数学卷·2017届江苏省涟水中学高三上学期第三次检测（2016

数学卷·2017届江苏省涟水中学高三上学期第三次检测（2016

涟水中学2017届高三第三次质量检测 ‎ ‎ 数 学 试 卷 ‎ 考试时间：120分钟 总分：160分 ‎ 一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝ ▲ ． ‎ ‎2．若复数是纯虚数，则实数的值是 ▲ ． ‎ ‎3．某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：‎ 外来户 原住户 已安装 ‎60‎ ‎35‎ 未安装 ‎45‎ ‎60‎ 则该地已安装安全救助报警系统的户数估计有 ▲ 户.‎ ‎4. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ . ‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，输出 ▲ ．‎ 开始 结束 输出 ‎ ‎6.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程 为 ▲ ． ‎ ‎7.已知,则 ▲ . ‎ ‎8．已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，‎ 则常数的值为 ▲ ．‎ ‎9. 已知，则= ▲ .‎ ‎10.设等比数列的前项和为，若，则的值为 ▲ ‎ ‎11．设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是 ▲ ‎ ‎12.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦 点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此 椭圆的离心率是 ▲ . ‎ ‎13． 设定义域为R的函数,则关于x的函数 的零点的个数为 ▲ ．‎ ‎14. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则= ▲ .‎ 二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题纸指定的区域内作答, 解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．中，角A，B,C的对边分别是且满足 （1） 求角B的大小；‎ ‎（2）若的面积为为，求的值.‎ ‎16. 如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，,是的中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎17．已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．‎ （1） 求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，求△面积的最大值．‎ ‎18.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），上底BC长为（米）.‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并指出其定义域；‎ ‎（2）要使防洪堤横断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）不超过米，则其腰长应在什么范围内？‎ ‎（3）当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ‎ ‎19．设、是函数的两个极值点.‎ ‎（1）若，求函数的解析式；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）设函数，，当时，求证： .‎ ‎20． 设函数，数列满足．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．‎ 涟水中学2017届高三第三次质量检测 ‎ ‎ 数 学 试 卷（附加）‎ ‎ 考试时间：30分钟 总分：40分 ‎ B．选修4-2 矩阵与方程 ‎1. 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．‎ C．选修4-4坐标系与参数方程 ‎2. 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.‎ 必做题：‎ ‎3. 如图，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BDBA，,，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A M B C O D E ‎ ‎ ‎4. 口袋中有个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若 ‎，求（1）n的值；‎ ‎ （2）X的概率分布与数学期望．‎ 涟水中学2017届高三第三次质量检测 ‎ ‎ 数 学 试 卷 答案 ‎1. 2. 3.9500 4. 5.12‎ ‎6. 7. 8.1 9. 10.‎ ‎11. 12. 13.8 14.‎ ‎15. 解：（1）∵，∴‎ ‎∴……4分 ‎∵，∴……6分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 又∵……8分 ‎（2），…………11分 ‎∴…………14分 ‎16.（1）………………6分 ‎ （2）………………14分 ‎17.解：（1）………………5分 ‎（2）设点，则点M到左右准线的距离分别为 由第二定义，，…………7分 ‎∵圆与椭圆的右准线 有公共点 ‎∴…………9分 又∵△的面积S=…………11分 ‎∴时，S的最小值为………………14分 ‎ 18．解：⑴，其中，， ‎ ‎∴ ，得， ………………4分 ‎ 由，得 ‎∴ --------------------6分 ‎⑵外周长为得∵ ‎ ‎∴腰长的范围是 --------------10分 ‎⑶，当并且仅当，即时等号成立．‎ ‎……………………………………14分 ‎∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。 ---------------------------16分 ‎19.解：（I）∵，∴ ‎ 依题意有，∴. ‎ 解得，∴. ………………4分 ‎ （II）∵,‎ 依题意，是方程的两个根，且，‎ ‎ ∴， ‎ ‎ 即：4， ‎ ‎∴………………6分 ‎ ∵，∴3. …………8分 ‎ 设，则 ‎ 由得2，由得2.‎ ‎ 即：函数在区间(0,2)上是增函数，在区间(2,3)上是减函数，‎ ‎ ∴当时，有极大值为12，∴在上的最大值是12，‎ ‎ ∴的最大值为. ………………10分 ‎（III） 证明：∵是方程的两根，‎ ‎∴. ‎ ‎∵，，∴.…………12分 ‎∴ ‎ ‎∵，即 ∴ ‎ ‎∴‎ ‎. ‎ ‎∴…………16分 ‎20．解：⑴因为，‎ 所以．…………………………………………………………………………2分 因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．‎ 所以．…………………………………………………………………………4分 ‎⑵①当时，‎ ‎…………………………………………………………………………7分 要使对恒成立，‎ 只要使．‎ 只要使，‎ 故实数的取值范围为．……………………………………………………10分 ‎⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．‎ ‎①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，‎ 此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分 ‎②当时，显然不存在这样的数列．‎ 当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．‎ 则，，，．‎ 所以满足条件的数列的通项公式为．……………………………………16分 涟水中学2017届高三第三次质量检测 ‎ ‎ 数 学 试 卷（附加）答案 ‎1. 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，‎ 即c＋d＝6； ………………………………………3分 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，‎ 即‎3c－2d＝－2， …………………………………………6分 解得即A＝， …………………………8分 A逆矩阵是 ‎2.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程的普通方程为，………………………………6分 圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分 故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分 ‎3.解：∵，又∵面面，面面，，∴，∵BD∥AE，∴， …………2分 ‎ 如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，‎ ‎∴设各点坐标为，，，‎ ‎，，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面ODM的法向量，则由 且可得 令，则，，∴，‎ 设直线CD和平面ODM所成角为，则【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎，‎ ‎∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为． ……………10分 ‎4.由题知 …………2分 ‎ ‎ ‎……………………………………4分 ‎ （2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，…………5分 所以，X的概率分布表为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ 所以…………9分 答X的数学期望是 ……………………10分