数学文卷·2018届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测（2018

数学文卷·2018届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测（2018

东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学（文科） 2018.1‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎（2）下列函数中为偶函数的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（3）直线与圆相交于两点，，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,‎ ‎（4）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ‎ A.8 ‎ ‎ B.19 ‎ ‎ C. 42 ‎ ‎ D.89‎ ‎（5）已知向量a，b， c，‎ 若(2a-b) c，则实数 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（6）已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 ‎ C.丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 ‎ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）复数 .‎ ‎（10）双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎（11）若满足，则的最大值是 .‎ ‎（12）在中，，则 ， 的面积为 .‎ ‎（13）函数当时，的值域为 ；当有两个不同零点时，实数的取值范围为 .‎ ‎（14）设命题已知，满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知是等差数列，是等比数列，且.‎ ‎（Ⅰ）数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（17）（本小题14分）‎ ‎“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；‎ ‎（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；‎ ‎（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为直角梯形，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ 求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.‎ ‎ ‎ 东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）D （3）A （4）C ‎（5）A （6）D （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） ‎ ‎（11） （12），‎ ‎（13），或 ‎ ‎（14） ‎ ‎（点的坐标只需满足，‎ 或，）‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．‎ ‎ 因为，所以．‎ 解得． ‎ 又因为，所以．‎ 所以，，． ……………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．‎ 因此 数列前项和为． ‎ 数列的前项和为． ‎ ‎ 所以，数列的前项和为，． ………13分 ‎（16）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）当时， ‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以．‎ 所以，当，即时，取得最大值，‎ 当，即时，取得最小值为. ………6分（Ⅱ）因为，‎ 所以．‎ 因为的图象经过点，‎ 所以，即．‎ 所以．‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以．‎ 所以的最小正周期． ……13分 ‎（17）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于为事件，由图可知，这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于，所以. ……5分 ‎（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为事件，这五年中任选两年，有，，，，，，，，， 共种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过的为前种情况，所以. ………10分 ‎（Ⅲ）从开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分 ‎（18）（共14分）‎ 解：（Ⅰ） 因为，，，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以平面平面 ‎． ………5分 ‎（Ⅱ）连接．‎ 因为△为等边三角形，为中点，‎ 所以．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ ‎ 因为，‎ 所以平面．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 在等边△中，，‎ ‎，‎ ‎ 所以． ………9分 ‎（Ⅲ）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．‎ ‎ 取中点，连接．‎ 因为为中点， ‎ 所以∥．‎ 因为平面，‎ 所以∥平面．‎ 因为为中点，‎ 所以∥．‎ 因为平面，‎ 所以∥平面．‎ 因为，‎ 所以平面∥平面．‎ 因为平面，‎ 所以∥平面． ………14分 ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为函数，‎ 所以,‎ ‎.‎ 又因为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ………4分 ‎（Ⅱ）函数定义域为，‎ ‎ 由（Ⅰ）可知，.‎ 令解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ 所以，的单调递增区间是；‎ 的单调递减区间是. ………9分 ‎（Ⅲ）当时，“”等价于“”.‎ 令，，‎ ‎，.‎ 当时，，所以在区间单调递减.‎ 当时，，所以在区间单调递增.‎ 而，‎ ‎.‎ 所以在区间上的最大值为.‎ 所以当时，对于任意，都有. ………14分 ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，得 ‎ 解得．‎ ‎ 所以椭圆的方程为． ………4分 ‎（Ⅱ）设，，则．‎ ① 当时，点，点坐标为或，‎ ‎．‎ ② 当时，直线的方程为．即，‎ 直线的方程为．‎ 点到直线的距离为 ‎，．‎ 所以，．‎ 又，‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 且，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 综上，当时，取得最小值1. ………13分 ‎ ‎