∵梯形CADF面积为16, ‎ ‎∴此时DF直线为,且.∴F点坐标为(3,0).‎ ‎ ②当CF//AD时,‎ ‎ ∴CF为,且, ∴F点标为.‎ ‎ ③当AF//CD时,此时不可能.‎ ‎ 综上,F点可能的坐标为(3,0)或.‎ ‎【总结】本题综合性较强,考查的知识点较多,包含了二次函数的性质,相似的性质以及梯形的有关性质,解题时注意分析.‎ 课后作业 【作业1】 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x = 4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ x y O P A B ‎(2)如图1,在直线 y = 2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,‎ 求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. ‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:(1)∵对称轴为x = 4,且抛物线过A(2,0),‎ ‎ ∴B点坐标为(6,0),设抛物线为.‎ ‎ 将C(0,12)代入,‎ 解得抛物线解析式为:,‎ ‎ 顶点P坐标为(4,-4);‎ ‎ (2)若存在满足题意的D点,直线BP解析式为.‎ ‎ ∴BP//OD.∴OP=BD.‎ ‎ 设D点为(d,2d),‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴,‎ 解得:(此时为平行四边形,舍)或,‎ ‎ ∴D点为.‎ ‎ 即当D点坐标为时,四边形OPBD为等腰梯形.‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合运用,求出二次函数解析式,研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点,是解题的关键 【作业1】 如图,已知二次函数的图像经过点B(1,2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛物线对称轴的对称点为C,过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)在直线BM上有点,联结CP和CA,判断直线CP与直线CA的位置关 系,并说明理由; ‎ ‎(3)在(2)的条件下,在坐标轴上是否存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边 形为直角梯形,若存在,求出所有满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:(1)将B(1,2)代入解析式,解得函数解析式为:.‎ A B O P M x y ‎ (2)抛物线的对称轴为.‎ ‎∴A点为(3,0),C点为(2,2),M点为(1,0).‎ ‎ 连接BC,过C作CH⊥OA于H,‎ 可得,,,.‎ ‎ ∴,又∵,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴,CP⊥CA.‎ ‎ (3)∵,∴分情况讨论 ‎ ①E在x轴上时,当PE//AC时,‎ ‎ ∵AC解析式为,∴PE解析式为.‎ ‎ ∴E点为.‎ ① E在y轴上时,当AE//PC时,‎ ‎ ∵PC解析式为,∴AE解析式为.‎ ‎ ∴E点为,‎ ‎ 综上,E点坐标为或.‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合应用,注意利用相似判定直线间的位置关系,第(3)小问注意对点的存在性进行分类讨论.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档