数学理卷·2018届吉林省延边市第二中学高三上学期第一次月考（2017

数学理卷·2018届吉林省延边市第二中学高三上学期第一次月考（2017

延边二中2018届高三第一次阶段考试 数学（理）试卷 一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，，，则的大小关系为(　　)‎ A．　 　B． C．　　D．‎ ‎4.下列四个说法：‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题“”是一个假命题；‎ ‎③命题p：存在都有 ‎④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 其中正确的是（ ）‎ A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ①③‎ ‎5．已知命题“已知为定义在上的偶函数，则的图像关于直线对称”，命题“若，则方程有实数解”，则（ ）‎ A．“且”为真 B．“或”为假 C．假真 D．真假 ‎6．若，则（ ）‎ A． B． 　　　　C． D． ‎ ‎7．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知过，则以下函数图像正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若a>l，设函数f（x）=ax+x－4的零点为m，函数g（x）= logax+x－4的零点为n，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎11．已知函数，若方程有四个不同的解，‎ 且，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，若不等式< 0对任意均成立，则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）‎ ‎13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点 处的切线方程是_______________.‎ ‎14.设函数是定义在上的奇函数，且对任意的,当时，，则= .‎ ‎15. 定积分__________．‎ ‎16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，若满足：‎ ‎①时，，②是定义在上的周期函数，‎ ‎③存在使得，则的值为________‎ 三、解答题（包括6个题，17-21题12分，选做题10分,请写出必要的解答过程）‎ ‎17.（本小题满分12分）在ABC中，.‎ ‎（1）求的大小； （2）求的最大值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（1）求an及Sn； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：,其中）.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．‎ ‎（1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎21．(本题满分12分)‎ 已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.‎ 请考生在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值； （2）若，，求的最大值.‎ 第一次阶段考试答案（理科）数学[‎ 一． 选择题 CDACA BDABA DA 二、 填空题 ‎13.2x+y+1=0 14.-2 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.试题分析：（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；‎ ‎（2）由辅助角公式对进行化简变形，进而根据的取值范围求其最大值.‎ 试题解析：（1）由余弦定理及题设得，‎ 又∵，∴；（2）由（1）知，‎ ‎，因为，所以当时，取得最大值.‎ ‎18．（1）an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，‎ 所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．‎ 由于an＝a1＋（n－1）d，Sn＝，所以an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）．‎ ‎（2）因为an＝2n＋1，所以－1＝4n（n＋1），因此bn＝＝．‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎．‎ 所以数列{bn}的前n项和．‎ 考点：数列求和，等差数列的通项公式.‎ ‎19． (1)∵，即，∴，又，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. ‎ ‎ (2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则. ‎ ‎20．时，‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎ ‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎ 综上所述，当x=100时，L(X)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大。‎ ‎21.（Ⅰ）由，有.‎ 所以.‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 当时，，所以在上单调递减.‎ 当时，令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. …………………4分 ‎（Ⅱ）， 令得 在上递增，上递减 所以 所以当时， …………………7分 ‎（Ⅲ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（I）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.‎ 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.‎ 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 因此，，必有，.‎ 由，有，有，‎ ‎.解得.‎ 又由第（2）问当，‎ 由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，，故在内有零点.‎ 综上可知，的取值范围是 . …………………12分 ‎22．解（Ⅰ） 由题意知，直线的直角坐标方程为：，………………2分 ‎ ∵曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎ ∴曲线的参数方程为：．………………5分 ‎ （Ⅱ） 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：‎ ‎ ，………………7分 ‎∴当sin（600－θ）=-1时，点P（），此时．…………10分 ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】 (1) 由于，‎ 所以. （5分）‎ ‎(2)由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，‎ 故 （10分）‎ ‎ ‎