2018年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）原卷版

2018年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）原卷版

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设 ，则 A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 A． B． C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 1 i 2i1 iz   | |z  0 1 2 1 2  2 2 0A x x x    A Rð  1 2x x    1 2x x    | 1 | 2x x x x    | 1 | 2x x x x   D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 A． B． C． D． 5．设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 6．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱 表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为 A． B． C．3 D．2 8．设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 = A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II， 其余部分记为 III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 nS  na n 3 2 43S S S  1 2a  5a 12 10 10 12 3 2( ) ( 1)f x x a x ax    ( )f x ( )y f x (0,0) 2y x  y x  2y x y x ABC△ AD BC E AD EB  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  M A N B M N 172 52 2 3 FM FN  e 0( ) ln 0 x xf x x x     ， ， ， ， ( ) ( )g x f x x a   11．已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点 分别为 M、N.若 OMN 为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大 值为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________． 14．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________． 15．从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_____________ 种．（用数字填写答案） 16．已知函数 ，则 的最小值是_____________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 在平面四边形 中， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 18．（12 分） 如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 2 2 13 x y  △ 3 2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 x y 2 2 0 1 0 0 x y x y y          3 2z x y  nS  na n 2 1n nS a  6S    2sin sin 2f x x x   f x ABCD 90ADC   45A   2AB  5BD  cos ADB 2 2DC  BC ABCD ,E F ,AD BC DF DFC△ C P PF BF PEF  ABFD DP ABFD 19．（12 分） 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 . （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： . 20．（12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不 合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余 下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相 互独立．学科&网 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每 件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用．学.科网 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ，证明： ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐 2 2: 12 xC y  F F l C ,A B M (2,0) l x AM O OMA OMB   )10(  pp )( pf )( pf 0p 0p p X EX 1( ) lnf x x a xx   ( )f x ( )f x 1 2,x x    1 2 1 2 2f x f x ax x    xOy 1C | | 2y k x  x 标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. 23．[选修 4–5：不等式选讲]（10 分） 已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围. 2C 2 2 cos 3 0     2C 1C 2C 1C ( ) | 1| | 1|f x x ax    1a  ( ) 1f x  (0,1)x ( )f x x a 参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 17.（12 分） 解：（1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 . （2）由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 18.（12 分） 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF. 又 平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD. （2）作 PH⊥EF，垂足为 H.由（1）得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H−xyz. 63 3 3 2 ABD△ sin sin BD AB A ADB  5 2 sin 45 sin ADB  2sin 5ADB  90ADB   2 23cos 1 25 5ADB    2cos sin 5BDC ADB    BCD△ 2 2 2 2 cosBC BD DC BD DC BDC       225 8 2 5 2 2 5      25 5BC  BF  HF | |BF 由（1）可得，DE⊥PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE= .又 PF=1，EF=2，故 PE⊥PF. 可得 . 则 为平面 ABFD 的法向量. 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 . 19.（12 分） 解：（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1. 由已知可得，点 A 的坐标为 或 . 所以 AM 的方程为 或 . （2）当 l 与 x 轴重合时， . 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ， 则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 . 由 得 . 3 3 3,2 2PH EH  3 3 3 3(0,0,0), (0,0, ), ( 1, ,0), (1, , ),2 2 2 2H P D DP   3(0,0, )2HP   3 34sin | | 4| | | | 3 HP DP HP DP          3 4 (1,0)F 2(1, )2 2(1, )2 2 22y x   2 22y x  0OMA OMB     OMA OMB   ( 1)( 0)y k x k   1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 1 22, 2x x  2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k    11 22,y k k xy kx k    1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k       将 代入 得 . 所以， . 则 . 从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 . 综上， . 20.（12 分） 解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此 . 令 ，得 .当 时， ；当 时， . 所以 的最大值点为 . （2）由（1）知， . （i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ， 即 . 所以 . （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于 ，故应该对余下的产品作检验. 21.（12 分） 解:（1） 的定义域为 ， . （i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减. （ii）若 ，令 得， 或 . ( 1)y k x  2 2 12 x y  2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k     2 1 22 1 2 22 4 2 2,2 1 2 1x x xk k k x k     3 1 3 1 3 2 2 2 4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1 k k k k kk k k kx x x x         0MA MBk k  OMA OMB   OMA OMB   2 2 18 20( ) C (1 )f p p p  2 18 2 17 2 17 20 20( ) C [2 (1 ) 18 (1 ) ] 2C (1 ) (1 10 )f p p p p p p p p        ( ) 0f p  0.1p  (0,0.1)p ( ) 0f p  (0.1,1)p ( ) 0f p  ( )f p 0 0.1p  0.1p  Y (180,0.1)Y B: 20 2 25X Y   40 25X Y  (40 25 ) 40 25 490EX E Y EY     400EX  ( )f x (0, ) 2 2 2 1 1( ) 1 a x axf x x x x         2a  ( ) 0f x  2a  1x  ( ) 0f x  ( )f x (0, ) 2a  ( ) 0f x  2 4 2 a ax   2 4 2 a ax   当 时， ； 当 时， .所以 在 单 调递减，在 单调递增. （2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ， 所以 等价于 . 设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， . 所以 ，即 . 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 【解析】（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公 共点． 2 24 4(0, ) ( , )2 2 a a a ax     U ( ) 0f x  2 24 4( , )2 2 a a a ax     ( ) 0f x  ( )f x 2 24 4(0, ),( , )2 2 a a a a     2 24 4( , )2 2 a a a a    ( )f x 2a  ( )f x 1 2,x x 2 1 0x ax   1 2 1x x  1 2x x 2 1x  1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1 f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx                 1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x ax x    2 2 2 1 2ln 0x xx    1( ) 2lng x x xx   ( )g x (0, ) (1) 0g  (1, )x  ( ) 0g x  2 2 2 1 2ln 0x xx    1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x ax x    cosx   siny   2C 2 2( 1) 4x y   2C ( 1,0)A  2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k     4 3k   0k  0k  1l 2C 4 3k   1l 2C 2l 2C 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 【解析】（1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 ． （2）当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ． 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k    0k  4 3k  0k  1l 2C 4 3k  2l 2C 1C 4 | | 23y x   1a  ( ) | 1| | 1|f x x x    2, 1, ( ) 2 , 1 1, 2, 1. x f x x x x          ( ) 1f x  1{ | }2x x  (0,1)x | 1| | 1|x ax x    (0,1)x | 1| 1ax   0a  (0,1)x | 1| 1ax   0a  | 1| 1ax   20 x a  2 1a  0 2a  a (0,2]