2009年高考试题—数学文（广东卷）解析版

2009年高考试题—数学文（广东卷）解析版

绝密☆启用前 试卷类型：A ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) ‎ 数学(文科） ‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 ‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 ‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 ‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 ‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 ‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。高.考.资.源.网 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高． ‎ 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得. ‎ ‎1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由N= { x |x+x=0}得,选B.‎ ‎2.下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 ‎ A.n=2 B .n=‎3 C .n=4 D .n=5‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,故选C. ‎ ‎3.已知平面向量a= ，b=， 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,由及向量的性质可知,C正确.‎ ‎4.若函数是函数的反函数，且，则 ‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎6.给定下列四个命题： ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中，为真命题的是 ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎7.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b= ‎ A.2 B．4＋ C．4— D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由a=c=可知,,所以,‎ 由正弦定理得,故选A ‎8.函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,令,解得,故选D ‎9．函数是 ‎ A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 ‎ C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为为奇函数,,所以选A.‎ ‎10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 ‎ A. B‎.21 C.22 D.23 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,所有可能路线有6种:‎ ‎①,②,③,④,⑤,⑥, ‎ 其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,‎ 故选B.‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 ‎ ‎（一）必做题（11－13题） ‎ ‎11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： ‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 ‎ 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s= ‎ ‎(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 图1‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.‎ ‎12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人. ‎ ‎ 图 2‎ ‎【答案】37, 20‎ ‎【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.‎ ‎ 40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.‎ ‎13．以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将化为普通方程为,斜率,‎ 当时,直线的斜率,由得;‎ 当时,直线与直线不垂直.‎ 综上可知,.‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 图3 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积. ‎ 三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值 ‎（2）若，,求的值 ‎【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?‎ ‎【解析】（1）, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－‎ ‎1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎【解析】（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ， ‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