全国大联评2020届高三第一次大联考数学（文）试卷

全国大联评2020届高三第一次大联考数学（文）试卷

文科数学 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合和集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，其中是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600‎ 人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽 取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 连续抛掷两次骰子，先后得到的点数，为点的坐标，那么点满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．下列说法正确的是（ ）‎ A．若“”为假命题，则“”为假命题 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“若，则”的逆否命题为真命题 D．命题“，”的否定是“，”‎ ‎7．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且 ‎，则椭圆的方程为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精神、推动全党大学习的有力抓手．某人近来加强学习，9月份的得分为，10月份的得分增长率为，11月份的得分增长率为，这两个月的得分的平均增长率为，增长率均以相邻的前一个月为参照，则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎9．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面的面积为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 设，则的大小关系 是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．等腰的底边，为的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于、两点，若， 为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若函数（）为偶函数，则.‎ ‎14．等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则的值为　　　.‎ ‎15．在中，角所对的边为，若，则当取最大值时，角 .‎ ‎16．如图，三棱锥中，是正三角形，是等腰直 角三角形，，若以线段为直径的球过点，则 球心到平面的距离为________．‎ D C B A 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，分别是内角所对的边，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的周长的最大值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，，//，，为正三角形. 且.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）若点到底面的距离为，是线段上一点，‎ 且//平面，求四面体的体积. ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线，过点作直线交抛物线于、两点，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为直线上的点，且，求点的轨迹方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 猪肉价格事关民生，是居民消费价格指数的重要组成部分，2019年猪肉价格上涨是全民关心的话题．目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现，预计第四季度，我国猪肉产能下降的局面将会得到改善，但短期内猪肉市场供给依然偏紧，预计元旦、春节前猪肉价格将保持高位运行走势．下表统计出2019年奇数月份猪肉的市场均价.‎ ‎2019年猪肉“外三元”全国一年行情（单位：元/公斤）‎ 月份 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ 月份代码x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 价格y ‎11.94‎ ‎14.54‎ ‎16.04‎ ‎18.79‎ ‎31.01‎ ‎36.5‎ ‎（注：外三元是猪肉的一个品牌，其生猪优点是生长快，饲料转化率高）‎ ‎（Ⅰ）我们假设猪肉的价格的变化趋势在短时间内只与时间有关系，在不考虑国家宏观调控和猪饲料价格变动以及疾病等其他因素的情况下，近似认为猪肉的价格与月份代码存在线性相关关系，求出关于的线性回归方程，并估计2020年1月份猪肉价格．‎ ‎（Ⅱ）鉴于猪肉价格普遍上涨对市场销售量产生了一定影响，有关部门为了解近期市场猪肉销售情况，以便制定相关策略，在月份随机抽取当地人流量较大的甲、乙两个超市各10天的猪肉日销售量，将其日销售量作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示百位和十位数字，叶表示个位数字，单位：）.若超市甲中的数据的中位数是，超市乙中的数据的平均数是.现从茎叶图共天的数据中任取天的数据（甲、乙两超市中各取1天），记抽取到日销售量不低于且不高于的天数为，求的概率．‎ ‎（注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ‎ ‎，. ‎ ‎ 6 5 14 1 ‎ 甲 乙 ‎ 8 6 13 3 5 ‎ ‎4 7 x 12 4 5 6‎ ‎3 2 11 y 5 8‎ ‎8 10 9‎ 参考数据：，）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程：（为参数），曲线．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线交于、两点，求值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 文科数学参考答案 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎ ‎【解析】由已知，，是集合，的公共元素，则，故选A . ‎ ‎2．