2020年高中数学第三 两条直线平行与垂直的判定

2020年高中数学第三 两条直线平行与垂直的判定

‎3.1.2‎‎ 两条直线平行与垂直的判定 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：‎ ‎①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.‎ 正确的个数是(　　)‎ A．1　　　B．‎2　‎　　　C．3　　　　D．4‎ 解析：由斜率公式知 kPQ＝＝－，kSR＝＝－，‎ kPS＝＝，kQS＝＝－4，‎ kPR＝＝，∴PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.‎ 而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故①②④正确，选C.‎ 答案：C ‎2．给定三点A(1,0)、B(－1, 0)、C(1,2)，则过A点且与直线BC垂直的直线经过点(　　)‎ A．(0,1) B．(0,0) C．(－1,0) D．(0，－1)‎ 解析：∵kBC＝＝1，‎ ‎∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为－1.‎ 又∵k＝＝－1，∴直线过点(0,1)．‎ 答案：A ‎3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 解析：如图所示，‎ 易知kAB＝＝－，‎ kAC＝＝，‎ 5‎ 由kAB·kAC＝－1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．‎ 答案：C ‎4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(‎3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l 2，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B．‎3 C．0或1 D．1或3‎ 解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，‎ 即×＝－1，解得a＝1或a＝3.‎ 答案：D ‎5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)‎ A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以 kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ 答案：B ‎6．已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1,2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝__________；若直线l1⊥l2，则a＝__________.‎ 解析：l1∥l2时，＝3，则a＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.‎ 答案：5　 ‎7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.‎ 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，‎ 若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.‎ 若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程 ‎2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，‎ ‎∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.‎ 答案：－2　2‎ ‎8．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，若点D使直线BC∥AD，直线AB⊥CD，则点D 5‎ 的坐标是________．‎ 解析：设D(x，y)，由BC∥AD，得＝，①‎ 由AB⊥CD，得×＝－1，②‎ ‎∴由①②解得x＝0，y＝1.‎ 答案：(0,1)‎ ‎9．已知A(－m－3,2)，B(－‎2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,‎3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．‎ 解析：因为A，B两点的纵坐标不相等，‎ 所以AB与x轴不平行．‎ 因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，‎ 所以－m≠3，即m≠－3.‎ 当AB与x轴垂直时，－m－3＝－‎2m－4，解得m＝－1.‎ 当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，‎ 则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得 kAB＝＝，‎ kCD＝＝.‎ 因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，‎ 即·＝－1，解得m＝1.‎ 综上，m的值为1或－1.‎ ‎10．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．‎ 解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，‎ ‎∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；‎ 若∠B为直角，则AB⊥BC，‎ ‎∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，‎ 解得m＝3；‎ 若∠C为直角，则AC⊥BC，‎ ‎∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.‎ 5‎ 综上，m的值为－7，－2,2或3.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　)‎ A．(2,0) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,0)‎ 解析：l1的斜率为k1＝1，设l2与y轴的交点为(0，y)，‎ ‎∴l2的斜率k2＝＝－1，‎ ‎∴y＝2，∴l2与y轴的交点为(0,2)．‎ 答案：B ‎2．过点A，B(7,0)的直线l1与过点C(2,1)，D(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　)‎ A．－3 B．‎3 C．－6 D．6‎ 解析：如图所示，∵圆的内接四边形对角互补，‎ ‎∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2，∴k1k2＝－1.‎ ‎∵k1＝＝－，‎ k2＝＝k，∴k＝3.‎ 答案：B ‎3．点A是x轴上的动点，一条直线过点M(2,3)，垂直于MA，交y轴于点B，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线交于点P，则点P的坐标(x，y)满足的关系式是________．‎ 解析：∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，P(x，y)，∴A(x,0)，B(0，y)．由MA⊥MB，∴kMA·kMB＝－1，即·＝－1(x≠2)，化简，得2x＋3y－13＝0.当x＝2时，点P与点M重合，点P(2,3)的坐标也满足方程2x＋3y－13＝0，所以P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.‎ 答案：2x＋3y－13＝0‎ ‎4．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则＝________.‎ 解析：因为l1∥l2，所以＝2，解得x＝3.‎ 所以＝－.‎ 答案：－ 5‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．‎ 解析：由斜率公式，得kOP＝＝t，‎ kQR＝＝＝t，‎ kOR＝＝－，‎ kPQ＝＝＝－.‎ ‎∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，‎ ‎∴OP∥QR，OR∥PQ，‎ ‎∴四边形OPQR为平行四边形．‎ 又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，‎ ‎∴四边形OPQR为矩形．‎ ‎6．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．‎ 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，‎ ‎∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.‎ 当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.‎ ‎∵l1与l2平行，‎ ‎∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.‎ 5‎