【答案】C ‎ ‎【解析】，‎ 则，其在复平面内对应的点位于第三象限.故选C .‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为人，故选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】∵数列是等比数列，，∴．∵与的等差中项为，∴，解得，．∴．故选D．‎ ‎5．【答案】A ‎ ‎【解析】所有的点共有个，满足的有：，，，，，共6个，故点满足的概率为，故选A．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】‎ A. 若“”为假命题，则中至少有一个假命题，则“”可真可假，所以该选项是错误的；‎ B. “”是“”的充分不必要条件，因为由得到“或”，所以该选项是错误的；‎ C. 命题“若则”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；‎ D. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项是错误的.‎ ‎7．【答案】D ‎ ‎ 【解析】直线与轴和轴的交点分别为，，所以，‎ 又，所以，从而，所以椭圆方程为，故选D．‎ ‎8．【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 这两个月的得分的平均增长率为，‎ ‎，，，.‎ ‎，‎ ‎∴，等号在，即时成立.故选B .‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，‎ 故，，，，，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∴该多面体的侧面最大面积为．故选B．‎ ‎10. 【答案】C ‎【解析】‎ 故选C．‎ ‎11. 【答案】C ‎【解析】过作的垂线，垂足为，则，且，‎ 所以．‎ ‎12．【答案】A ‎ ‎【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，‎ 设内切圆圆心为，则在平分线上，‎ 过点分别作于，于，‎ 由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的 距离为得，又，所以，‎ ‎，所以，‎ 所以，得.‎ 故选A.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由为偶函数，则为奇函数，所以，所以，经验证符合题意．‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】因为，是等差数列，所以，‎ 因为.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】在中由余弦定理可得，‎ 所以 E D C B A ‎，当时，有最大值．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】因为以线段为直径的球过点，故，‎ 其中，，故，故球的半径，‎ 取CD的中点E，连接AE，BE.取AB的中点O.‎ 过点O作OG垂直于BE交BE于点G，‎ 其中，可得：， ‎ 故，∴点到平面距离．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）因为，‎ 由正弦定理，得，所以， ‎ 又因为，所以.…………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由，及正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎，………………………8分 于是，………………………10分 由得，所以当即时，.‎ 所以的周长的最大值为3. …………………………………………………………………12分 ‎18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，‎ 又，//，，，‎ 所以平面.……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，‎ E O 且，所以，连接，‎ 因为//平面，所以//，则，‎ 又因为点到平面的距离为，‎ 所以点到平面的距离为，‎ 所以，‎ 即四面体的体积为.……………………………12分 ‎19. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）设，，则①，②．‎ ‎①－②，得 ．‎ 又因为是线段的中点，所以，‎ 所以，． ‎ 又直线过，所以直线的方程为；…………6分 ‎（Ⅱ）设，由，知，‎ 因为，，所以，，‎ 即点的轨迹方程为（不含点）. …………12分 ‎20. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎，则线性回归方程为，……………………4分 估计2020年1月份猪肉价格，则取月份代码为7代入上面回归方程得到 元/公斤. …………6分 ‎（Ⅱ）由题意知甲的中间两位数的个位数为、，根据中位数为，即 乙中以为标准数，则可表示为，可表示为，可列出等式，‎ 则，，所以，；……………………………9分 从图中看出：超市甲的数据中符合条件的有天，超市乙的数据中符合条件的有天，所以在超市甲中被选出的概率为，在超市乙中被选出的概率为.‎ 由题意知.………………………………12分 ‎21. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）函数定义域为 ，‎ 令得，故在单调递增；在单调递减.…………4分 ‎（Ⅱ）方程即为，显然不为方程的解，故原方程等价于，‎ 设，则，‎ 令，得，令，得或，‎ 故在上单调递减，在和上单调递增，…………8分 所以，当，，又因为恒成立，‎ 故若方程有唯一解时，，即实数的取值范围为．…………12分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由得.直线的极坐标方程为.………2分 由，得.‎ 由及.可化为.‎ 所以曲线的极坐标方程为.……………………5分 ‎（Ⅱ）将代入，得.‎ 由极坐标几何意义，设, ，.‎ 则，，‎ 即. ……………………10分 ‎23．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）解法一：当时，，解得；‎ 当时,，解得；‎ 当时，，解得，‎ 综上,原不等式的解集为或 ； ………………5分 解法二：，两边平方整理得，，解得或，所以，原不等式的解集为或；………………5分 ‎（Ⅱ），当时等号成立，所以 ．‎ 故实数的取值范围为．………………10分